局部分數(shù)階積分下廣義凸函數(shù)的Ostrowski型不等式

曾志紅, 時統(tǒng)業(yè), 田德路

(1. 廣東第二師范學(xué)院 a. 學(xué)報編輯部, b. 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303;2. 海軍指揮學(xué)院, 江蘇 南京 211800)

設(shè)f:[a,b]→R在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可微,且對任意x∈(a,b)有|f′(x)|≤M,則有

稱式(1)為Ostrowski不等式[1].有關(guān)Ostrowski型不等式的結(jié)果可見文獻[2-10].

近年來,分形理論在科學(xué)工程領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用.文獻[11-12]系統(tǒng)地闡述了建立在分形空間上的局部分數(shù)階微積分的相關(guān)理論.設(shè)Rα(0<α≤1)是分形實線的α型集合,aα,bα,cα∈Rα,則在這個分形集中有如下運算律:

1)aα+bα∈Rα,aαbα∈Rα;

2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

3)aα+(bα+cα)=(aα+bα)+cα;

4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α;

5)aα(bαcα)=(aαbα)cα;

6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα;

7)aα+0α=0α+aα=aα,aα1α=1αaα=aα.

下面使用Gao-Yang-Kang的方法來描述局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分數(shù)階積分.

1 預(yù)備知識

定義1[11-12]設(shè)f:R→Rα是不可微函數(shù),如果對任意ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)|x-x0|<δ時,有|f(x)-f(x0)|<εα,則稱f在點x0處局部分數(shù)階連續(xù).若f在區(qū)間I?R上局部分數(shù)階連續(xù),則記為f∈Cα(I).

定義2[11-12]設(shè)f∈Cα(a,b),則f在點x0處的α階局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

若對任意x∈I?R時存在f(α)(x),則記為f∈Dα(I).

定義3[11]設(shè)f∈Cα[a,b],則f在區(qū)間[a,b]上的α階局部分數(shù)階定積分定義為

式中:a=t0

引理1[11]對任意k∈R,有

在閉區(qū)間上局部分數(shù)階連續(xù)的函數(shù)是局部分數(shù)階可積的.局部分數(shù)階定積分有與黎曼定積分類似的性質(zhì),如線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、比較性質(zhì)、絕對不等式、牛頓-萊布尼茨公式、換元法、分部積分法等[12-13].

引理2[13]設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),函數(shù)x=g(t)滿足條件

1)g(c)=a,g(d)=b;

2)g(t)在[c,d]有連續(xù)α階導(dǎo)數(shù)(0<α≤1),且值域Rg?[a,b],則有

文獻[14]引入分形集上廣義凸函數(shù)的概念.

定義4[14]設(shè)I?R,函數(shù)f:I→Rα,若對任意u,v∈I和任意λ∈[0,1],有

f(λu+(1-λ)v)≤λαf(u)+(1-λ)αf(v),

則稱f是I上的廣義凸函數(shù).

文獻[15-16]通過建立廣義Montgomery恒等式,得到分形實線的分形集上的分數(shù)階積分的廣義Ostrowski型不等式.本文旨在建立新的局部分數(shù)階積分下廣義凸函數(shù)的Ostrowski型不等式.為得到本文的主要結(jié)果,我們需要下面的引理.

在引理3中, 取c=0,x=a, 得到文獻[17]的定理1. 取c=b-a,x=a, 得到文獻[17]的定理2. 文獻[17]利用這2種特殊情況得到如下不等式:

(2)

(3)

式中:q≥1,a,b∈R,a

2 主要結(jié)果

(4)

證明 利用引理3得

由|f(α)|的廣義凸性有

類似可得:

式中:

令b-t=u,利用引理2和引理1得:

類似可得:

綜合式(8)～(12)得:

(13)

式中:

類似可得:

(16)

綜合式(5)～(7)、(13)、(16),則式(4)得證.

推論1 設(shè)區(qū)間I?R,I°是I的內(nèi)部,f:I°→Rα,a,b∈I°,a

(17)

式中,P,Q分別如式(14),(15)所定義.

證明 由引理3和廣義H?lder不等式得

式中,

用推導(dǎo)式(4)的方法得:

用推導(dǎo)式(13)的方法得

式中,P,Q分別如式(14),(15)所定義.綜合式(21)～(27),則式(19)得證.

推論2 設(shè)區(qū)間I?R,I°是I的內(nèi)部,f:I°→Rα,a,b∈I°,a1,則有

式中,

證明 在定理2中取x=a,c=0,則式(28)的第一個不等式得證.利用H?lder不等式可證式(28)的第二個不等式.

注1 式(28)是式(2)的加細.

推論3 設(shè)區(qū)間I?R,I°是I的內(nèi)部,f:I°→Rα,a,b∈I°,a1, 則有

式中,

(29)

證明 在定理2中取x=a,c=b-a,則式(29)的第一個不等式得證.利用H?lder不等式可證式(29)的第二個不等式.

推論4 設(shè)區(qū)間I?R,I°是I的內(nèi)部,f:I°→Rα,a,b∈I°,a1,則有

注2 式(30)是式(3)的加細.

3 結(jié) 論

文獻[17]通過建立兩個局部分數(shù)階積分恒等式,得到分形集上的兩個廣義Hermite-Hadamard型不等式.本文利用將這兩個恒等式統(tǒng)一起來的帶有參數(shù)的局部分數(shù)階積分恒等式,得到這兩個廣義Hermite-Hadamard型不等式的加細.