一道幾何賽題的若干證法

廣東省深圳中學(xué)(518001) 邱際春

廣東省深圳市桂園中學(xué)(518008) 羅 芳

2019年廣東省中學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營高中聯(lián)賽模擬試題二試中有如下一道幾何題：

題目如圖1，在凸四邊形ABCD的邊BC,AD上分別取點(diǎn)E,F，滿足以E為圓心過點(diǎn)B的圓與直線CD相切，以F為圓心過點(diǎn)A的圓與直線CD相切，證明： 直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B.

圖1

本題以四邊形、圓為背景，考查三線共點(diǎn)與三點(diǎn)共線之間的轉(zhuǎn)化能力，是一道方法多樣、綜合性較強(qiáng)的試題.下面是廣東省數(shù)學(xué)會給出的參考解答：

證明如圖2，設(shè)直線BC與直線AD交于點(diǎn)G,直線AB與直線FE交于點(diǎn)H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），則

圖2

根據(jù)梅涅勞斯定理及其逆定理可知，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)?H,C,D三點(diǎn)共線又直線HA截?GEF，于是由梅涅勞斯定理知比較上述兩式可得

設(shè)直線CD與⊙E,⊙F的切點(diǎn)分別為M,N,連接EM,FN，則BE=EM=CE ·sin ∠C，AF=FN=DF ·sin ∠D.將此兩式代入上式，得所以從而

因此，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B.

評注若從題目中包含的基本圖形來看，此題似乎由《近代歐氏幾何學(xué)》中第13 頁的定理[1]演變而來，將兩圓看成位似形還可進(jìn)一步推出一些好的結(jié)論.

接下來，筆者擬從相似、面積、位似、根軸等角度進(jìn)行探究，給出下面幾種證明方法.

另證一如圖3，不妨設(shè)直線AB與直線EF相交于H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），與⊙E交于一點(diǎn)L，直線CD分別與⊙E,⊙F切于點(diǎn)M,N,則直線AB,EF,CD交于一點(diǎn)?H,C,D三點(diǎn)共線.

圖3

注意到H,C,D三點(diǎn)共線? H,M,N三點(diǎn)共線?∠FHM= ∠FHN.下面只需證明∠ABC= ∠BAD ?∠FHM=∠FHN.

因?yàn)镋L=EB，所以∠BLE=∠LBE.又因?yàn)?/p>

∠LBE+∠ABC=180°,∠BLE+∠HLE=180°.

所以∠ABC=∠HLE，所以

∠ABC=∠BAD ?∠BAD=∠HLE ??LHE∽?AHF.

因?yàn)镋M ⊥ CD,FN ⊥ CD，所以EM ‖ FN，所以∠HEM=∠HFN.又注意到LE=EM,AF=FN，于是

故∠ABC=∠BAD ?∠FHM=∠FHN.

綜上所述，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B

另證二如圖4，不妨設(shè)直線AB與直線EF相交于H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），連接AE,BF，直線CD分別與⊙E,⊙F切于點(diǎn)M,N，過點(diǎn)E作EG ⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FK ⊥AB于點(diǎn)K，則直線AB,EF,CD交于一點(diǎn)?H,C,D三點(diǎn)共線.

圖4

注意到H,C,D三點(diǎn)共線? H,M,N三點(diǎn)共線?∠FHM= ∠FHN.下面只需證明∠ABC= ∠BAD ?∠FHM=∠FHN.

因?yàn)镋M ⊥ CD,FN ⊥ CD，所以EM ‖ FN，所以∠HEM= ∠HFN.從而H,M,N三點(diǎn)共線??HEM∽?HFN ?又因?yàn)椤螲GE=∠HKF,∠GHE= ∠KHF，所以?GHE∽?KHF，所以因?yàn)?/p>

H,M,N三點(diǎn)共線

綜上所述，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B.

另證三如圖5，設(shè)直線AB與直線FE交于點(diǎn)H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），連接HC和HD，則直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)?H,C,D三點(diǎn)共線.

圖5

注意到

分別代入上述等式可得

由正弦定理可知

又由于

H,C,D三點(diǎn)共線?sin ∠BCD=sin ∠BCH

故∠ABC=∠BAD.

因此，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B.

另證四如圖6，設(shè)直線EF與直線CD交于點(diǎn)H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），連接AH分別交⊙E于點(diǎn)L,B′，連接B′E，直線CD分別與⊙E,⊙F切于點(diǎn)M,N，則EM ⊥CD,FN ⊥CD.

圖6

因?yàn)椤螮HM= ∠FHM，所以?EHM∽?FHN.記⊙E的半徑為r,⊙F的半徑為R，則設(shè)是以H為位似中心，為位似比的位似變換.則在的變換下，M → N,E → F,L →

A,?HEM →?HFN,?HLE →?HAF.

先證充分性：根據(jù)位似的性質(zhì)，有LE ‖ AF，故∠HLE=∠HAF.又因?yàn)椤螮LB′=∠LB′E，所以

因?yàn)椤螦BE=∠BAF，所以點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合.故三條直線AB,CD,EF平行或交于一點(diǎn).

再證必要性： 由于三條直線AB,CD,EF交于一點(diǎn)H(若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn))，根據(jù)位似的性質(zhì)，有∠HLE=∠HAF，又因?yàn)椤螮LB=∠LBE，所以

∠ABE=180°-∠LBE=180°-∠BLE=∠HLE.故∠ABC=∠BAD.

因此，直線AB,EF,CD平行或交于一點(diǎn)的充要條件是∠A=∠B.

另證五如圖7，設(shè)直線CD分別與⊙E,⊙F切于點(diǎn)M,N,直線EF分別與⊙E,⊙F交于點(diǎn)P,Q，分別連接EM,FN,BM,BP,PM,AN,AQ,QN,則有

圖7

∠EMN= ∠FNM= 90°，∠EPM= ∠EMP,∠FQN=∠FNQ，∠EBP= ∠EPB,∠FAQ= ∠FQA.因 為∠MEF+∠EFN=180°，即

所以∠EPM+∠FNQ=90°，所以

所以P,Q,M,N四點(diǎn)共圓.

先證充分性： 在四邊形ABEF中，有∠ABE+∠BEF+∠AFE+∠BAF=360°，又由于

代入上式整理可得

因?yàn)椤螦BC=∠BAD，所以

所以∠ABP= ∠ANF，所以A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.因?yàn)椤螰AN=∠FNA，所以

所以

所以A,B,M,N四點(diǎn)共圓.考慮四邊形ABPQ，四邊形ABMN，四邊形PQMN的外接圓，其兩兩的根軸分別為直線AB,CD,EF.故由根心定理知，這三條直線AB,CE,EF交于這三個(gè)圓的根心H或平行.

再證必要性： 設(shè)三條直線AB,CD,EF交于點(diǎn)H（若平行時(shí)視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），?BMN的外接圓交直線AB于點(diǎn)A′，則A′,B,M,N四點(diǎn)共圓.由圓冪定理得HA′ ·HB=HM ·HN，又因?yàn)镻,Q,M,N四點(diǎn)共圓，有HP ·HQ=HM ·HN，所以

由圓冪定理的逆定理可知A′,B,P,Q四點(diǎn)共圓，所以∠BA′Q=∠BPE.

因?yàn)椤螧MN=180°+∠FAN-∠BAQ-∠QAF，所以∠BA′N=∠BA′Q+∠QAF-∠FAN=∠BA′Q+∠QAN，所以∠QA′N=∠QAN，所以A,A′,Q,N四點(diǎn)共圓.

因?yàn)椤螧AN= 180° -∠BMN ＞90°，所以點(diǎn)A′與A重合.因?yàn)锳,B,P,Q四點(diǎn)共圓，所以∠EPB=∠BAQ,∠ABP=∠AQF，兩式相加得∠ABP+∠EPB=∠BAQ+∠AQF，即∠ABP+∠EBP=∠BAQ+∠QAF，所以∠ABC=∠BAD.