基于聯(lián)系觀的高考試題共性研究視角

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周 威

2018年3月，教育部考試中心主任姜剛在《牢記立德樹人使命寫好教育考試奮進之筆》一文中說道，高考應(yīng)積極“引導(dǎo)教學(xué)”，樹好“一面旗”，大力助推素質(zhì)教育.這就意味著對高考試題的研究不僅僅是備考，更是我們平時教學(xué)中的導(dǎo)向！若能基于聯(lián)系的觀點對同類型高考題進行共性研究，更能總結(jié)解題思路、方法，便于在關(guān)聯(lián)的情境中進行解題教學(xué)，在新情境中幫助學(xué)生學(xué)會選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題.

一道試題通常包括顯性要素和隱性內(nèi)涵，而顯性要素就是我們能看到情境與設(shè)問形式，隱性內(nèi)涵包括試題立意、問題本質(zhì)、核心素養(yǎng)的體現(xiàn)等.聯(lián)系觀是唯物辯證法的總特征之一，其強調(diào)事物與事物之間、事物內(nèi)部諸要素之間是普遍聯(lián)系的，本文以2019年高考數(shù)學(xué)解析幾何題為研究對象，基于聯(lián)系的觀點從試題的顯性與隱性方面闡述共性研究的幾個視角.

一、試題立意中的共性研究

問題形式中的共性，往往能體現(xiàn)出試題立意.試題立意一般包括知識立意、能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向.知識立意包括基礎(chǔ)知識、基本方法等，是“四基”的一種體現(xiàn).通過聯(lián)系的觀點，對不同省份高考試題的立意進行共性研究可以發(fā)現(xiàn)，它往往具有共同的問題形式或基于某一共同的性質(zhì)或定理.

例1(2019年高考北京卷文科第19 題)已知橢圓的右焦點F，且經(jīng)過A(0,1).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)O為原點，直線l:y=kx+t(t±1))與橢圓C交于兩個不同的點P,Q，直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N，若|OM||ON|=2，求證直線l經(jīng)過定點.

圖1

解析(1)

(2)如圖1，設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，將l:y=kx+t代入橢圓方程得，(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0，則

直線AP的方程為所以同理可得故

可得t=0，即直線l經(jīng)過原點.

例2(2019年高考全國ⅠⅠ卷理科第21 題)已知點A(-2,0),B(2,0)，動 點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

圖2

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線;

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE ⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.(i)證明： ?PQG是直角三角形;(ii)求?PQG面積的最大值.

解析(1)

共性分析這兩個例題情境都是直線過橢圓的中心，問題形式中都滿足a2= 2b2.事實上，這都基于橢圓的一條性質(zhì)： 若過橢圓中心O的直線與橢圓相交于A,B兩點，C為橢圓上異于A,B的任一點，則直線CA與CB的斜率之積為

從例2 證明過程可以看到，kP Q= 2kQG，只有橢圓= 1 (a ＞ b ＞0)滿足a2= 2b2時，才有PQ ⊥PG，這就是為什么例2中要設(shè)定橢圓方程為同 樣 在 圖1中，由且|OA|=b= 1，所以|OM||ON|= 2，這恰是例1 中之所以要設(shè)定橢圓方程為的原因.

二、試題解法中的共性研究

研究高考題肯定避免不了研究其解法，把高考題作為例題進行選講，要充分發(fā)揮它解法的基礎(chǔ)性、示范性、典型性.因此很有必要從不同的高考題中提煉解法的典型性和共性，甚至有時候一道試題的命制就是基于這種解法的共性，比如例1 與2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理18 題.

例3(2019年高考北京卷理科第18 題)已知拋物線x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的的方程及其準(zhǔn)線方程.

(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0 的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1 分別交直線OM,ON于點A和B.求證以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

解析(1)x2=-4y,y=1.

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1，0，代入拋物線方程可得x2+4kx-4 = 0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1+x2=-4k,x1x2=-4.直線OM,ON的方程分別為所以以AB為直徑的圓的方程為+(y+1)(y+1)=0，化簡為

共性分析例1 與例3 解法中都基于直線l:y=kx+t與圓錐曲線交于兩點(x1,y1),(x2,y2)，再連接這兩點和圓錐曲線某頂點的連線與另一條固定直線相交于新的兩點.因此，例3 中的“圓過定點”與例1 中的“直線過定點”的關(guān)鍵原因就是： 例3 中兩點和橫坐標(biāo)滿足為定值;例1 中兩點M,N橫坐標(biāo)在條件“|OM||ON|= 2”下也滿足為定值.所以這兩題就是“在為定值的條件下求解”的問題(其中λ為與圓錐曲線某頂點坐標(biāo)相關(guān)的實數(shù))，這也是這兩道高考題的解法共性所在.

三、試題變式中的共性聯(lián)系

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，好問題同種蘑菇類似，它們都成堆生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找，很可能附近就有幾個.那么基于試題共性的基礎(chǔ)上，你會發(fā)現(xiàn)對試題進行變式，就是最好的一種“找蘑菇”的方式.這種方式可以根據(jù)事物內(nèi)部的聯(lián)系，交換或改變條件，就會產(chǎn)生另外一種結(jié)論.比如，例1 與例3 之間基于共性分析在題干不變情況下，變化“為定值”的關(guān)鍵條件，例1 與例3 就能基于共性構(gòu)建相關(guān)聯(lián)系.

例4(例3 變式)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程.

(2)設(shè)O為原點，作斜率不為0 的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1 分別交直線OM,ON，x軸于點A,B,H.若|HA|·|HB|=2，直線l是否經(jīng)過定點?

解析(1)x2=-4y,y=1.

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,(k0)，代入拋物線方程可得x2+4kx+4t= 0.設(shè)M(x1,y1),N(x2.y2)，則x1+x2=-4k,x1x2=4t.所以H(0,-1)，所以|HA||HB|=2，解得t=±2，即直線l是經(jīng)過定點(0,2)或(0,-2).

例5(例1 變式)已知橢圓的右焦點F(1,0)，且經(jīng)過A(0,1).

(1)求橢圓C的方程;

(2)O為原點，直線l:y=kc+t(1)與橢圓C交于兩個不同的點P,Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，那么以MN為直徑的圓是否過y軸上定點?

解析(1)

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則以MN為直徑的圓方程為將l:y=kx+t代入橢圓方程得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0，則

評注上述變式中，例4 中加入條件“|HA||HB|= 2”即保證了“為定值2”可得到具體的t值; 例5 中雖然去掉了條件“若|OM||ON|= 2”，但依然為關(guān)于t的定值.所以通過這種內(nèi)部聯(lián)系改變條件使得例1 與例3 的結(jié)論相互轉(zhuǎn)化.

四、試題設(shè)問中的共性研究

有時候兩道解析幾何高考題之間的問題情境和問題設(shè)問的形式上沒有直接關(guān)聯(lián)，但如果抓住交互的知識點，通過數(shù)學(xué)抽象對高考題的設(shè)問進行共性研究，就能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，形成解決問題的思路，比如浙滬卷的解析幾何題.

例6(2019年高考浙江卷第21 題)如圖3，已知F(1,0)是拋物線y2= 2px(p ＞0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在拋物線上，使得?ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，點Q在點F的右側(cè)，記?AFG，?CQG的面積分別為S1,S2.

圖3

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

解析(1)p=2,x=-1;

(2)設(shè)A(t2,2t)(t0)，直線AB方程為1 代入拋物線方程為所 以聯(lián)立重心坐標(biāo)公式得

所以AC方程為y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1,0)，由于Q在點F的右側(cè)，則t2＞2.則

令m=t2-2，則

此時G(2,0).

例7(2019年高考上海卷第20 題)如圖4，已知橢圓，F(xiàn)1,F2為其左、右焦點，直線l過F2且與橢圓交于A,B兩點.

圖4

(1)AB垂直于x軸時，求

(2)若∠F1AB= 90°，且A在x軸上方，求A,B兩點的坐標(biāo);

(3)直線AF1交y軸于M,BF1交y軸于N，問： 是否存在直線l使得S?F1AB=S?F1MN，若存在求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

解析(1)

(2)A(0,2),

(3)設(shè)直線AB的方程為x=my+c，A(x1,y1),B(x2,y2)，將直線方程代入橢圓方程得(m2+2)y2+4my-4=0，所以

直線AF1為所以同理

由S?F1AB=S?F1MN得|yM - yN|= 2|y2- y1|解得故存在

共性分析若從面積比值的這個交互點來看，兩道高考題的設(shè)問本質(zhì)是一樣的.如果例6 第(2)問中記則此時就是時，求G點坐標(biāo); 例7 第(3)問中若記S?F1AB=S1,S?F1MN=S2，令則此時就是λ= 1 時，求直線l的方程.因此，例4 與例5 設(shè)問本質(zhì)上就是圓錐曲線中關(guān)于三角形面積比值的問題.因此，在解題思路上也是大同小異! 例6 第(2)問中，由最終轉(zhuǎn)化為A點縱坐標(biāo)、Q點坐標(biāo)及G點坐標(biāo)計算上面來;例7第(3)問中由S?F1AB=S?F1MN轉(zhuǎn)化為利用韋達定理對點M,N,A,B，的縱坐標(biāo)進行運算.只是例6 在計算時需從設(shè)“A點”坐標(biāo)開始較為方便，而例7 可直接設(shè)直線方程代入橢圓方程計算.

五、結(jié)語

唯物辯證法認為，聯(lián)系具有多樣性，有直接聯(lián)系和間接聯(lián)系，內(nèi)部聯(lián)系和外部聯(lián)系，本質(zhì)聯(lián)系和非本質(zhì)聯(lián)系，必然聯(lián)系和偶然聯(lián)系、整體與部分的聯(lián)系等，我們在高考備考中研究高考試題時，可以根據(jù)聯(lián)系的多樣性，對各地高考試卷考點進行歸納與分類，尋找聯(lián)系之間的共性.美國數(shù)學(xué)家Halmos 說過，“數(shù)學(xué)研究主要就是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題”，實踐表明，在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題過程中，很多高考題都能通過歸納與分類的方式和基于聯(lián)系觀，在情境與問題、在問題立意和問題本質(zhì)上中找到共性.對這些共性研究更能抓住問題的本質(zhì)，更有利于基于共同的情境、分析數(shù)學(xué)問題的變式和拓展，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).