一道中考題的答題分析與教學(xué)建議

孫勇

摘要：本文以2019年安徽省舍肥市中考數(shù)學(xué)試卷第22題為例，首先進(jìn)行試題背景分析與簡要賞析，然后對其答題情況進(jìn)行分析，感悟數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的諸多問題，并提出三點教學(xué)建議：一是注重數(shù)學(xué)語言的形式化轉(zhuǎn)換;二是注重邏輯推理能力的培養(yǎng);三是注重數(shù)學(xué)思想方法的浸潤。

關(guān)鍵詞：教學(xué)建議;數(shù)學(xué)語言;邏輯推理;數(shù)學(xué)思想

1試題背景及呈現(xiàn)

1.1試題背景

近幾年，安徽省的中考數(shù)學(xué)試題在不斷創(chuàng)新中展現(xiàn)出其獨有的魅力和顯著的特色，獨樹一幟，“似曾相識燕歸來，小園香徑獨徘徊”——今年的安徽省數(shù)學(xué)試卷在繼續(xù)保持原有風(fēng)格的基礎(chǔ)上做出了一些調(diào)整與創(chuàng)新，概括為以下三點：一是增加了對于高一級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的知識、技能和方法的考查;二是注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，使教師和學(xué)生意識到依靠刷題和重復(fù)訓(xùn)練得高分是不可能的;三是基于數(shù)學(xué)教學(xué)承載著對于學(xué)生思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重任，因而有適度增加數(shù)學(xué)試卷難度的趨勢，筆者認(rèn)為，今年的數(shù)學(xué)試題難度與近幾年相比無疑是較大的，其中第14題和第22題涉及函數(shù)問題的壓軸題，考查了學(xué)生的抽象思維能力，整體的答題情況不容樂觀，引起教師對于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的重視，基于此，筆者根據(jù)合肥市中考數(shù)學(xué)的閱卷情況，以第22題為例進(jìn)行簡要分析：

1.2原題呈現(xiàn)

題目（安徽省2019年中考數(shù)學(xué)第22題）一次函數(shù)y=kx+4與二次函數(shù)y=ax²+c的圖象的一個交點坐標(biāo)為（1.2），另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點，

（1）求k，a，c的值;

（2）過點A（O，m）（O2+c的圖象交于B，c兩點，點O為坐標(biāo)原點，記W=OA²+BC²，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值。

1.3簡要賞析

本題一改往年二次函數(shù)壓軸題風(fēng)格，不再考查學(xué)生常見的利潤最大值、面積最大值等問題，而是讓學(xué)生走出“題海”，關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)、突出學(xué)科特點，注重數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，著重考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力和理性思辨能力，能夠有效檢測出學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性以及計算、閱讀理解、數(shù)學(xué)語言的表達(dá)等技能，從考查內(nèi)容上來看，本題作為函數(shù)壓軸題，著重考查了學(xué)生對于一次函數(shù)與二次函數(shù)基本概念的理解、函數(shù)圖象的性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系;同時還考查了一些與函數(shù)相關(guān)的知識點，如一元二次方程的解法、二次根式的運算、分母有理化、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的配方等知識，可以說本題全方位地考查了學(xué)生的“四基”。

2答題情況及分析

2.1答題情況

從合肥市中考數(shù)學(xué)閱卷數(shù)據(jù)的統(tǒng)計情況來看，第22題平均得分為6.65分，難度系數(shù)0.55.與總體難度系數(shù)0.72相比，得分率偏低，因而屬于壓軸型較難題，下面逐一分析此問題的多種解法以及閱卷過程中出現(xiàn)的典型錯誤，以期為后續(xù)的教學(xué)找到問題的源頭。

2.2答題分析

第（1）問的解法相對單一，絕大多數(shù)學(xué)生對于k值求解不存在問題，但卻無法求解n，c的值，錯因主要表現(xiàn)為對函數(shù)y=ax²+c圖象性質(zhì)不熟悉，未能意識到該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（O，c），代人一次函數(shù)即可求得c的值，從而陷入困境，所以教師對于二次函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該注重函數(shù)的本質(zhì)，使學(xué)生對于一些基本函數(shù)圖象和特殊性質(zhì)以及它們之間內(nèi)在的聯(lián)系有更加形象透徹的理解（如y=AX²，y=AX²+c，y=ax²+bx，y=n（x+k）²），同時強調(diào)函數(shù)圖象之間的關(guān)系和性質(zhì)的生成過程;另外，在平時的教學(xué)中還要注意培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和良好的審題習(xí)慣，以避免一些學(xué)生由于漏看題干條件（如交點為二次函數(shù)頂點）而錯失本題的關(guān)鍵信息，

第（2）問的解法可以分為三步：第一步求出OA=m（或OA²=m²）的值;第二步用含m的代數(shù)式表示BC（或BC²）是本題的關(guān)鍵和難點;第三步對W進(jìn)行配方求解最值。

大多數(shù)學(xué)生都能直接求出第一步的答案，但學(xué)生的錯誤率在第二步明顯比較高，這個過程著重考查學(xué)生的邏輯推理能力、計算能力，學(xué)生的做法主要有以下三種：

其中，解法1主要是在含參數(shù)方程解法中出現(xiàn)問題，分母有理化錯誤導(dǎo)致兩個解無法解出，只有少數(shù)學(xué)生能夠完整求出;而一部分學(xué)生未采取分母有理化，后期通過平方運算直接得到結(jié)果;還有一部分學(xué)生對分母有理化理解不清楚，更是不熟練平方運算、根式運算，直接造成出錯，解法2和解法3對學(xué)生的思維要求較高，采取這種方法的同學(xué)基本屬于思維能力較好，計算能力過關(guān)的學(xué)生，能獨立處理本題。

在第三步中，二次函數(shù)求最大值屬于常見題型，但仍有學(xué)生寫出了W關(guān)于m的解析式，在利用配方法求解過程中出錯，說明其基本計算能力不過關(guān)，當(dāng)然一部分學(xué)生通過公式法求得最值也體現(xiàn)了在求解二次函數(shù)最值問題中方法的多樣性。

從學(xué)生對于綜合性較強、對綜合能力要求較高的第（2）問的答題情況來看，錯誤點來源于基礎(chǔ)知識，如不會解一元二次方程、未進(jìn)行分母有理化、二次根式運算出現(xiàn)問題、配方不完整等等，所以，基礎(chǔ)知識、基本能力的培養(yǎng)一直是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽略的任務(wù);同時在初三的復(fù)習(xí)中也要關(guān)注細(xì)節(jié)、關(guān)注基本知識點、關(guān)注知識的來源與生成，不可高估學(xué)生的能力;在新課的教學(xué)中更要一步一個腳印，不可人為拔高知識難度。

3教學(xué)建議

3.1注重數(shù)學(xué)語言的形式化轉(zhuǎn)換

3.1.1強調(diào)對數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確理解

初中階段的數(shù)學(xué)語言主要以形象、通俗易懂的呈現(xiàn)方式進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生在理解題意方面基本上沒有太大的障礙，而受應(yīng)試的影響，教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中容易忽視對概念的逐字逐句的理解與拓展，缺乏與高一級學(xué)段數(shù)學(xué)語言的銜接，更沒有進(jìn)行任何有針對性的訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生面對較為抽象的數(shù)學(xué)語言、邏輯運算、函數(shù)及圖象語言時，無法理解題目中的信息，讀不出題目中所隱含的解題要領(lǐng)和條件，比如題目中常有“若a為實數(shù)”這樣的條件，學(xué)生大都對其忽略，認(rèn)為其對解題沒有多大的幫助，其實它的存在能啟發(fā)學(xué)生采用一種快速且簡潔的方法——特殊值法。

對于這樣的選擇題型，讀懂題中“點E在線段AD上”這個條件至關(guān)重要，因為直接將點E放在點D上即可迎刃而解，所以，初中數(shù)學(xué)課堂還是需要重視閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、初高中的適當(dāng)銜接，這樣才能真正提升學(xué)生的綜合解題水平。

3.1.2強化數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換

和學(xué)習(xí)各門功課一樣，掌握數(shù)學(xué)的文字語言、符號語言以及圖形語言是必備基礎(chǔ)，它們之間既可相互轉(zhuǎn)換、又可獨成一體，平時的教學(xué)中受初中數(shù)學(xué)表達(dá)的局限以及不同學(xué)段的要求，教師雖然也很重視數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，但對內(nèi)涵的挖掘不深、廣度不大、拓展不寬均可直接導(dǎo)致學(xué)生無法直擊核心問題，找不到解決問題的關(guān)鍵方法。

3.2注重邏輯推理能力的培養(yǎng)

3.2.1數(shù)學(xué)課堂更需要“理性思辨”

從安徽省中考第22題的典型答題錯誤的案例分析中，不難發(fā)現(xiàn)主要存在兩方面問題：一是數(shù)學(xué)課堂“理性”的成分不足，造成學(xué)生基本功不扎實，蜻蜓點水，一知半解，混個半壇水就夠了，不求深，不求實，主要表現(xiàn)為計算能力嚴(yán)重不足、邏輯推理混亂、書寫不規(guī)范等，因此，教師在教學(xué)中要狠抓基礎(chǔ)，基本運算，推理要熟練，有速度;數(shù)學(xué)常數(shù)、數(shù)學(xué)公式要精準(zhǔn)記憶，有較豐富的數(shù)學(xué)積累;解題呈現(xiàn)要求規(guī)范、認(rèn)真、布局合理，二是數(shù)學(xué)課堂的“思辨”氛圍不濃，造成學(xué)生思維惰性和定勢，盲目崇尚解題模型，此原因與課堂中的一些不良習(xí)慣和教學(xué)組織方式有關(guān)，教師為了營造課堂氛圍，往往會組織一些小組討論、交流，從而大量使用電化設(shè)備輔助教學(xué)，代替了學(xué)生的獨立思考、動手操作以及深層次的批判性思辨能力的訓(xùn)練，造成學(xué)生思維的靈活性不強、獨立解題能力嚴(yán)重不足，因此，課堂中要營造理性思考以及“頓悟”的鍥機，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，積極思辨，靈活運用，融會貫通，形成良好而高效的思維品質(zhì)和水平。

3.2.2數(shù)學(xué)課堂更需要“縝密推理”

無論是幾何推理還是代數(shù)推理，都要遵循“縝密”原則，從中考的答題情況來看，因解題過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)造成的失分還是較為普遍的，由于初中階段大多是演繹推理（也有用到不完全歸納等合情推理），所以在教學(xué)中除了讓學(xué)生掌握好應(yīng)有的性質(zhì)和判定定理外，教給學(xué)生一種能對具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推理與判斷的“縝密推理”方法也是至關(guān)重要的，“從已知到可知，從未知到需知”，俗稱“打隧道”，即從問題的題設(shè)或結(jié)論入手，向各自方向找間接條件，當(dāng)所要的條件與所能找到的條件一致時，“隧道”打通了，再將一步一步尋找的過程用數(shù)學(xué)符號呈現(xiàn)出來，就能實現(xiàn)邏輯推理的“縝密”性。

3.3注重數(shù)學(xué)思想方法的浸潤

3.3.1由“形→數(shù)”向“數(shù)→形”轉(zhuǎn)變

眾所周知，小學(xué)低段的思維以形象思維為主導(dǎo)，通常是由具體圖形中發(fā)現(xiàn)數(shù)（表象），隨著數(shù)學(xué)積累的不斷增加，思維方式也逐漸發(fā)展到形式運算階段，思維水平已超出具體的感知，進(jìn)而進(jìn)入抽象的形式思維，進(jìn)入初中階段，數(shù)形結(jié)合思想更著重于由數(shù)到形（抽象）的轉(zhuǎn)變，因此教師在教學(xué)中需逐步滲透抽象思維的含量，將培養(yǎng)抽象思維能力放在非常重要的地位，如2019年安徽省中考第22題，解決這道壓軸題的關(guān)鍵策略是將題目中的數(shù)（數(shù)學(xué)符號）轉(zhuǎn)換為圖象語言，再根據(jù)圖象的性質(zhì)和特征解決問題，所以在平時的教學(xué)中必須要注重“由數(shù)到形”的轉(zhuǎn)換，尤其是中考復(fù)習(xí)階段，更要加強這方面的訓(xùn)練，力求做到透過現(xiàn)象問本質(zhì)，因為越掌握問題本質(zhì)，抽象程度就越高，越能抵達(dá)問題實質(zhì)，所以不能瞻前顧后、左顧右盼，擔(dān)心學(xué)生達(dá)不到心智能力而降低思維水平的要求。

3.3.2抽象思維能力的訓(xùn)練是關(guān)鍵

抽象是人類獲得自然界本質(zhì)的內(nèi)在認(rèn)識的唯一思維工具和手段，列寧說：“認(rèn)識是人對自然界的反應(yīng)，但并不是直接的、簡單的、完全的反應(yīng)，而是一系列抽象思維的過程，即概念、規(guī)律等的構(gòu)成、形成過程，”高中階段的數(shù)學(xué)抽象首先體現(xiàn)在把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，即將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，這種抽象能力在高中的數(shù)學(xué)活動中占有非常重要的地位，為了讓學(xué)生在高中能夠順利適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此，初中的數(shù)學(xué)課堂也要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對實際問題進(jìn)行觀察、實驗、猜想、驗證、歸納、證明，進(jìn)而抽象為數(shù)學(xué)問題，即“用數(shù)學(xué)”的意識和本領(lǐng)，其中，運算、方程、函數(shù)以及圖形的性質(zhì)和判定等學(xué)習(xí)都是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的重要素材和手段，能促使學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會研究、學(xué)會學(xué)習(xí)。

總體而言，2019年安徽省中考第22題的考查暴露了考生在處理新題型上存在諸多問題，尤其暴露了教師在平時教學(xué)、乃至備考期問存在的功利性思想或行為，所以在教學(xué)中不僅要注重知識的教學(xué)，更多的要關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng)，翻看歷年的中考題也不難發(fā)現(xiàn)，未來的中考題型必定越來越豐富，對學(xué)生的能力要求也越來越高，所以對教師平時教學(xué)的要求也越來越高，需要教師從知識的傳授者向能力的培養(yǎng)者轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中注重數(shù)學(xué)語言的形式化轉(zhuǎn)換、注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，注重數(shù)學(xué)思想方法的浸潤，使數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠落地生根，使學(xué)生的思維能力在潛移默化中得到培養(yǎng)。