關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的思考

王穎喆

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 100875)

1 引言

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》[1](下文簡(jiǎn)稱新課程標(biāo)準(zhǔn))指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要培養(yǎng)和發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等幾個(gè)方面.”其中數(shù)學(xué)模型活動(dòng)“是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)課程必修的主要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)共同構(gòu)成高中數(shù)學(xué)課程的四條主線，貫穿必修、選擇性必修和選修課程.

作為新課程標(biāo)準(zhǔn)中的必修內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模教學(xué)中包含哪些具體內(nèi)容？在教與學(xué)的過程中都有哪些注意事項(xiàng)呢？下面就針對(duì)以下幾個(gè)問題做詳細(xì)的論述：數(shù)學(xué)建模與解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別，數(shù)學(xué)建模的具體內(nèi)容和過程，教師教學(xué)過程中應(yīng)該注意什么.

2 數(shù)學(xué)建模與解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別

對(duì)數(shù)學(xué)建模普遍存在的誤解是認(rèn)為數(shù)學(xué)建模過程就是求解一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程，這顯然是錯(cuò)誤的.數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程，是一個(gè)非常復(fù)雜的活動(dòng)，這里有兩個(gè)要素，一個(gè)是“實(shí)際問題”，一個(gè)是“用數(shù)學(xué)”，分別對(duì)應(yīng)的是研究對(duì)象和解決手段，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與解應(yīng)用題在研究對(duì)象和解決手段這兩個(gè)方面都有天壤之別.

首先，問題提出的方式不一樣.數(shù)學(xué)建模研究的對(duì)象是基于現(xiàn)實(shí)提出的較為龐大、復(fù)雜的實(shí)際問題，問題的提出和敘述往往是原始、粗糙、不規(guī)范的；而數(shù)學(xué)應(yīng)用題要簡(jiǎn)單很多，題干敘述嚴(yán)謹(jǐn),條件確定,數(shù)據(jù)清楚,目標(biāo)明確.

其次，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行量化的復(fù)雜度不一樣.數(shù)學(xué)建模研究的問題，其目標(biāo)的表達(dá)往往比較抽象籠統(tǒng)， 需要進(jìn)一步量化.比如要求收益的“均衡性”， 足球比賽賽程安排的“公平性”，某方案的“可行性”，或者給出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)營(yíng)方式，等等.這些問題的目標(biāo)比較復(fù)雜，往往不是一個(gè)數(shù)值性結(jié)果就能解釋清楚的，需要量化為數(shù)學(xué)表達(dá)式.數(shù)學(xué)應(yīng)用題目標(biāo)非常明確，不需要進(jìn)一步量化.比如求撞擊力度，求速度、位移等，又比如高考題中的估計(jì)維納斯的身高，求金字塔側(cè)面三角形底邊的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值，天壇的圜丘壇共有多少塊扇形石板，等等，都是非常明確的數(shù)值型目標(biāo)，不需要進(jìn)一步量化.

再次，問題的已知條件清晰度不一樣.數(shù)學(xué)建模需要解決的實(shí)際問題往往只有一個(gè)問題背景，沒有特定的已知條件，建模者需要根據(jù)情況自己提出假設(shè)，簡(jiǎn)化或者約束問題條件.比如考慮出租車司機(jī)收益問題時(shí)，要不要區(qū)分早晚高峰和閑時(shí)的情形？高溫防護(hù)服設(shè)計(jì)的問題中要不要考慮對(duì)流和熱輻射？研究傳染病傳播風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候是否考慮潛伏期的傳染性？由于實(shí)際情況的復(fù)雜性，導(dǎo)致我們必須提出必要的、合理的假設(shè)，才可以用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決這個(gè)問題.也就是從問題的合理簡(jiǎn)化出發(fā)，達(dá)到有效解決問題的目的.從假設(shè)的提出到假設(shè)的檢驗(yàn)，構(gòu)成數(shù)學(xué)建模的一個(gè)基本骨架，這正是數(shù)學(xué)建模的特征之一.而數(shù)學(xué)應(yīng)用題中已知條件是確定不可變的，不需要提出假設(shè)，也不能提出額外的假設(shè)，不能添加額外的條件.

最后，“用數(shù)學(xué)”的難度不一樣.數(shù)學(xué)建模的核心過程是模型建立與計(jì)算，這里涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)更深一些，邏輯結(jié)構(gòu)會(huì)更復(fù)雜一些.整個(gè)建模及模型計(jì)算的過程是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧炕屯茖?dǎo)過程，需要嚴(yán)密的邏輯，即便不需要更深更難的數(shù)學(xué)技巧，也需要建模者有較強(qiáng)的邏輯思維能力.既要有全局觀念，又要具備細(xì)節(jié)處理技巧；既依賴于建模者對(duì)實(shí)際問題的深刻理解，又要有“用數(shù)學(xué)”于實(shí)際的應(yīng)用能力；既要知道如何解決問題，又要知道如何將所得結(jié)果應(yīng)用于解釋實(shí)際.所以數(shù)學(xué)建模對(duì)應(yīng)用者的綜合能力要求更高、更全面.而且數(shù)學(xué)建模是沒有標(biāo)準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)答案的，合理的方法和結(jié)論就是好的模型.對(duì)數(shù)學(xué)模型來說，沒有最好，只有更好.而數(shù)學(xué)應(yīng)用題本質(zhì)上還是一個(gè)數(shù)學(xué)題，只是披著實(shí)際背景的外衣，有一致正確的方法，有唯一正確的答案.

總之，數(shù)學(xué)建模與解數(shù)學(xué)應(yīng)用題有本質(zhì)區(qū)別，我們不能用解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的眼光和方法對(duì)待數(shù)學(xué)建模，特別是中學(xué)老師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程中，應(yīng)該注意區(qū)分案例的特征，不要拿應(yīng)用題充當(dāng)建模案例，這樣體現(xiàn)不出數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)特征，無法培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，不符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求.

3 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的具體過程

從數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別可知，數(shù)學(xué)建模是從“實(shí)際問題”到“用數(shù)學(xué)”的一個(gè)復(fù)雜的綜合性過程，從問題的敘述到目標(biāo)的量化，從假設(shè)的提出到模型的建立，數(shù)學(xué)建模的每一步都非常重要，缺一不可.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)建模過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.”下面具體討論數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的幾個(gè)關(guān)鍵步驟.

(1)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題.數(shù)學(xué)建模解決的實(shí)際問題可以是高科技背景的問題，比如GPS定位,心臟手術(shù)血流仿真,圖像處理和識(shí)別,語音識(shí)別,機(jī)器翻譯,復(fù)合材料設(shè)計(jì)……可以說高科技本身就是數(shù)學(xué)技術(shù).當(dāng)然數(shù)學(xué)建模也可以解決我們身邊的一些不起眼的小問題，比如怎么打水漂才能使石塊彈跳次數(shù)最多？汽車為什么可以在很窄的路面上掉頭？明天的降水概率是60%，你要不要帶傘？杯子里的水很燙，只有一些冰塊，怎么做能盡快喝到水？只要用心觀察，身邊的很多小事其實(shí)都可以從數(shù)學(xué)的視角提出問題，然后用數(shù)學(xué)建模的方法解決.提出問題這個(gè)過程要求學(xué)生既要有敏銳的觀察力，又要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).要鼓勵(lì)并鍛煉學(xué)生有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和想象力，還可以提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

(2)分析問題.在分析問題的過程中，對(duì)問題進(jìn)行深入的剖析，是解決問題的敲門磚，是至關(guān)重要的一步.這個(gè)過程是學(xué)生嘗試進(jìn)行科研活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，必須按一定的邏輯和順序進(jìn)行，這樣學(xué)生在遇到陌生的問題和領(lǐng)域時(shí)，就有章可循，有法可依，就能一步步揭開問題的本質(zhì).

分析問題的第一步，量化目標(biāo)，明確問題讓我們求的是什么量，確立問題解決的方向.比如“杯中的水很燙，只有一些冰塊，怎么做能盡快喝到水？”這個(gè)問題的目標(biāo)是“盡快喝到水”，需要把它量化為水溫降到正常可飲用溫度的“時(shí)間長(zhǎng)度”，比如可以記為字母“T”；求什么呢？求的實(shí)際上是方案，就是冰塊與熱水的混合方案，這個(gè)方案可以量化為冰塊加入熱水的時(shí)刻“t”.這樣問題就變成了：求t,使得T最小.這個(gè)例子尋找目標(biāo)、量化目標(biāo)的過程比較簡(jiǎn)單，很多時(shí)候我們要解決的實(shí)際問題更為復(fù)雜，只要遵循這樣一個(gè)量化的原則，就能找到目標(biāo)，找到基本的大方向.

分析問題第二步，分析影響因素，提出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè).當(dāng)我們明確目標(biāo)以后，就需要考慮什么因素影響了我們的目標(biāo)，影響了我們要求取的這個(gè)量，哪些因素是極其重要的不可忽略的，哪些因素是可以簡(jiǎn)化的.比如還是上面這個(gè)喝水的問題，什么因素影響了熱水的降溫時(shí)間呢？環(huán)境溫度？熱水的量？冰塊的量？杯子的材質(zhì)？等等.可以充分地展開想象，盡可能列出所有可能的因素，然后再討論這些因素的輕與重，得到影響目標(biāo)的其他變量和參數(shù).在這個(gè)基礎(chǔ)上就可以提出假設(shè)，規(guī)范和簡(jiǎn)化問題.比如可以通過假設(shè)限定盛裝熱水的杯子是單層玻璃杯，盛裝冰塊的容器是一個(gè)保溫桶；假設(shè)室內(nèi)溫度恒定為25℃，適宜的飲用水溫度為45℃，等等.當(dāng)然還有很多其他需要提出的假設(shè)條件，此處不再一一贅述.

分析問題第三步，文獻(xiàn)閱讀與學(xué)習(xí).由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，絕大部分情況需要查找文獻(xiàn)、閱讀文獻(xiàn),學(xué)習(xí)借鑒文獻(xiàn)中對(duì)類似問題的處理方法和技巧,這一步是缺一不可的.但要注意不能被文獻(xiàn)牽著鼻子走,要結(jié)合實(shí)際問題,以解決問題為目的, 合理準(zhǔn)確的借鑒文獻(xiàn)中的方法，而不是以展示某個(gè)模型或者方法為目的，全盤照抄文獻(xiàn)，為使用文獻(xiàn)中的方法硬性修改問題的條件，或者提出不合理的假設(shè).

分析問題第四步，模型選擇，尋找達(dá)到目標(biāo)的路徑.目標(biāo)和影響因素分析清楚以后，就需要確定具體選擇建立怎樣的模型，這一步僅僅是明確需要建立的模型類型和大概方向.數(shù)學(xué)模型按所使用的數(shù)學(xué)工具分類，有初等模型、代數(shù)模型、幾何模型、組合模型、圖論模型、微分方程模型、差分方程模型、仿真模型、統(tǒng)計(jì)模型、運(yùn)籌模型等不同的類別；按建模目標(biāo)分類，有描述模型、分析模型、預(yù)測(cè)模型、優(yōu)化模型、控制模型等等；按應(yīng)用領(lǐng)域分類，有物理模型、生物化學(xué)模型、醫(yī)學(xué)模型、生態(tài)模型、經(jīng)濟(jì)管理模型等.大部分情況下，我們建立的模型都是綜合性的，比如說是用微分方程刻畫的物理模型，或者利用仿真進(jìn)行計(jì)算的優(yōu)化模型.如果需要用到一些學(xué)生沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，需要學(xué)生積極的進(jìn)行學(xué)習(xí).所以說數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，同時(shí)也可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí).

(3)建立模型以及模型求解.當(dāng)我們?cè)趩栴}分析的時(shí)候明確了解決問題的基本路徑，應(yīng)該建立怎樣的模型以及該模型的具體算法其實(shí)就已經(jīng)明晰了.接下來就是具體的模型建立、參數(shù)估計(jì)和模型計(jì)算的過程，參數(shù)來自于我們?cè)趩栴}分析第二步所做的影響因素的分析.參數(shù)估計(jì)有的時(shí)候是困難的，也有一定的技巧和方法，教學(xué)中不需要講授高難度的方法，重點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)參數(shù)估計(jì)的重要性，培養(yǎng)學(xué)生做參數(shù)估計(jì)的意識(shí).參數(shù)取值確定下來，才能真正進(jìn)入對(duì)目標(biāo)的計(jì)算，不同的模型有不同的算法，這部分內(nèi)容非常繁雜，這里就不再贅述了.

(4)模型檢驗(yàn)與改進(jìn).針對(duì)一個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問題，實(shí)際上解決的方案不止一個(gè)，數(shù)學(xué)建模解決的問題是沒有標(biāo)準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)答案的，那么我們的模型和結(jié)果是否合理？是否可以比較好的解決這個(gè)問題？這需要進(jìn)行檢驗(yàn).模型檢驗(yàn)的方法有多種，需要具體問題選擇具體的檢驗(yàn)方法，其中一個(gè)比較普遍的方法是對(duì)參數(shù)做靈敏度分析，也就是分析參數(shù)的變化對(duì)模型結(jié)果的影響，從而推斷模型的適用情況和范圍.

同一個(gè)問題可以有不同的解決方案，數(shù)學(xué)模型沒有好壞之分，只有合理和不合理.對(duì)一個(gè)搭建好的模型，總是存在改進(jìn)空間的，所以可以說“沒有最好，只有更好”.應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生逐步改進(jìn)模型，這也會(huì)讓我們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)更深刻，對(duì)模型的理解更透徹.

4 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)該注意的幾個(gè)問題

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)其主要特點(diǎn)，以真實(shí)的實(shí)際問題為教學(xué)案例，按照一般的建模步驟，引導(dǎo)學(xué)生逐步體會(huì)學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的過程.這里需要注意以下幾個(gè)問題：

一是案例選擇很重要，最好是學(xué)生們身邊常見的現(xiàn)象，從中轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模問題，這樣的問題也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

二是解決問題所用的數(shù)學(xué)方法不要過于艱深，不能超過大部分學(xué)生的認(rèn)知水平，否則會(huì)破壞學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

三是案例講解的時(shí)候不要把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)知識(shí)的解析上，應(yīng)該以數(shù)學(xué)建模過程作為重點(diǎn)，這個(gè)過程是一個(gè)綜合的連貫的邏輯過程，模型本身和模型計(jì)算只是其中一部分，不要以偏概全.實(shí)際上對(duì)問題的理解和分析尤為重要，不同的問題建立的模型不一樣，但是分析問題的技巧都是一樣的，這個(gè)技巧需要多加訓(xùn)練，這才是解決問題的入門之路.

四是不能把解數(shù)學(xué)應(yīng)用題當(dāng)成數(shù)學(xué)建模過程，如前所述， 數(shù)學(xué)應(yīng)用題遠(yuǎn)沒有數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的復(fù)雜性和綜合性，所以教學(xué)中不能混淆.

總之，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)該基于高中學(xué)生掌握的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，介紹數(shù)學(xué)建模的基本思想和方法，采用從問題出發(fā)的教學(xué)方式，重點(diǎn)講解如何著手分析實(shí)際問題，如何從實(shí)際問題中提出數(shù)學(xué)模型以及如何通過數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，而非系統(tǒng)講解模型中的數(shù)學(xué).應(yīng)側(cè)重于教授思維方式和理論架構(gòu)，啟發(fā)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)查詢資料，主動(dòng)探索，合作交流，擴(kuò)大知識(shí)面.通過設(shè)置適當(dāng)課堂討論題和實(shí)踐作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和實(shí)踐, 解決實(shí)際問題，獲得成就感，增強(qiáng)自信心，激發(fā)結(jié)合實(shí)際學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的動(dòng)力.數(shù)學(xué)建模是一門面向?qū)嶋H，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型理解實(shí)際現(xiàn)象或解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)具有復(fù)雜性和綜合性，往往需要多人合作完成，這個(gè)過程可以讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的演繹邏輯與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)造性思維能力、解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)和能力以及團(tuán)隊(duì)溝通協(xié)作的能力，培養(yǎng)持久的毅力和信心.數(shù)學(xué)建模被新課程標(biāo)準(zhǔn)列為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容，是時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展的要求，給中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)改革提出了挑戰(zhàn)，同時(shí)也必將使得數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的研究成為一個(gè)熱門研究方向.