具有非局部條件的時間分數(shù)階熱傳導方程的Chebyshev小波數(shù)值方法

許小勇， 熊臨晨

(東華理工大學 理學院，江西 南昌 330013)

非局部條件主要出現(xiàn)在邊界數(shù)據(jù)無法直接測量的情況下，具有非局部條件的邊值問題具有非常重要的應(yīng)用，最近具有非局部條件的分數(shù)階熱傳導方程得到了大量的關(guān)注。Ashyralyev等(2003)利用半群方法求解了一維經(jīng)典的具有非局部條件的熱傳導方程并分析方法的穩(wěn)定性。Zhou等(2009)提出了基于再生核方法求解經(jīng)典的具有非局部條件的拋物型方程。然而利用數(shù)值方法討論含非局部邊界條件分數(shù)階熱傳導方程的文獻很少見報道。Karatay等(2011)利用基于改進的高斯消去法求解了非齊次非局部分數(shù)階熱傳導方程；Bhrawy等(2014)應(yīng)用Legendre Tau方法求解了此問題。

小波分析理論產(chǎn)生于1980年代初,其思想來源于Fourier分析,但克服了Fourier分析時頻不能同時局部化的缺陷, 是Fourier分析理論和應(yīng)用的發(fā)展，在工程中具有非常重要的應(yīng)用(張曉峰等，2016)。由于小波方法可以同時具備較強的空間和頻譜分析能力，有利于高效的得到高精度解。在數(shù)學上由正交多項式通過伸縮、平移得到的正交小波近年來被廣泛應(yīng)用于各類方程的數(shù)值計算, 如：Legendre小波、Chebyshev小波、Bernoulli小波等(Ali et al.，2017；鄭明等，2017；Rahimkhani et al.，2017)。利用第二類Chebyshev小波求解如下具有非局部條件的分數(shù)階熱傳導方程：

(1)

非局部條件和邊值條件

u(x,0)=u(x,1)+f(x),0

(2)

u(0,t)=g0(t),u(1,t)=g1(t),0

(3)

其中0<α<1，u(x,t)是關(guān)于x和t的溫度函數(shù)，q(x,t)為已知源項。本研究主要目的是提出一種高精度的數(shù)值方法求解方程(1)，該方法是基于第二類Chebyshev小波分數(shù)階微分和積分公式并結(jié)合小波配置法，將所求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組求解，給出了數(shù)值例子并與相關(guān)結(jié)果進行了比較。

1 第二類Chebyshev小波及性質(zhì)

Chebyshev小波ψn,m(x)=ψ(k,n,m,x)包含4個參數(shù)，在[0,1)區(qū)間上的定義如下：

(4)

(5)

ψn′,m′(y)

對上式進行截斷可得，

(6)

本次所提算法中需要用到第二類Chebyshev小波函數(shù)任意分數(shù)階積分公式，具體如下：

定理1 (Zhou et al.，2017)定義在區(qū)間[(n-1)/2k-1,n/2k-1]上第二類Chebyshev小波函數(shù)ψn,m(x)的任意a(>0)階積分計算公式如下：

Iαψn,m(x)=

(7)

2 第二類Chebyshev小波函數(shù)任意分數(shù)階微分公式

根據(jù)Caputo分數(shù)階導數(shù)的定義，給出第二類Chebyshev小波函數(shù)任意分數(shù)階微分公式。Caputo分數(shù)階導數(shù)定義(Podlubny, 1999)如下：

定理2 定義在區(qū)間[(n-1)/2k-1,n/2k-1]上第二類Chebyshev小波函數(shù)ψn,m(x)的任意α(0<α<1)階微分計算公式如下：

Dαψn,m(x)=

(8)

為了描述方便，引入下面的記號

因此，第二類Chebyshev小波函數(shù)可表示成

所以，Dαψn,m(x)

3 算法描述

(9)

對方程(9)中變量從0到x進行兩次積分,可得

(10)

=(I2Ψ(x))TUΨ(t)

(11)

在方程(11)中令x=1，得

(12)

u(x,t)=(1-x)g0(t)+xg1(t)

+((I2Ψ(x))T-x(I2Ψ(1))T)UΨ(t)

(13)

對u(x,t)中變量t求α次導數(shù)，得

+((I2Ψ(x))T-x(I2Ψ(1))T)UDαΨ(t)

(14)

在實際計算中I2Ψ(1)≈I2Ψ(1-10-15)，根據(jù)配置法，為了計算方程(9)中的未知系數(shù)矩陣U，選取如下配置點

xi=(2i-1)/(2kM),tj=(2j-1)/(2kM),i=1,2,…,2k-1M,j=1,2,…,2k-1M-1。將表達式(9)、(14)代入方程(1)中，并考慮上述配置點，得到2k-1M×(2k-1M-1)個線性方程

(1-xi)Dαg0(tj)+xiDαg1(rj)+((I2Ψ(xi))T-xi(I2Ψ(1))TUDαΨ(tj)-ΨT(xi)UΨ(tj)

=q(xi,tj)

(15)

另外考慮非局部邊值條件，將配置點xii=1,2,…,2k-1M代入方程(2)，可得2k-1M個方程

u(xi,0)=u(xi,1)+f(xi)

(16)

由此可以得到含2k-1M×2k-1M個變量的線性方程組，求此方程組可解出系數(shù)矩陣U，將U代入u(x,t)的表達式(13)中，便可求得方程(1)的近似解。

4 數(shù)值算例

0

非局部條件u(x,0)=u(x,1)-ln(1+x(1-x)),0

方程精確解為u(x,t)=t2ln(1+x(1-x))。

Bhrawy等(2014)應(yīng)用Legendre tau-譜方法求解了此問題，并給出了α=0.45和0.95時不同參數(shù)N,M情況下的最大絕對誤差(MAEs)。表1給出了α=0.45和0.95的最大絕對誤差，并與Bhrawy的結(jié)果進行了比較。圖1分別畫出了k=1時,M=10,α=0.45(圖1a)和M=12，α=0.95(圖1b)的整體誤差函數(shù)圖。為了說明所提出方法的收斂性，筆者畫出了當k=1,α=0.45,0.95時最大絕對誤差的半對數(shù)曲線圖(圖2)，可以看出誤差呈指數(shù)遞減，這也是期待的譜精度。本研究的方法比Bhrawy介紹的方法結(jié)果更精確。

例2 考慮如下具有非局部條件的時間分數(shù)階熱傳導方程

+4π2t2sin(2πx)，0

非局部條件u(x,0)=u(x,1)-sin(2πx)，0

表1 k=1時不同M值下最大絕對誤差值

Bhrawy等(2014)應(yīng)用Legendre tau方法求解了此問題，為了進一步說明本次算法比文獻結(jié)果更精確，在表2中比較了兩種算法的最大絕對誤差值，表明在參數(shù)相同的情況下，本次結(jié)果具有更高的精度。

表2 k=1時不同M值下最大絕對誤差值

5 結(jié)論

在Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下，利用移位的第二類Chebyshev 多項式解析形式，推導了第二類Chebyshev小波函數(shù)的任意α(0<α<1)階微分公式。建立了一種求解具有非局部條件的分數(shù)階熱傳導方程有效的小波配置法。通過使用有限數(shù)量的小波基函數(shù)就可以得到較高精度的解。所給全局誤差與多項式次數(shù)的半對數(shù)曲線圖說明本研究方法具有指數(shù)收斂特點。所得數(shù)值結(jié)果與精確解和Legendre tau方法近似解的比較，說明了本次所提方法的有效性。