賞析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的七大景點

廣東省東莞市第一中學(xué)(523000) 孫傳平

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)最常用、最有效的工具，它在函數(shù)的應(yīng)用中到底隱藏著多少秘密呢？為此，有請同學(xué)們跟隨本文一起走進導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的七大景點，一探究竟.

景點1 迷人的極值點

極值點是刻畫函數(shù)局部性質(zhì)的一個重要概念，對它的認識與應(yīng)用，不少同學(xué)還很模糊，為此將其作為首個景點介紹給大家.

例1如圖1是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，指出函數(shù)f(x)與f′(x)的極大值點和極小值點.

圖1

解在點x1附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，所以點x1是函數(shù)f(x)的極大值點; 同理，點x3是f(x)的極小值點.在點x2附近的左側(cè)f′(x)單調(diào)遞減，右側(cè)f′(x)單調(diào)遞增，所以點x2是函數(shù)f′(x)的極小值點;同理，點x4是f′(x)的極大值點，點x5是f′(x)的極小值點.

點評函數(shù)f(x)的極值點藏匿在該函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間的銜接點處，或藏匿在其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象穿過x軸時的交點處(從上往下穿是極大值點，從下往上穿是極小值點).

例2(2016年高考山東卷)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x, a ∈?.

(1)略.(2)已知f(x)在x=1 處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍.

解(2)函數(shù)f(x)在x=1 處取得極大值等價于其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=1 左右附近區(qū)域單調(diào)遞減，且f′(1)=0.

由已知得f′(x)=lnx-2ax+2a,f′′(x)=-2a,x ＞0,滿足f′(1)= 0.當(dāng)a ≤0 時，f′′(x)＞0，這時f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意; 若2a= 1，即則當(dāng)x ∈(0,1)時，f′′(x)＞0，這時f′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，不合題意; 若0＜2a ＜1，則當(dāng)時，f′′(x)＞0，這 時f′(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不合題意;

若2a ＞1，則同理得f′(x)在上單調(diào)遞減，即f′(x)在上單調(diào)遞減，符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是

點評若x0是函數(shù)f(x)的極值點，且f(x)在x0可導(dǎo)(下文我們默認這一條件)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x0左右附近區(qū)域具有單調(diào)性.具體地，f′(x)在f(x)的極大值點x0左右附近區(qū)域單調(diào)遞減，在f(x)的極小值點x0左右附近區(qū)域單調(diào)遞增.

景點2 極值與最值的角色轉(zhuǎn)換

極值與最值是刻畫函數(shù)性質(zhì)中極為相似的兩個概念，它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系，在一定的條件下，二者相互之間還可以進行角色轉(zhuǎn)換.

例3已知函數(shù)(m ∈?),在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在最大值，求m的取值范圍.

解因為f(x)在(-1,1)內(nèi)有最大值，所以這個最大值必來自于f(x)在(-1,1)內(nèi)的極大值.由于f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)，無極值，所以f(x)必須在區(qū)間(-1,0)上取得極大值，且為(-1,1)內(nèi)的最大值.

圖2

當(dāng)x ＜0 時，f′(x)=x2+mx，令f′(x)=0，得x=-m(x=0 舍去).所以，當(dāng)x ＜-m時，f′(x)＞0;當(dāng)-m ＜x ＜0時，f′(x)＜0.故f(x)在x=-m處取得極大值，f(x)的圖象如圖2所示.f(x)在(-1,1)上存在最大值等價于解得故m的取值范圍是

點評函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值來源于該區(qū)間端點處的函數(shù)值以及開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值.因此，當(dāng)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有最值時，這個最值必定也是f(x)的極值.

景點3 討論函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)“三要一不要”

討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最常見、最基本的問題，其求解遵循“三要一不要”.請看：

例4(2017年高考全國Ⅲ卷第21 題)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)略.

解函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，

若a ≥0，則f′(x)＞0，這時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;若a ＜0，則當(dāng)時，f′(x)＞0;當(dāng)時，f′(x)＜0.這時f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

點評討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等有“三要”： (1)要抓住函數(shù)的定義域，明確解題范圍(常見不少同學(xué)習(xí)慣性的在(-∞,+∞)上求解，犯一些低級錯誤);(2)要化簡導(dǎo)函數(shù)(通?；癁閹讉€因式的積的形式)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)(為后續(xù)討論鋪路);(3)要細觀導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，注重討論.“一不要”指不要動輒就令f′(x)=0 求根，盲目處置.

景點4 “單調(diào)”與“存在單調(diào)區(qū)間”的兩個基本視角

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)或函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)區(qū)間，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的兩個常見條件，二者極為相似但又有別，故將它們放在一起一并介紹，比較學(xué)習(xí).

例5(2007年高考上海卷)已知函數(shù)f(x)=x2+

(1)略;(2)若函數(shù)f(x)在x ∈[2,+∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

解法1求得因為f(x)在x ∈[2,+∞)上為增函數(shù)，所以對任何x ≥2，f′(x)≥0 恒成立(f′(x)不恒為0).由得a ≤2x3，記g(x)= 2x3，則a ≤[g(x)]min，故a ≤2×23= 16.所以，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,16].

解法2令得故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為因為f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，所以[解得a ≤16.所以，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,16].

點評處理函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，常用思路有“最值比較法”和“區(qū)間比較法”兩個基本視角.

(1)最值比較法f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)?對任何x ∈D，f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立(f′(x)不恒為零)，故[f′(x)]min≥0([f′(x)]max≤0).

(2)區(qū)間比較法函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)?不等式f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集M滿足：M ?D.

例6(2011年高考江西卷)設(shè)

(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍;(2)略.

解法1因為f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在使得f′(x0)＞0，所以[f′(x)]max＞0.由已知得f′(x)=-x2+x+ 2a，因為f′(x)在上單調(diào)遞減，所以解得所以a的取值范圍是

解法2依題意知f′(x)=-x2+x+ 2a ＞0 有解，所以?= 1 + 8a ＞0.令f′(x)=-x2+x+ 2a ＞0，解得記 集 合A=依題意知所以解得所以a的取值范圍是

點評處理函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)區(qū)間，常用思路亦有“最值比較法”和“區(qū)間比較法”兩個基本視角.

(1)最值比較法函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間?存在x0∈D，使f′(x0)＞0 (f′(x0)＜0)成立，故[f′(x)]max＞0([f′(x)]min＜0).

(2)區(qū)間比較法函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間?不等式f′(x)＞0 (f′(x)＜0)的解集M滿足：.

景點5 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的兩個立足點

賞罷前四景，接下來請觀賞導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最頻繁、最壯觀的一個景點—立足于函數(shù)的性質(zhì)與圖象，或立足于導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

例7已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a ＞0)，若f(x)在[-1,1]內(nèi)沒有極值點，求a的取值范圍.

方法1(立足于函數(shù))由已知得f′(x)= (3x-a)(x+a), a ＞0,所以當(dāng)或x ＜-a時，f′(x)＞0;當(dāng)-a ＜時，f′(x)＜0.所以f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象如圖3所示.因為f(x)在[-1,1]內(nèi)沒有極值點，所以f(x)在[-1,1]內(nèi)單調(diào)，由圖3知，-a ≤-1，且解得a ≥3.故實數(shù)a的取值范圍是[3,+∞).

圖3

圖4

方法2(立足于導(dǎo)函數(shù))由已知得f′(x)=(3x-a)(x+a), a ＞0，曲線f′(x)如圖4所示.因為f(x)在[-1,1]內(nèi)沒有極值點，所以f′(x)在(-1,1)內(nèi)沒有零點，由圖4知所以-a ≤-1，且解得a ≥3.所以a的取值范圍是[3,+∞).

點評本題從兩個立足點出發(fā)均可成功解題，可見站穩(wěn)兩個立足點，猶如找到了解題的突破口和“密道”，成功解題在望.

例8(2009年高考天津卷文科)設(shè)函數(shù)f(x)=

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;

圖5

(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0,x1,x2，且x1＜x2，若對任意的x ∈[x1,x2],f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍.

解(1)遞減區(qū)間： (-∞,1-m),(1+m,+∞);遞增區(qū)間：(1-m,1+m);極小值極大值過程略.

(2)由(1)得曲線f(x)如圖5所示，因為f(x)有3 個不同的零點，所以f(1-m)＜0，且f(1+m)＞0.即

又f(x)的3 個零點為0,x1,x2且x1＜x2，由m ＞0 知1+m ＞0，故x2＞0.若0＜x1＜x2，由圖5知，這時f(x)在[x1,x2]上的最小值為0，由f(x)＞f(1)恒成立，得f(1)＜0，從而解得若x1＜0＜x2，調(diào)換圖5中0 與x1的位置，這時f(x)＞f(1)不恒成立.綜上所述，m的取值范圍是

點評在第(1)問的基礎(chǔ)上，立足于函數(shù)的性質(zhì)與圖象求(2)的解答，不僅占有思維起點低、思路清晰自然的優(yōu)勢，而且其質(zhì)樸的思維還為我們免除了尋找解題思路之苦，因而相較于其它解法，此法更顯優(yōu)秀.

景點6 作差法來助陣

作差法一直以來是我們解題的好幫手，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具處理問題時，當(dāng)然也少不了它的參與．

例9(1)(2011年高考湖南卷)設(shè)直線x=t與曲線y= lnx和y=x2分別交于點M,N，則當(dāng)|MN|最小時t的值為.

(2)(2013年高考陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ex,x ∈?．設(shè)a ＜b，比較的大小，并說明理由．

解(1)設(shè)f(x)=x2,g(x)= lnx,則|MN|=f(x)- g(x)=x2-lnx.記φ(x)=x2-lnx(x ＞0)，則時，φ′(x)＞0;當(dāng)時，φ′(x)＜0．所以當(dāng)時，φ(x)有極小值也是最小值．所以|MN|最小時

(2)

(視b - a為x)記g(x)=x+ 2 + (x -2)ex，則g′(x)=1+(x-1)ex，g′′(x)=xex．當(dāng)x ＞0 時，g′′(x)＞0?g′(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，又g′(0)= 0，所以g′(x)＞0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又g(0)= 0，故當(dāng)x ＞0時，g(x)＞0．因為a ＜b，所以g(b-a)＞0．代入①式，得

點評本題從作差入手，為成功解題奠定了基礎(chǔ)．作差了不起！

景點7 點的位置可知曉

我們知道，在區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f′(x)＞0，那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 然而，當(dāng)f′(x0)＞0，那么x0又在什么位置呢？

例10(2011年高考遼寧卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a ＞0，證明： 當(dāng)時，

(3)若f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′(x0)＜0．

解(1)當(dāng)a ≤0 時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a ＞0 時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(3)因為f(x)有兩個零點，由(1)知,a>0且.函數(shù)f(x)的圖象如圖6所示.設(shè)A(x1,0), B(x2,0),且x1< x2,則故由(2)得

圖6

點評第(3)問有難度，難就難在推導(dǎo)(*)式.那么，(*)式的思維又是怎樣產(chǎn)生的呢?說穿了其實很簡單，(*)式的思維正是基于f'(xo)<0臺xo位于f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(f'(xo)>0→xO位于f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間).只要明白了這一點，你自然就會想到再結(jié)合第(2)問，問題便歸結(jié)為比較兩個函數(shù)值與f(x2)的大小.這就是本題最為關(guān)鍵的(*)式的思維.

好了，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的七大景點就賞析到此，接下來該是同學(xué)們練功的時候了，趕緊去練練吧!