厘清數(shù)學本質(zhì)，走出“可能性”教學誤區(qū)

○楊志宇 路 杰

“可能性”是“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的重要教學內(nèi)容。《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》對其在小學階段的教學要求如下：通過實例感受簡單的隨機現(xiàn)象，并能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果；通過試驗、游戲等活動，感受隨機現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的。有些教師由于對“隨機現(xiàn)象”“隨機試驗”“隨機事件”等相關(guān)知識的數(shù)學本質(zhì)缺乏必要的認知，在課堂教學中暴露出了很多問題，值得引起我們的重視和思考。

【教學回放】

教學內(nèi)容：人教版五年級上冊《可能性》

課件呈現(xiàn)班級舉辦聯(lián)歡會的圖片。

師：咱們班要舉辦聯(lián)歡會了，老師提前給大家準備了一個節(jié)目。同學們猜猜是唱歌、跳舞還是朗誦？

生：可能是唱歌。

生：可能是朗誦。

生：可能是跳舞。

師：有幾種可能呢？

生：有3種可能。

【診斷分析】

教學片段中，看似“可能”一詞學生可以脫口而出，但此“可能”并非本節(jié)課要研究的“可能性”。本節(jié)課是用“可能”描述隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象是指在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。這位教師提前準備了節(jié)目，說明教師表演哪種節(jié)目是確定的，不是隨機的，只不過學生不知道而已。

【教學重構(gòu)】

師：咱們班要舉辦聯(lián)歡會了，為了增加聯(lián)歡會的趣味性，老師決定用抽簽的辦法決定誰表演唱歌，誰表演朗誦，誰表演跳舞。

（教師將事先準備好的3 張有磁性的節(jié)目簽反扣在黑板上。）

師：老師想先來抽簽，你猜猜我會抽到哪張節(jié)目簽？（可能是唱歌，可能是朗誦，可能是跳舞。）

（教師翻開一張節(jié)目簽，是跳舞。）

師：從剩下的兩張節(jié)目簽中再抽一張，會抽到哪種節(jié)目呢？（可能是唱歌，可能是朗誦。）

師：剛才有3 種可能，現(xiàn)在怎么變成2 種了？（因為跳舞已經(jīng)被翻開了，不可能是跳舞了。）

（一名學生翻開一張節(jié)目簽，結(jié)果是朗誦。）

師：再抽一張，結(jié)果會是什么？（一定是唱歌。）

師（小結(jié)）：不確定（隨機）的事件用“可能”描述，確定的事件用“一定”或“不可能”描述。

教材中的情境是學生從3 張節(jié)目簽中任意抽取一張。這樣抽簽活動的結(jié)果一共有3 種可能，但每次抽簽前抽到哪種節(jié)目是不確定的，在大量重復試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性，即每種節(jié)目簽被抽到的可能性都是在“教學回放”中，教師本意是想創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設(shè)有趣生動的教學情境，但由于教師對隨機現(xiàn)象、隨機事件等概念的本質(zhì)不了解，制造了人為的偽隨機事件。

【教學回放】

教學內(nèi)容：冀教版五年級上冊《可能性》

全班分8 組，4 人一組，教師組織學生拋硬幣試驗，每人拋10次，小組內(nèi)一共拋40次。

學生拋硬幣試驗，并記錄，再全班匯總。

教師呈現(xiàn)其中一個小組的記錄結(jié)果。

師：隨著試驗次數(shù)的增加，正面朝上的可能性越來越接近總次數(shù)的一半。

（教師話音剛落，坐在前排的一名男生高高舉起手來。）

生：我拋的10 次試驗，正面朝上是5 次，正好是總次數(shù)的一半。但為什么拋的次數(shù)多了，反而不是一半了呢？

師：只能說明你今天的運氣太好了。拋硬幣試驗中，只有隨著次數(shù)不斷增加，我們才能發(fā)現(xiàn)正面朝上的次數(shù)接近總次數(shù)的一半。

（該學生疑惑地坐下。）

【診斷分析】

判斷硬幣正面朝上的可能性的大小是典型的古典概型。從概率的本質(zhì)看，古典概型的結(jié)論不是試驗出來的，是計算出來的。史寧中教授曾指出：“一個硬幣，先假定它正面或反面朝上的可能性是這是數(shù)學（或者稱為概率），這個是通過概率定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次試驗也得不到反而更加糊涂了?！?/p>

古典概型假定所有試驗條件完全相同，這就是說每次試驗條件都要一致。而在課堂試驗時，學生拋硬幣試驗的條件極難保證一致。另外，課堂上學生拋出硬幣后，硬幣常從桌面上彈起，滾落到地面上，造成學生活動秩序的混亂。那么教材中創(chuàng)設(shè)了拋硬幣的活動，我們又該如何設(shè)計教學呢？

【教學重構(gòu)】

師：我們知道硬幣有兩個面，正反兩個面朝上的可能性大小怎么樣？（相等。）

師：拋硬幣的時候會彈起來而且有時會掉到地上，操作起來不方便，我們能不能用摸兩種不同花色的撲克牌代替拋硬幣？（可以。）

師：每個小組（4 個人）拿出一張黑桃、一張紅桃，分工合作，每人摸5次，這20次的結(jié)果會是什么？

生1：可能紅桃和黑桃各10次。

生2：也可能紅桃會比10次多。

生3：還可能20次都是紅桃。

……

師：剛才不是說摸到兩種花色的可能性相等嗎？現(xiàn)在怎么會有這么多種情況？（摸到每種花色的可能性是相等的，但摸起牌來還要看運氣。）

師：摸到哪種花色的牌的可能性相等是摸牌前的判斷，真正摸牌的時候有偶然性，在數(shù)學上也叫隨機性。

（學生小組試驗。）

師：有沒有哪個小組紅桃和黑桃各摸到10次。

（沒有一個小組舉手。）

師：每個小組都摸到幾次紅桃呢？（最多的摸到16次，最少的摸到7次。）

師：看起來，可能性相等的情況下還會有很多隨機情況發(fā)生。

師：咱們把8 個小組的結(jié)果加在一起，兩種花色被摸出的次數(shù)會不會差不多呢？（也有可能差距會比較大，可以再多試驗幾次。）

師：在歷史上，有幾位數(shù)學家做過大量重復拋硬幣試驗，我們來看一看。（課件呈現(xiàn)浦豐、費勒、皮爾遜拋硬幣試驗的結(jié)果。）

師：通過觀察這些試驗的數(shù)據(jù)，同學們發(fā)現(xiàn)了什么？（大量重復的試驗，正面朝上次數(shù)非常接近總次數(shù)的一半。）

將拋硬幣換成摸撲克牌，更易于操作，降低了操作的要求，更容易保證每次試驗條件的一致性。像這樣，將只動手試驗改為先通過頭腦思考，再進行操作試驗，會使學生對隨機事件的偶然性及其背后的統(tǒng)計規(guī)律性有更深刻的認識。

【教學回放】

教學內(nèi)容：游戲公平性

師：有3 張撲克牌，分別是紅桃2、紅桃3 和紅桃4，李明和王亮兩人各摸一次。李明先摸，摸出一張牌，記下點數(shù)，放回后，王亮再摸。誰摸出的點數(shù)大誰贏。游戲公平嗎？

生：摸到每張牌的機會都是均等的，而且李明摸完還放回去，所以是公平的。

師：是啊，因為摸到每張牌的可能性一樣，摸出牌需要放回，每人都從3 張牌中摸一張比大小，所以是公平的。

【診斷分析】

兩人摸牌比點數(shù)大小一共有9 種可能，簡要解析如下：假設(shè)李明摸到的牌點數(shù)是2，王亮摸到牌的點數(shù)是3，記作（2，3）。那么兩人摸牌比較點數(shù)大小的9 種可能分別表示為（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）。其中摸到（3，2）、（4，2）、（4，3）為李明贏，摸到（2，3）、（2，4）、（3，4）為王亮贏，也就是說李明和王亮贏的可能性是即所以游戲規(guī)則公平。

【教學重構(gòu)】

師：老師有3 張撲克牌，分別是紅桃2、紅桃3和紅桃4，現(xiàn)在請兩位同學上臺摸牌，兩人各摸一次。一人先摸，摸出一張牌，記下點數(shù)，放回后，另一人再摸。誰摸出的點數(shù)大誰贏。游戲公平嗎？

生：摸到每張牌的機會都是均等的，而且一人摸完放回后另一人再摸牌，所以是公平的。

師：我們的游戲規(guī)則不是摸到哪張點數(shù)的牌贏，而是兩個人摸牌的點數(shù)比大小，誰的點數(shù)大，誰贏。我們現(xiàn)在請兩位同學上臺來摸牌，誰想來？

（教師挑選甲、乙兩人上臺摸牌，甲摸到3。）

師：你可能摸到幾呢？（乙：可能是2，可能是3，也可能是4。）

師：你摸到幾會贏呢？（乙：我摸到4會贏。）

師：摸到3 或2 呢？（乙：摸到3 是平局，摸到2我就輸了。）

師：甲同學摸到3，兩人牌的點數(shù)比大小有3種情況，他摸到2 或4 呢？你有什么辦法能清晰地表示出所有的可能。（可以用列表法。）

師：我們約定用一種記號表示每次兩人摸到牌的點數(shù)的情況，假設(shè)甲摸到的牌點數(shù)是2，乙摸到牌的點數(shù)是3，記作（2，3）。

（2，2）（3，2）（4，2）（2，3）（3，3）（4，3）（2，4）（3，4）（4，4）

師：觀察表格，一共有幾種可能？（9種。）

師：甲同學有幾種可能會贏呢？（3種。）

師：乙同學呢？（3種。）

師：因為每人都有3 種可能會贏，所以游戲是公平的。

“教學回放”中存在的問題，歸根結(jié)底是教師對游戲中的隨機事件理解不清。如果游戲規(guī)則是摸到哪個點數(shù)的牌贏，那么對應的隨機事件是牌的點數(shù)，但游戲的規(guī)則是比較兩張牌點數(shù)的大小，所以對應的隨機事件應該是上面9種情況。