一道清華大學自招試題的解法探究及拓展

廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

1.試題呈現(xiàn)與分析

例1(2019年清華大學自主招生考試第8 題)已知橢圓，過點F(2,0)的直線與橢圓交于A,B兩點，點C在直線x= 3 上，若?ABC為等邊三角形，求?ABC的面積．

試題分析題目結構清晰，以橢圓為背景，主要考查橢圓的焦點弦、幾何性質、直線與橢圓的位置關系，三角形的面積等知識以及轉化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想，突出考查學生邏輯推理、推理論證及運算求解等方面的能力，試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的命題思想，較好地體現(xiàn)了對直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查，亦較好地檢測學生的數(shù)學素養(yǎng)和學習潛能.

2.解法探究

解法1(通性通法，少思多算)設直線l:x=my+ 2,A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中點為N，聯(lián)立整理可得(m2+3)y2+4my-2=0,

易求得N點橫坐標

因為?ABC為等邊三角形，所以CN ⊥AB，即kCN=-m，于是

評注本解法通過設直線方程并聯(lián)立直線與橢圓結合韋達定理，再利用坐標表示弦長建立關于斜率的等式達到求解參數(shù)的目的，解題思路清晰，學生容易想到，但是運算較為繁瑣，要求學生提高數(shù)學運算能力.下面先給出兩個結論：

(1)設AB是過橢圓= 1 (a ＞ b ＞0)右焦點F的弦，直線AB與x正半軸所成的角為θ，則

(2)設橢圓焦點弦AB的中垂線交長軸于點D，則e為橢圓的離心率.

圖1

證明(1)如圖1所示： 過A點作直線的垂線于A1，由橢圓的第二定義知即化簡整理得同理得

(2)如圖1知

解法2(巧用結論，多思少算)設直線AB與x正半軸所成的角為θ，由題意知離心率根據(jù)上述結論正三角形的邊長|AB|=過A,B分別作直線x= 3的垂線，垂足分別為A1,B1如圖2所示，由橢圓第二定義得|FA|=|A1A| · e,|FB|=|B1B| · e,設∠CBB1=α,∠CAA1=β，顯然α+β=60°，在Rt?BCB1中

所以

在Rt?ACA1中，同理可得因 為cosβ= cos(60° -α)=結合(1)(2)得于是故?ABC的面積

評注注意到直線AB過焦點，故可借用焦點弦結論，利用直線傾斜角表示弦長，進而通過圖中角度關系β+α=60°建立三角恒等式求解參數(shù)θ，思路相對簡潔，計算量較解法1大大減少.

圖2

圖3

解法3(大道至簡，深思妙算)設直線AB與x正半軸所成的角為θ，由上述結論可知

評注考慮到直線AB過焦點而且以線段AB為邊的正三角形出現(xiàn)，很自然的聯(lián)想到焦點弦的中垂線性質，直接利用直角三角形中幾何關系建立角度參數(shù)的等式，容易操作，達到化繁為簡的效果;體現(xiàn)了解題中尤其是解決小題時二級結論的優(yōu)越性.

3 應用拓展

3.1 解法3 的應用

解法3 巧妙的借助焦半徑及焦點弦的中垂線性質，極大地減少運算和推理論證過程;焦點弦的中垂線結論對于解決垂直于焦點弦一類問題有著相當?shù)膬?yōu)勢，相比傳統(tǒng)的以直線的斜率作為參數(shù)，再聯(lián)立直線和曲線得到一個一元二次方程，然后利用韋達定理求解，這樣往往運算量特別大，而選擇角度形式的焦點弦則可大大簡化計算，直達問題結論，收到事半功倍的效果;下面對上述結論的精彩應用做些拓展.

例2過拋物線x2= 4y的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在直線y=-1 上，若?ABC為等邊三角形，則該三角形的邊長為.

圖4

解析類比橢圓結論易證拋物線的焦點弦|AB|=設焦點弦AB的中垂線交對稱軸于點D，則如圖4作AB的中垂線交y軸于D點，AB中點M，設AB與y軸夾角為θ，則根據(jù)已知結論因為|MD|=|DF|·且又因為|DC|=|MD|+|MC|，代入并整理得所以|AB|=12.

評注本題借用焦點弦的角度形式表示弦長，再根據(jù)焦點弦的中垂線結論及題中幾何關系得到關于sinθ的等式，從而快速準確求出sinθ，解題運算量少，過程簡潔，體現(xiàn)了小題小做妙用二級結論的優(yōu)點.

例3已知橢圓的焦點在x軸上，一個頂點為(0,1)，離心率，過橢圓右焦點F的直線l與坐標軸不垂直，且交橢圓于A,B兩點.

(1)求橢圓的標準方程; (2)M(m,0)是線段OF上一個動點，且求m的取值范圍.

解析(1)橢圓標準方程為過程從略;

故m=c-|MF|=2-

評注解題的關鍵在于判斷M點的位置，進而借助焦點弦中垂線結論利用焦點弦的角度形式表示m，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性求解;相比用直線的斜率表示參數(shù)m，然后聯(lián)立方程結合韋達定理求解，本題解法簡便高效，可謂是“小結論，大用途”.

例4如圖在平面直角坐標系中，已知橢圓1 (a ＞b ＞0)的離心率為且右焦點F到左準線l的距離為3.

圖5

(1)求橢圓的標準方程;(2)過F點的直線與橢圓交于A,B，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C，若|PC|= 2|AB|，求直線AB的方程.

解析(1)易求得橢圓方程為

(2)如圖5所示，設直線AB與x正半軸所成的角為θ，則

設PC交x軸于點Q，則

又因為

結合(1)(2)可得sinθ=故直線AB的方程為x±y-1=0.

評注解題中利用焦半徑的角度形式表示弦長，再根據(jù)圖中幾何關系及焦點弦的中垂線結論建立直線傾斜角的等式，極大的簡化計算和推理論證過程，具有直觀、簡捷的特點，平常教學中解答解幾試題應重視二級結論的積累，能快速有效的鎖定問題結論.

3.2 試題結論的拓展

一道好的試題的研究價值不應僅僅停留在解法及應用上，還應該對試題本身做深入的研究.由解法2 和3 可知直線AB的方程是確定的為x±y-2=0，那么很自然的聯(lián)想到更一般的情形：

拓展1已知過橢圓=1(a ＞b ＞0)右焦點F的直線l交橢圓于A,B兩點，作線段AB的垂直平分線交直線于C點，若?ABC為等邊三角形，則直線l的方程為

拓展2已知橢圓=1(a ＞b ＞0)，過橢圓長軸上一點P(t,0)(t ∈(0,a))的直線l交橢圓于A,B兩點，作線段AB的垂直平分線交直線于C點，若?ABC為等邊三角形，則直線l的方程為

證明設直線l:x=my+t，A(x1,y1),聯(lián)立并整理得：

設AB中點M(xM,yM)，則于是

拓展1 是拓展2 的特殊情形，只需令t=c即可.

4 結束語

數(shù)學家波利亞曾說過：“掌握數(shù)學就意味著善于解題”[1].引導學生學會解題是數(shù)學新課標教學的重要組成部分，數(shù)學問題的解決僅僅是一個開端，更重要的是解題后的反思與回顧.遇到一道經(jīng)典題目，不能僅僅停留在會解的層面，還應反思題目是否有其他解法? 解法能否推廣? 能否將試題進行拓展? 試題的本質是什么? 唯此才能將試題探究的價值最大化，從而更好的引導教學.