無(wú)窮區(qū)間上積分-微分方程組邊值問題正解的存在性和唯一性

唐秋云,王明高

(1. 齊魯醫(yī)藥學(xué)院，a.公共教學(xué)部 數(shù)學(xué)教研室;b.圖書館,山東 淄博 255300；2.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 淄博 255049)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

近年來，許多學(xué)者對(duì)微分系統(tǒng)邊值問題正解的存在性產(chǎn)生了興趣并作了深入的探討。

唐秋云等[1]探討了半直線上微分方程組邊值問題的正解的存在性,應(yīng)用錐拉伸和錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到至少兩個(gè)正解的存在性的結(jié)果。在[0,1]區(qū)間上，孫忠民等[2]討論了三階微分方程組邊值問題，鐘璇[3]研究了四階微分方程組邊值問題，Zheng等[4]探討了二階含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程組邊值問題，分別應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理、Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理等得到多個(gè)正解的存在性結(jié)果。李紅玉等[5]利用拓?fù)浞椒ê筒坏仁窖芯苛薙turm-Liouville邊值問題，得到至少一個(gè)正解的存在性結(jié)果。但是，在研究分析了大量相關(guān)文獻(xiàn)之后，發(fā)現(xiàn)微分方程組的形式較簡(jiǎn)單，沒有同時(shí)含有積分項(xiàng)和導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況。

Wang[6]在[0,1]區(qū)間上討論了含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)四階微分方程邊值問題的正解。在半直線上，程蓉等[7]研究了一類含積分微分項(xiàng)方程解的存在性和唯一性；Guo[8]在Banach空間中探討了一類非線性脈沖積分-微分方程；Yan等[9]和Liu等[10]探討了多個(gè)無(wú)界解的存在性；文獻(xiàn)[11-13]分別利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究了二階微分方程多個(gè)正解的存在性定理。雖然這些成果很優(yōu)秀，有些同時(shí)含有積分項(xiàng)和導(dǎo)數(shù)項(xiàng)[7-8]，但是這些只是對(duì)不同的微分方程的邊值問題探討所得。

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，在無(wú)窮區(qū)間(即半直線)上進(jìn)一步考慮了積分-微分方程組邊值問題,其中含有積分項(xiàng)和導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，同時(shí)邊值條件為任意非負(fù)常數(shù)，然后利用Banach不動(dòng)點(diǎn)理論得到正解的存在性和唯一性結(jié)果,最后還給出了唯一解對(duì)邊值條件的依賴性。

本文考慮無(wú)窮區(qū)間上積分-微分方程組邊值問題(BVP)

(1)

其中fi∈C[R+×E×E×E×E×E×E×E×E,E],i=1,2。設(shè)E為Banach空間，

且

(2)

其中，Ki∈C[D,R],D={(t,s)∈R+×R+:t≥s},Hi∈C[R+×R+,R],R為實(shí)數(shù)集。

令C[R+×R+]=:{(x,y):x,y∈C[R+,E]},

定義范數(shù)‖(x,y)‖=:max{‖x‖D,‖y‖D},其中

‖x‖D=max{‖x‖F(xiàn),‖x′‖C},‖y‖D=max{‖y‖F(xiàn),‖y′‖C},

易證，DC[R+,R+]在上述范數(shù)下成為一個(gè)Banach空間。

2 主要結(jié)果

為方便起見，先列出下列條件：

(H2)存在非負(fù)常數(shù)aij(i=1,2;j=1,2,…,8)和pi∈C[R+,R+]滿足

引理1若條件(H1)成立，則由(2)定義的算子Ti和Si(i=1,2)是從FC[R+×R+]到FC[R+×R+]的有界性算子，且

(3)

證明由(2)可知，對(duì)?t∈R+有

和

類似的

和

由t的任意性知(3)成立，同時(shí)有界性也得到證明。

進(jìn)一步易知Ti和Si(i=1,2)是FC[R+×R+]到FC[R+×R+]的線性算子。

綜上，引理結(jié)論成立。證畢。

以下記fi(t,·)=fi(t,x(t),x′(t),y(t),y′(t),(Tix)(t),(Tiy)(t),(Six)(t),(Siy)(t)),i=1,2。 引理2 若條件(H1)，(H2)滿足，則

(4)

‖fi(t,x1,…,x8)‖≤pi(t)(ai1‖x1‖+…+ai8‖x8‖)+‖fi(t,θ,…，θ)‖,i=1,2。

所以，對(duì)(x,y)∈DC1[R+×R+]，根據(jù)引理1，我們可以得出

引理3假設(shè)(H1),(H2)滿足，則對(duì)?(x,y)∈DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]為BVP(1)的一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)(x,y)∈DC1[R+×R+]是如下積分方程組的解

(5)

其中G(t,s)=min{t,s}。

證明根據(jù)BVP(1)可知

。

(6)

對(duì)(6)兩邊同時(shí)從0到t積分，得

。

(7)

進(jìn)而，

(8)

將(8)代入(7)得到

同理

因此，(x(t),y(t))滿足(5)。

另一方面，若(x,y)∈DC1[R+×R+]滿足(5)，則通過求導(dǎo)得

繼續(xù)求導(dǎo)得

于是，我們發(fā)現(xiàn)(x,y)∈DC1[R+×R+]滿足BVP(1)。證畢。

定理1 假設(shè)(H1)，(H2)滿足，若

(9)

則BVP(1)在DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]中有唯一解。

證明定義算子A如下：

A(x,y)(t)=:{A1(x,y)(t),A2(x,y)(t)},

(10)

其中，

(11)

由引理2，對(duì)任意t∈R+我們有

(12)

其中，β同(9)中定義，α=max{‖x0‖,‖x∞‖,‖y0‖,‖y∞‖}+max{ri,i=1,2}所以有

‖Ai(x,y)(t)‖F(xiàn)≤α+β‖(x,y)‖,?(x,y)∈DC[R+,R+],i=1,2。

(13)

另一方面，由(10)、(11)及引理2，類似于(12)的推導(dǎo)，我們得到

(14)

故

(15)

由(13)與(15)可知算子A從DC1[R+,R+]到DC1[R+,R+]，且

‖A(x,y)‖≤α+β‖(x,y)‖,?(x,y)∈DC1[R+×R+]。

利用(H2)，類似于(12)，我們發(fā)現(xiàn)

于是有

(16)

另外，類似于(14),(15)容易得到

(17)

因此，根據(jù)(16)，(17)我們有

由(9)知β<1，所以A:DC1[R+×R+]→DC1[R+×R+]為壓縮映射，于是由Banach不動(dòng)點(diǎn)定理知算子A在DC1[R+×R+]上有唯一不動(dòng)點(diǎn)，由引理3知BVP(1)在DC1[R+×R+]∩C2[R+×R+]上有唯一解。證畢。

(18)

則

(19)

證明由引理3知(x(t),y(t))滿足(5)，且

(20)

(21)

與

(22)

類似于(16)，由(5)和(21)可知

同理

故

另一方面，由(20)和(22)我們得到

綜上可得

因此，(19)式成立，定理得證。證畢。

3 結(jié)論

本文在原有微分方程組邊值問題正解存在性的基礎(chǔ)上增加了導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、積分項(xiàng)，并且邊值條件由邊值為零擴(kuò)展為非負(fù)實(shí)數(shù)。另外，Guo[8]曾經(jīng)研究過含積分項(xiàng)、微分項(xiàng)的微分方程的解，在文中借鑒了他證明正解存在性的方法，應(yīng)用Banach不動(dòng)點(diǎn)理論，得到了積分-微分方程組BVP(1)正解的存在性和唯一性結(jié)果(見定理1),并在最后探討了正解對(duì)邊值的依賴性(見定理2)。