理清“明線”與“暗線”優(yōu)化數(shù)學教學

吳艷萍 徐章韜

(華中師范大學 430079)

1 引言

隨著新課程改革的不斷實踐，回歸數(shù)學教育的本質，真正發(fā)揮數(shù)學教育的價值已成為現(xiàn)代數(shù)學教育所追求的目標.在數(shù)學教育發(fā)展的這一大趨勢下，章建躍教師提出“數(shù)學教師必須在理解數(shù)學、理解學生、理解教學上狠下功夫”[1].確實，數(shù)學教師需要創(chuàng)造數(shù)學知識之數(shù)學理解，不是數(shù)學知識的搬運工，并非簡單地將數(shù)學知識和盤托出機械地傳遞給學生，而是要將數(shù)學知識加以重組設計，以有條不紊層次清晰的方式幫助學生理解建構數(shù)學知識.所以，教師要進行有效數(shù)學教學，必須深入理解數(shù)學的本質，圍繞數(shù)學知識的主線設計出好的教學.然而，在教學實際中，數(shù)學教師往往側重于數(shù)學知識的重點內容及應用，忽視數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的脈絡甚至是蘊含在知識內的思想方法，這就導致教師難以把握數(shù)學教學的核心，也就難以設計出有效的教學主線，長此以往，數(shù)學教育的價值將難以實現(xiàn).因此，為實現(xiàn)數(shù)學教育的價值，教師必須在理解數(shù)學的基礎上理清教學主線，圍繞知識明線使數(shù)學知識結構完整，層次清晰；借助暗線使學生領悟數(shù)學的基本思想方法，鍛煉和提升數(shù)學思維并逐步形成數(shù)學核心素養(yǎng).

2 數(shù)學教學中的“明線”

數(shù)學教學中的“明線”是教師在理解課程標準及數(shù)學知識的基礎上圍繞數(shù)學內容的核心，為促進學生對數(shù)學知識的理解而設計的一條合乎數(shù)學邏輯和學生心理邏輯的知識路線.之所以強調教學明線的重要性，是因為這不僅關系到教師對課堂教學整體過程的把握，也關系到學生建構知識的有效性.

數(shù)學知識不是一個個沒有交集的點，而是一個相互聯(lián)系的整體，教師在理解數(shù)學時應把蘊含于數(shù)學知識內的“明線”提煉出來，在此基礎上引導學生從數(shù)學知識的“此岸”出發(fā)沿著知識“明線”逐步走向數(shù)學知識的“彼岸”.因此只有理清數(shù)學知識明線才能明確師生教學的整體目標和方向而不至于“東一榔頭西一棒子”.教師也只有在理清知識明線的基礎上才能設計出反映數(shù)學本質的問題情境、激活學生思維的問題串、促進知識發(fā)生發(fā)展的起承轉合，從而創(chuàng)造出有利于學生理解建構數(shù)學知識、訓練數(shù)學思維的數(shù)學理解.而對學生來說，不僅僅是主動建構和應用數(shù)學知識，更重要的是經歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，體悟數(shù)學的思考方式.因此，好的數(shù)學教學明線是充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體地位的前提條件.

2.1 理清教學內容的“明線”

教學明線，從教學內容上看，是反映數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的一個層次序列，是數(shù)學教學活動展開的層次鮮明的線索和結構.關于如何架構正確的數(shù)學教學明線，我們認為可以從“提出問題、分析問題、解決問題、系統(tǒng)化”四個階段構建教學明線.任何一個數(shù)學課堂教學都有一個研究主題，那么教學應該以學生已有的事實經驗為起點引導他們從中發(fā)現(xiàn)問題，以學生已有的思維水平為基礎引導他們分析問題從而得到數(shù)學概念、性質、定理等.為促進學生對知識的強化和遷移，教學還需設置多種不同的問題情境讓學生在解決問題的過程中獲得知識的多元表征.最后，為幫助學生形成良好的數(shù)學認知結構，教學還應讓學生獲得的數(shù)學知識系統(tǒng)化和結構化.例如，偶函數(shù)的教學，首先可以從圖形的對稱性過渡到函數(shù)圖象的對稱性，到兩個具體函數(shù)圖象(y=x2、y=|x|)的觀察，再到某個函數(shù)(如y=x2+1/|x|)對稱性的考察，使學生明確研究對象；其次，要啟發(fā)學生利用數(shù)形結合的方法把圖象上的對稱性等價轉化為代數(shù)上的規(guī)律性，逐步引導學生得出偶函數(shù)的定義；再次，通過不同問題的解決，使學生獲得偶函數(shù)定義的多種表征及性質等；最后，將偶函數(shù)與函數(shù)的性質聯(lián)系起來，從而將對稱性進行推廣等使知識系統(tǒng)化.

2.2 教師活動的“明線”與學生活動的“明線”

數(shù)學教學是以一系列數(shù)學活動的形式進行的，問題的提出、分析、解決等都是以活動為載體，在活動中生成，好的數(shù)學教學離不開好的數(shù)學活動，因此數(shù)學教學除了要理清教學內容上的“明線”外，還有理清數(shù)學活動的“明線”.師生作為教學的兩個基本要素，在數(shù)學活動中的角色卻是不同的.數(shù)學教師作為教學的組織者和引導者，關鍵在于“引導”；而學生作為學習的主體，關鍵在于學習的“主動性”，也就是說教師活動的“明線”應體現(xiàn)出“引導性”，學生活動的“明線”應體現(xiàn)出“主動性”.如何構建教師活動的“明線”？首先，教師要創(chuàng)設合適的問題情境并設計合理的學生活動方式，以便讓學生從問題情境中發(fā)現(xiàn)研究對象或問題.其次，教師要指導學生正確地分析問題建立已知與未知的聯(lián)系，在關鍵處設疑或解疑，讓學生的數(shù)學思維活躍起來.再次，在引導學生分析問題得出答案之后，教師還應組織學生利用新知解決問題以強化對新知的理解.最后，為了使學生獲得的知識系統(tǒng)化，教師可以引導學生進行總結與反思等活動.

從學生活動的角度考慮，教學明線應以激發(fā)學生的學習動機，使學生認識到學習新知的必要性為起點；其次，借助數(shù)學抽象、探索、推理等數(shù)學思維經歷數(shù)學概念、性質、定理等的發(fā)生發(fā)展過程；再次，應用數(shù)學知識解決數(shù)學問題，在不同的情境中形成對數(shù)學概念、性質、定理的多角度認識；最后，通過反思總結等完善自己的數(shù)學認知結構.

總之，教學明線不是對教材知識結構的簡單提煉，需要教師在充分理解數(shù)學理解學生后對教學的層次序列進行不斷打磨.因此確立教學明線教師應注意明線的準確、精煉這兩個方面.明線的準確性一方面是指教學明線應滿足知識的科學性，體現(xiàn)數(shù)學知識的本質，另一方面教學明線應符合知識的邏輯順序和學生的認知水平，是在學生最近發(fā)展區(qū)范圍內且能夠為學生所理解的.明線的精煉性是站在學生角度來說的.認知負荷理論認為，要達到好的學習效果，必須降低學生的內在認知負荷，提高學生的相關認知負荷，優(yōu)化外在認知負荷.為促進學生對知識的有效建構，教學明線的確立應有利于學生提高相關認知負荷且減少學生的外在認知負荷，也就是說教學明線應減少無意義的數(shù)學活動，盡量精煉簡潔層次分明.

3 數(shù)學教學的“暗線”

數(shù)學教育不只是教給學生數(shù)學知識、技能，讓學生經歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，更在于引導學生領悟數(shù)學的思想，“學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界”.數(shù)學知識如果對其進行深入挖掘，會發(fā)現(xiàn)除 “明線”外，還有“暗線”貫穿著數(shù)學知識發(fā)展的全過程.知識暗線一般是指蘊含在數(shù)學知識內部的高層次的數(shù)學思想或數(shù)學核心觀點，是一般性思想的體現(xiàn)，對于提升學生的數(shù)學思維形成數(shù)學核心素養(yǎng)有著重要的作用.

具體來說，數(shù)學知識暗線有助于深化學生的認知活動，促進學生對數(shù)學知識的自我解釋，增強學生所獲得知識的整體性和聯(lián)系性.其次，由于在實際課堂教學中，教師更關注于知識的掌握，而思想方法的滲透則主要體現(xiàn)在解題教學中，這也是造成學生數(shù)學知識的掌握與綜合應用相脫節(jié)的原因之一，而知識暗線能夠幫助教師在課堂教學中滲透數(shù)學基本思想，讓學生在知識的建構過程中也感受到數(shù)學思想的魅力.再者，為促進學生學會學習，數(shù)學教學應該追求具有一般性的思想方法，而不是過于關注技能技巧方面，縱然某一定理的證明技巧再獨特巧妙，它對學生的價值也許仍比不過基于數(shù)學核心概念和基本數(shù)學思想的一般性方法，這是因為技巧性的方法適用范圍有限，只對某些特殊情況有效，而一般性方法更有利于學生的遷移學習和數(shù)學能力的養(yǎng)成.

3.1 教學內容的“暗線”

教學暗線，從教學內容上看，是指蘊含在知識內的數(shù)學思想方法，對數(shù)學知識具有全局性的統(tǒng)領意義，對學生有認識論和方法論層面的意義.例如，在基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教學中，我們除了從代數(shù)和幾何的角度來認識這些不等式外，還可以站在函數(shù)思想的高度統(tǒng)領這些重要不等式.當我們深入理解這些數(shù)學知識時，可以分析出函數(shù)的單調性對這些不等式的證明具有一般方法論的意義.

我們知道數(shù)學思想方法或與某些數(shù)學內容相對應，如函數(shù)思想、極限思想等；或與數(shù)學理性思維相聯(lián)系，如化歸思想、類比思想等[3]，也即對于數(shù)學知識，教師可以從數(shù)學內容或數(shù)學理性思維的角度分析所學內容所隱含的數(shù)學思想方法.當我們用數(shù)學思想方法的高度去審視數(shù)學知識內容時，那么我們看到的不再是一些冰冷的符合和命題，而是具有思想性的充滿數(shù)學魅力的智慧結晶.如此，我們可以從“數(shù)學內容——數(shù)學思想方法——數(shù)學體驗”三個階段構建數(shù)學教學“暗線”，讓學生在掌握系統(tǒng)數(shù)學知識的過程中領悟數(shù)學思想方法，體驗數(shù)學知識顯性和隱性的雙重價值.章建躍老師更為詳細地提出數(shù)學教學要以“事實——方法——方法論——數(shù)學學科本質觀”為暗線，倡導數(shù)學教學要注重發(fā)揮“一般觀念”的作用，要加強一般方法的引導使學生學會數(shù)學研究的“基本套路”[4]，這也反應了教學暗線對培養(yǎng)學生理性思維的價值.

3.2 教師活動的“暗線”與學生活動的“暗線”

為發(fā)揮“數(shù)學內容——數(shù)學思想方法——數(shù)學體驗”這一教學“暗線”的作用，教師和學生的活動“暗線”也應該圍繞數(shù)學思想方法而展開.

如何構建教師活動的“暗線”？如前所述，基于教師的主導作用，教師的活動應以促進學生對數(shù)學思想方法的領悟為核心.由于數(shù)學思想方法相比于數(shù)學內容而言更加隱蔽，學生對數(shù)學思想的領悟難以一步到位，而是一個潛移默化的過程，因此，教師在設計其活動時可以按照“潛移——外化——內化”的暗線來進行.首先，教師在指導學生分析問題時可以給學生提供適當?shù)乃季S層面的引導，啟發(fā)學生對數(shù)學思想方法的意會，促進問題分析的進程.其次，在得出數(shù)學概念、性質、定理等知識后，教師可以向學生明確提出這一數(shù)學思想方法，使學生對數(shù)學思想方法形成清晰的認識.最后，通過深入理解和應用將外化的數(shù)學思想方法內化，從而實現(xiàn)用數(shù)學思想方法統(tǒng)領數(shù)學內容，深化對數(shù)學知識的雙重認識.例如，正弦定理的教學中在學生已經得出直角三角形中的正弦定理后，教師可以提問學生一般的三角形是否存在這個關系.這時教師可以啟發(fā)學生由于直角三角形的情形已經解決，那么解一般的三角形問題能否轉化成解直角三角形的問題.在學生通過做高法得到一般的三角形的正弦定理之后，教師可以向學生揭示這個過程所用到的思想方法(從特殊到一般、化歸思想)及其涵義.最后，通過反思小結等活動強化學生對數(shù)學思想方法的體悟，將數(shù)學思想方法內化.

從學生層面考慮，學生的活動不能僅停留在如何做的層面，更要關注活動背后的數(shù)學思想方法，在解決具體問題的活動中掌握數(shù)學的一般方法，從而達到舉一反三、觸類旁通，形成對數(shù)學知識的本質認識.因此，學生活動的暗線可以是“具體數(shù)學活動——數(shù)學的一般思想方法——認清本質正向遷移”，以此將學生的活動也上升到思維層面，讓學生在活動中既獲得數(shù)學知識又提升數(shù)學思想.

4 優(yōu)化“明線”和“暗線”提高數(shù)學教學的有效性

數(shù)學教學實踐已告訴我們，數(shù)學教學無論采用何種運行方式，都要以學生能有效理解知識領悟思想為目的，以教師是否真正“理解數(shù)學”為首要基礎.教師不能滿足于對教材中概念定理的掌握和應用，而要站在數(shù)學思維的高度深入挖掘知識發(fā)生發(fā)展過程和所蘊含的數(shù)學思想，站在學生的角度思考如何將數(shù)學知識加以重組和再創(chuàng)造，以條理清晰富有“靈魂”的方式呈現(xiàn)給學生，這也是“教學有法、教無定法、貴在得法”的內涵.數(shù)學學科的特點決定數(shù)學教學的特點，數(shù)學教學“法”存在于數(shù)學知識或數(shù)學學科之中，關鍵在于數(shù)學教師能否“獲得”.

由于教學一方面要遵循數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的邏輯和學生心理邏輯的自然規(guī)律，因此數(shù)學教學要優(yōu)化“明線”，基于數(shù)學的本質設計教學，以整體帶動部分，由過程到結果，幫助學生將靜態(tài)的數(shù)學知識轉化為學生頭腦中有意義的數(shù)學認知結構，使學生真正做到理解知識；另一方面，數(shù)學教學除了要關注教學的邏輯性外，還要關注知識的思想性，讓學生建構知識的同時領悟數(shù)學思想方法，因此數(shù)學教學還應優(yōu)化“暗線”，用一般性的數(shù)學思想統(tǒng)領知識促進學生的遷移學習，提升學生的思想境界，讓學生學會“用數(shù)學的眼光看待世界，用數(shù)學的思維思考世界”，并逐步形成數(shù)學核心素養(yǎng).總而言之，數(shù)學教學需要謀篇布局，需要精心構思教學的“明線”和“暗線”，需要“突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法”[5]，并以此為基礎優(yōu)化師生的教學活動，提高數(shù)學教學的有效性.