基于使用可靠性區(qū)域粒度的產(chǎn)品保修期優(yōu)化決策

揭麗琳,劉衛(wèi)東,2+

(1.南昌航空大學(xué) 無損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江西 南昌 330063; 2.南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,江西 南昌 330031)

0 引言

產(chǎn)品保修設(shè)計(jì)既是控制、降低產(chǎn)品保修成本的一種重要手段，又是提高消費(fèi)者售后服務(wù)滿意度和企業(yè)利潤水平的有效途徑。以保修期為核心要素的保修策略已逐漸成為新的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)焦點(diǎn)?？茖W(xué)合理地制定產(chǎn)品的保修期，不但要綜合考慮企業(yè)的保修成本投入以及在目標(biāo)市場(chǎng)的銷售價(jià)格，而且要考慮產(chǎn)品的質(zhì)量屬性。可靠性已成為衡量產(chǎn)品質(zhì)量屬性的核心指標(biāo)，也是影響保修期設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素[1-3]。此外，分布于不同地理區(qū)域的產(chǎn)品，由于實(shí)際所處的工作條件和使用時(shí)間不一致，導(dǎo)致其使用可靠性呈現(xiàn)顯著的差異[4]。因此，從使用可靠性的角度對(duì)產(chǎn)品保修期進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，有助于更精準(zhǔn)地制定符合客觀實(shí)際的保修期，從而有效提升市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力和企業(yè)的保修效益。

基于可靠性的保修期研究主要涉及可靠性的評(píng)估以及如何應(yīng)用所掌握的可靠性信息研究制定科學(xué)的保修期等方面。近年來，關(guān)于產(chǎn)品可靠性的評(píng)估和基于可靠性的保修期設(shè)計(jì)的研究逐漸增多，但僅有少量研究成果涉及分析使用可靠性與地理區(qū)域差異的關(guān)聯(lián)性以及應(yīng)用于設(shè)計(jì)相關(guān)產(chǎn)品的保修期。目前，主要采用可靠性試驗(yàn)、組件的數(shù)值和概率模擬以及現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析等手段對(duì)產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評(píng)估預(yù)測(cè)[5-7]。其中，基于可靠性試驗(yàn)的評(píng)估方法使用廣泛，但由于其耗時(shí)長、成本昂貴的特性，不適用于高可靠、長壽命產(chǎn)品；而基于組件的數(shù)值和概率模擬的評(píng)估方法在一定程度上彌補(bǔ)了前者的不足，但是對(duì)于存在多種失效機(jī)理的復(fù)雜產(chǎn)品，仍具有評(píng)估精度低的缺點(diǎn)，因此上述兩種評(píng)估方法在許多應(yīng)用領(lǐng)域均受到限制。相較之，采用現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析法則具有評(píng)估精度高、耗時(shí)短、成本低的特性。為此，國內(nèi)外很多學(xué)者關(guān)注了運(yùn)用現(xiàn)場(chǎng)返回?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評(píng)估的問題，并取得了一定的研究成果。比如，Al-Garni等[8-9]均選取現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，并分別運(yùn)用Weibull和Gamma分布模型對(duì)比研究了空調(diào)系統(tǒng)的可靠性；Lu[10]提出一種基于早期現(xiàn)場(chǎng)故障保修數(shù)據(jù)的可靠性預(yù)測(cè)方法，以達(dá)到減少召回車輛數(shù)量的目的；Ion等[11]運(yùn)用維修部門提供的短期、早期故障的保修數(shù)據(jù)對(duì)消費(fèi)電子產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行實(shí)時(shí)評(píng)估，并判斷其可靠性是否維持在一定水平；Altun等[12]通過采用現(xiàn)場(chǎng)返回?cái)?shù)據(jù)構(gòu)建了一種改進(jìn)的基于變化點(diǎn)的可靠性預(yù)測(cè)模型，從而預(yù)測(cè)高容量復(fù)雜電子產(chǎn)品在其保修期內(nèi)的可靠性性能；蔡忠義等[13]將外場(chǎng)數(shù)據(jù)與加速壽命數(shù)據(jù)融合提出一種改進(jìn)的可靠性評(píng)估技術(shù)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示該方法的評(píng)估精度要比傳統(tǒng)模型更高；史曉平[14]等對(duì)總體樣本容量未知，產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布的維修紀(jì)錄數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，給出了可靠度、平均壽命的估計(jì)。Suik等[15]通過采用保修期內(nèi)的故障數(shù)據(jù)，定性分析研究了循環(huán)流化床鍋爐的壓力件、燃料供應(yīng)系統(tǒng)以及底灰系統(tǒng)的可靠性。Gurel等[16]結(jié)合液晶電視保修期的研究，對(duì)售后服務(wù)部門提供的產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)，采用威布爾分布模型和線性回歸分析方法進(jìn)行失效率的估計(jì)。而應(yīng)用保修期內(nèi)的售后故障數(shù)據(jù)進(jìn)行空調(diào)產(chǎn)品可靠性評(píng)估的研究極少，僅有劉衛(wèi)東等[17]提出了一種基于聚類分析和時(shí)間濃縮的故障數(shù)據(jù)分類處理方法，并應(yīng)用于空調(diào)可靠性水平的定量估計(jì)，但該研究沒有考慮使用可靠性與不同地理區(qū)域以及固有可靠性之間的定量關(guān)系。

從目前基于現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的可靠性評(píng)估的研究現(xiàn)狀來看，還沒有充分利用大量的售后故障數(shù)據(jù)定量評(píng)估不同區(qū)域的產(chǎn)品使用可靠性，既無法建立反映使用可靠性與地理區(qū)域間定量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，也無法獲得固有可靠性與使用可靠性兩者間的函數(shù)關(guān)系式，并將其應(yīng)用于確定保修期的定量研究。此外，大多數(shù)研究都是針對(duì)某一特定分析的問題和具體數(shù)據(jù)而提出的具體模型和方法，缺乏對(duì)一般性模型和方法的深入探討和研究。

現(xiàn)有保修期設(shè)計(jì)研究大多都局限于產(chǎn)品出廠時(shí)的固有可靠性，主要采用最優(yōu)化方法從保修成本最小化或利潤最大化角度提出了一系列的決策模型。基于保修成本最小化角度，如Chien[18]分別從制造商和消費(fèi)者的視角出發(fā)，以保修成本最小化為目標(biāo)分析確定產(chǎn)品的最優(yōu)保修期與更換年限。Ambad等[19]以產(chǎn)品可靠性增加和保修成本最小為目標(biāo)，構(gòu)建了平均故障間隔時(shí)間與保修成本加權(quán)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，并利用遺傳算法求解最優(yōu)的保修期。劉衛(wèi)東等[20]應(yīng)用可靠性增大(Army Material System Analysis Activity, AMSAA)模型構(gòu)建固有可靠性增長模型，進(jìn)而建立了由保修費(fèi)用和保修效益函數(shù)兩部分組成的保修利益目標(biāo)模型，并求解出最優(yōu)的產(chǎn)品保修期。基于利潤最大化角度，如Murthy[21]將可靠性決策與市場(chǎng)變量相結(jié)合，并綜合考慮產(chǎn)品可靠性、價(jià)格和保修期的影響，建立了利潤最大化目標(biāo)函數(shù)。Wu等[22]進(jìn)一步發(fā)展了Teng等[23]構(gòu)建的質(zhì)量與價(jià)格的雙參數(shù)決策模型，通過將模型中的質(zhì)量水平替換為保修期長度，構(gòu)建了一種改進(jìn)的產(chǎn)品保修期決策模型，并優(yōu)化選擇產(chǎn)品的價(jià)格和保修期使企業(yè)利潤最大化。Decroix[24]系統(tǒng)分析了供不應(yīng)求耐用商品的最優(yōu)保修期、可靠性和價(jià)格的關(guān)系，指出每個(gè)制造商可以不依賴價(jià)格和競(jìng)爭(zhēng)者行為來設(shè)計(jì)產(chǎn)品可靠性和保修期，并討論了不同市場(chǎng)類型對(duì)保修期和可靠性的影響。Wang等[25]綜合考慮保修服務(wù)質(zhì)量對(duì)顧客滿意度和重復(fù)購買的影響，重構(gòu)了產(chǎn)品需求函數(shù)，并由此建立了一種改進(jìn)的成本函數(shù)和保修決策模型。Huang等[26]通過分析產(chǎn)品的可靠性、保修期和價(jià)格對(duì)銷售量、生產(chǎn)成本和保修服務(wù)成本的影響，構(gòu)建了貼現(xiàn)利潤最大化決策模型，并假設(shè)采用免費(fèi)更換保修策略時(shí)，分別就保修期和價(jià)格在不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)市場(chǎng)、隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)市場(chǎng)以及改變產(chǎn)品生命周期的條件下，運(yùn)用數(shù)值分析法確定保修期、價(jià)格和可靠性的最優(yōu)組合。Darghouth等[27]在文獻(xiàn)[26]的基礎(chǔ)上，針對(duì)帶有維修服務(wù)協(xié)議且僅有制造商提供維修服務(wù)的新產(chǎn)品，建立了一種聯(lián)合優(yōu)化產(chǎn)品保修期、可靠性和價(jià)格的貼現(xiàn)利潤最大化目標(biāo)模型，并考慮了4種不同維修協(xié)議選項(xiàng)下的穩(wěn)態(tài)市場(chǎng)和動(dòng)態(tài)市場(chǎng)，分別推導(dǎo)出每種情況所必需的最優(yōu)條件，優(yōu)化選擇保修期、可靠性和價(jià)格的組合策略使得制造商獲利最大。

上述保修期設(shè)計(jì)研究中均假設(shè)產(chǎn)品出廠時(shí)的固有可靠性為常量，既沒有考慮持續(xù)質(zhì)量改進(jìn)導(dǎo)致的固有可靠性增長，也沒有考慮使用可靠性呈現(xiàn)的顯著區(qū)域差異。而國內(nèi)外從可靠性增長的角度設(shè)計(jì)保修期的研究極少，僅有劉衛(wèi)東等[28]進(jìn)一步挖掘產(chǎn)品固有可靠性增長的價(jià)值，并應(yīng)用于構(gòu)建空調(diào)保修期優(yōu)化分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。但該研究更多關(guān)注的是空調(diào)出廠時(shí)的固有可靠性增長，忽略了其實(shí)際使用可靠性的區(qū)域差異規(guī)律對(duì)保修期的影響。

目前，國內(nèi)外分析產(chǎn)品使用可靠性與區(qū)域差異的關(guān)聯(lián)性及應(yīng)用于制定相關(guān)產(chǎn)品保修期的研究極其有限，僅有Jie等[4]從工作環(huán)境和用戶使用習(xí)慣兩個(gè)維度，系統(tǒng)研究了空調(diào)使用可靠性影響因素的區(qū)域差異性。揭麗琳等[29]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，以產(chǎn)品使用可靠性同類區(qū)域差異最小為目標(biāo)，建立了使用可靠性基于工作環(huán)境和用戶使用習(xí)慣兩類因素的多變量高維聚類模型，并運(yùn)用智能聚類算法有效地解決了產(chǎn)品使用可靠性的區(qū)域粒度劃分問題。劉衛(wèi)東等[30]利用部分省域的售后故障數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算空調(diào)產(chǎn)品的實(shí)際使用失效率，并定量分析不同區(qū)域的保修期差異程度，但保修期求解模型僅考慮了使用失效率和保修成本兩個(gè)有限因素，既沒有考慮保修期與價(jià)格的相互關(guān)系，也未能建立產(chǎn)品使用可靠性與所處地理區(qū)域間的定量關(guān)系模型，因而無法定量確定其他大部分區(qū)域的保修期。而已有研究表明，產(chǎn)品價(jià)格與保修期、產(chǎn)品可靠性及保修成本等因素密切關(guān)聯(lián)[31-32]。因此，從使用可靠性區(qū)域差異角度優(yōu)化設(shè)計(jì)保修期，仍需深入研究。

然而，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)出產(chǎn)品使用可靠性是實(shí)現(xiàn)基于使用可靠性的保修期優(yōu)化決策的制約因素。筆者前期對(duì)使用可靠性影響因素及其區(qū)域粒度劃分開展了深入分析和探討[4,29]。在此基礎(chǔ)上，本文將根據(jù)使用可靠性的區(qū)域粒度劃分結(jié)果，并結(jié)合售后故障數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析構(gòu)建使用可靠性預(yù)測(cè)模型；研究建立綜合考慮使用可靠性區(qū)域差異、保修成本和價(jià)格的保修期優(yōu)化決策模型，從而使得定量揭示使用可靠性區(qū)域差異對(duì)產(chǎn)品保修期和價(jià)格的影響規(guī)律成為可能。

針對(duì)以上分析，本文首先建立了反映產(chǎn)品使用可靠性與不同區(qū)域間定量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用于預(yù)測(cè)分布在不同區(qū)域的產(chǎn)品使用可靠性水平；然后構(gòu)建了基于使用可靠性區(qū)域粒度的保修期優(yōu)化決策模型，推導(dǎo)證明該模型存在最優(yōu)解，并給出模型的求解方法。最后，以某具體型號(hào)空調(diào)產(chǎn)品的保修期決策為實(shí)證案例，深入闡述了基于使用可靠性的保修期優(yōu)化決策的具體實(shí)施過程，從而驗(yàn)證了模型的有效性和適用性。

1 保修期優(yōu)化決策分析

進(jìn)行產(chǎn)品保修期優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，要綜合考慮產(chǎn)品可靠性、目標(biāo)市場(chǎng)的銷售價(jià)格以及企業(yè)的保修成本投入等各種決策的相互作用。因此，在建立產(chǎn)品保修期優(yōu)化決策模型之前，首先需要重點(diǎn)分析和提取影響企業(yè)制定保修期的關(guān)鍵因素。

1.1 保修期決策框圖模型的構(gòu)建

可靠性是工程技術(shù)策略的核心因素?；诳煽啃缘慕嵌龋舢a(chǎn)品的固有可靠性水平越高，則可制定越長的保修期。固有可靠性主要受產(chǎn)品研發(fā)、生產(chǎn)階段的原材料控制、質(zhì)量控制和勞動(dòng)力技術(shù)水平等諸多因素的影響，而使用可靠性是產(chǎn)品在實(shí)際使用環(huán)境中所具有的可靠性。產(chǎn)品的固有可靠性是其使用可靠性的基礎(chǔ)，且固有可靠性對(duì)使用可靠性具有正面效應(yīng)，即使用可靠性隨固有可靠性的增長而增長。鑒于售后服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)化程度的日益提升，使得其對(duì)使用可靠性的影響日趨一致，故在此不考慮產(chǎn)品安裝等服務(wù)質(zhì)量因素的影響。但是分布于不同地理區(qū)域的產(chǎn)品，由于所處自然環(huán)境、用戶經(jīng)濟(jì)條件、生活習(xí)慣等因素的不同，使得其實(shí)際使用可靠性呈現(xiàn)顯著的區(qū)域差異性。此外，產(chǎn)品使用可靠性水平的差異必然會(huì)影響到保修期的長短和保修成本的高低。因此，要以使用可靠性為基礎(chǔ)進(jìn)行產(chǎn)品保修期優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先要完成的就是使用可靠性區(qū)域差異的評(píng)估，而這也為實(shí)現(xiàn)保修期決策的優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

另一方面，不同保修期下所產(chǎn)生的保修成本、銷售價(jià)格和銷售量也各有差異。一般而言，消費(fèi)者可以依據(jù)保修期對(duì)產(chǎn)品感知質(zhì)量進(jìn)行判斷，從而影響顧客的消費(fèi)選擇，進(jìn)而影響產(chǎn)品的銷售量和銷售價(jià)格。與此同時(shí)，銷售價(jià)格是市場(chǎng)及決策中唯一能創(chuàng)造利潤的因素，但要受企業(yè)所處的競(jìng)爭(zhēng)地位、行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)等市場(chǎng)環(huán)境因素的制約。此外，銷售價(jià)格會(huì)反向作用于產(chǎn)品銷售量，即銷售量隨價(jià)格的增加而減少，同時(shí)它又受市場(chǎng)環(huán)境以及各區(qū)域的消費(fèi)者需求差異等因素的約束。綜合上述分析，可建立如圖1所示的基于使用可靠性區(qū)域粒度的保修期決策框圖模型。

該決策模型綜合考慮工程技術(shù)策略、市場(chǎng)策略以及使用可靠性區(qū)域差異3個(gè)方面的影響，通過分析保修期、各區(qū)域保修成本、研發(fā)和生產(chǎn)成本、銷售價(jià)格、各區(qū)域銷售量、各區(qū)域銷售收入以及企業(yè)利潤之間的相互影響及作用，并以利潤最大化為企業(yè)的經(jīng)營戰(zhàn)略目標(biāo)，優(yōu)化選擇最優(yōu)的產(chǎn)品保修期與價(jià)格。

1.2 使用可靠性預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

對(duì)于多批次大批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，其同型不同代產(chǎn)品的功能與結(jié)構(gòu)基本保持穩(wěn)定，即工作環(huán)境和用戶使用習(xí)慣等因素對(duì)同型各代產(chǎn)品的可靠性的影響程度基本一致?；诖耍梢猿浞掷闷髽I(yè)以往掌握的同型各代產(chǎn)品的使用可靠性數(shù)據(jù)，從而定量分析計(jì)算兩類因素對(duì)產(chǎn)品可靠性的綜合影響程度，進(jìn)而準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出分布在不同區(qū)域的新一代產(chǎn)品的實(shí)際使用可靠性。

1.2.1 使用可靠性與區(qū)域間定量關(guān)系模型的構(gòu)建

準(zhǔn)確評(píng)估不同類型區(qū)域的產(chǎn)品使用可靠性水平和可靠性影響因子是構(gòu)建保修期優(yōu)化決策模型的重要前提。由于前期研究[29]中確定的使用可靠性區(qū)域粒度劃分能夠充分反映各類地理區(qū)域內(nèi)可靠性影響因素及其影響程度的一致性，并精準(zhǔn)地實(shí)現(xiàn)了同類區(qū)域產(chǎn)品使用可靠性水平差異盡可能小，以及不同區(qū)域產(chǎn)品使用可靠性水平差異盡可能大，且其本質(zhì)是根據(jù)區(qū)域聚類樣本間的距離進(jìn)行度量的。為此，可以采用各類區(qū)域間距離的遠(yuǎn)近來表征產(chǎn)品實(shí)際使用可靠性的區(qū)域差異程度。

|Δλij|=|λi-λj|=δDij+ξ,

Dij=ω1·dij(AQED)+ω2·dij(ISED)+

ω3·dij(VCED)。

(1)

式中：λi、λj分別表示第i類和第j類區(qū)域同型產(chǎn)品的使用失效率，用于表征產(chǎn)品實(shí)際使用可靠性水平；Δλij則表示第i類和第j類區(qū)域的產(chǎn)品失效率差，即兩類區(qū)域使用可靠性的差異程度；δ、ξ為待定系數(shù)；Dij表示第i類和第j類區(qū)域之間的綜合距離；dij(AQED)、dij(ISED)和dij(VCED)分別表示絕對(duì)量距離，增速距離和波動(dòng)距離；；ω1、ω2、ω3分別表示3種距離相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，且滿足ω1+ω2+ω3=1，各距離及權(quán)重的計(jì)算詳見前期研究[4]。

1.2.2 使用可靠性及影響因子的評(píng)估

為了預(yù)測(cè)不同區(qū)域的產(chǎn)品使用可靠性水平，必須先確定上述產(chǎn)品使用可靠性與不同區(qū)域間距離的函數(shù)關(guān)系式，下面給出具體求解步驟：

(2)

(2)其次，結(jié)合前期研究得到的使用可靠性最優(yōu)區(qū)域粒度劃分方案，按照式(1)可分析計(jì)算得到各類區(qū)域間的距離。

(4)最后，通過計(jì)算可靠性影響因子來度量不同區(qū)域同型產(chǎn)品的使用可靠性差異程度，即

(3)

2 基于使用可靠性區(qū)域粒度的保修期優(yōu)化決策模型

2.1 模型建立

文獻(xiàn)[26-27]認(rèn)為產(chǎn)品的保修期與價(jià)格都會(huì)影響產(chǎn)品需求量，且將其看作是保修期長度和單位售價(jià)指數(shù)形式的對(duì)數(shù)線性函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，本文將全國地理區(qū)域按產(chǎn)品使用可靠性水平的高低進(jìn)行了粒度劃分，則不同區(qū)域的產(chǎn)品銷售量可表示為：

Qi(P,WX)=ki(WX+τ)βP-γki，τ>0;1≤i≤c。

(4)

式中：c為產(chǎn)品使用可靠性區(qū)域粒度劃分?jǐn)?shù)目；ki(ki>0)為尺度參數(shù)，表征第i類區(qū)域的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)、潛在消費(fèi)者數(shù)量和消費(fèi)者購買力以及需求差異等因素的綜合影響；Qi(P,WX)表示第i類區(qū)域的產(chǎn)品銷售量，不再是以往的適用于所有區(qū)域的統(tǒng)一固定常數(shù)值，而是隨不同區(qū)域市場(chǎng)環(huán)境變動(dòng)而變化的函數(shù)；WX為產(chǎn)品保修期；τ為時(shí)間位移常數(shù)，以保證當(dāng)WX=0時(shí)，產(chǎn)品銷售量非零；P表示產(chǎn)品的銷售價(jià)格；β(0<β<1)為銷售量關(guān)于保修期的偏移彈性系數(shù)；γ(γ>1)為產(chǎn)品的銷售量關(guān)于價(jià)格的彈性系數(shù)。由式(4)可知，價(jià)格對(duì)銷售量具有負(fù)面效應(yīng)，即銷售量隨價(jià)格的上漲而下降；而保修期對(duì)銷售量具有正面效應(yīng)，即銷售量隨保修期長度的增加而增長。

為建立保修期優(yōu)化決策模型，作出以下假設(shè)：企業(yè)采用免費(fèi)更換保修策略，承擔(dān)產(chǎn)品保修期間發(fā)生維修或更換的全部成本，包括運(yùn)輸成本、管理成本、材料成本和勞動(dòng)力成本等，這些費(fèi)用合計(jì)為單次故障平均維修成本；第i類區(qū)域的單位產(chǎn)品在保修期內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)與該區(qū)域的單位產(chǎn)品在保修期內(nèi)第j次故障的保修成本是相互獨(dú)立的變量；并且產(chǎn)品在保修期內(nèi)故障次數(shù)呈指數(shù)分布。

對(duì)于分布于第i類區(qū)域的單位產(chǎn)品，其保修成本由保修期內(nèi)各次故障的維修成本之和決定，即

0≤t≤WX;

1≤i≤c。

(5)

式中：Yi(WX)為第i類區(qū)域的單位產(chǎn)品在保修期內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；Xij(t)為該區(qū)域的單位產(chǎn)品在保修期內(nèi)第j次故障的保修成本。由于Xij(t)與Yi(WX)是相互獨(dú)立變量，則第i類區(qū)域的單位產(chǎn)品的期望保修成本為

ω(WX,λi)=E[Zi(WX)]=

E[Xij(t)]E[Yi(WX)]。

(6)

假設(shè)單位產(chǎn)品在保修期內(nèi)單次故障的平均維修成本為cm，則第i類區(qū)域單位產(chǎn)品的期望保修成本為

ω(WX,λi)=cmλiWX。

(7)

綜合上述，考慮企業(yè)的經(jīng)營戰(zhàn)略目標(biāo)是總利潤最大化，其總利潤由產(chǎn)品價(jià)格P、銷售量Qi(i=1,2,…,c)、單位研發(fā)成本cr、單位生產(chǎn)成本cp、期望的保修成本ωi(i=1,2,…,c)共同決定，若產(chǎn)品使用可靠性區(qū)域粒度可劃分為c類，則其保修期優(yōu)化決策模型可表示為

(8)

s.t.

WX∈[0,Lmax]，

P∈(Camin,Pcmax)，

1≤i≤c。

(9)

式中：πX為企業(yè)的綜合總利潤水平，Lmax為當(dāng)前產(chǎn)品的最大安全使用年限，Camin為單位產(chǎn)品的最小平均成本，Pcmax為消費(fèi)者可接受的最高價(jià)格，Cwmax為企業(yè)在保修期內(nèi)預(yù)計(jì)支出的總售后維修成本，其中Pcmax和Cwmax可在新產(chǎn)品投放市場(chǎng)前通過市場(chǎng)調(diào)研與利潤分析確定。

2.2 模型求解

首先由式(8)可以得出，企業(yè)利潤函數(shù)關(guān)于P和WX的黑塞矩陣，即

式中：

(P-cr-cp-cmαiλ0WX)+2cmαiλ0(WX+τ)]，

(10)

[βP+γcmαiλ0(WX+τ)-βγ(P-cr-

cp-cmαiλ0WX)]，

(11)

cp+cmαiλ0WX)-γ(P-cr-cp-cmαiλ0WX)]。

(12)

設(shè)D1和D2分別是一階和二階主子式，則

(13)

(14)

通過對(duì)式(8)分別求關(guān)于WX和P的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其各自為零，得到如下方程：

cp-cmαiλ0WX)ki(WX+τ)β-1P-γ]=0，

(15)

cp-cmαiλ0WX)ki(WX+τ)βP-γ-1]=0。

(16)

(17)

(18)

(19)

3 模型應(yīng)用

下面將所提模型應(yīng)用于中國某空調(diào)企業(yè)的保修期優(yōu)化決策分析，驗(yàn)證所建模型的有效性和適用性。在此基礎(chǔ)上，獲得某一具體型號(hào)的空調(diào)產(chǎn)品的使用可靠性以及最優(yōu)保修期和價(jià)格的組合策略，并對(duì)保修期優(yōu)化決策模型的保修期偏移彈性系數(shù)、價(jià)格彈性系數(shù)的靈敏性進(jìn)行詳細(xì)分析和討論。

3.1 應(yīng)用研究背景與數(shù)據(jù)來源

根據(jù)前期研究[29]得到的空調(diào)使用可靠性區(qū)域粒度劃分結(jié)果設(shè)置c=10，ki(i=1,2,…,c)則是先由《中國區(qū)域經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)年鑒》[31]中空調(diào)擁有量數(shù)據(jù)確定出不同區(qū)域的空調(diào)銷售量Qi，再由當(dāng)前空調(diào)企業(yè)普遍采用的保修期及平均銷售價(jià)格經(jīng)式(4)反求計(jì)算得出即ki=Qi(P,W)(W+τ)-βPγ，依此類推得到如表1所示的取值。

表1 不同類型區(qū)域的ki參數(shù)取值

現(xiàn)根據(jù)某型空調(diào)可靠性數(shù)據(jù)得出該同型產(chǎn)品的固有失效率λ0為0.008 03次/年，設(shè)研發(fā)成本cr為500元，生產(chǎn)成本cp為1 100元，單次故障的平均保修成本cm為400元，Lmax為12年，Camin為2 000元，Pcmax為4 000元。根據(jù)我國空調(diào)擁有量的實(shí)際情況以及相關(guān)文獻(xiàn)[26-27]的數(shù)據(jù)，設(shè)置銷售量參數(shù)分別為β=0.02，γ=2，τ=0.5，保修期內(nèi)預(yù)計(jì)支出的售后維修成本上限Cwmax為100 000 萬元。

3.2 保修期優(yōu)化結(jié)果與分析

現(xiàn)根據(jù)某型空調(diào)可靠性數(shù)據(jù)得出該同型產(chǎn)品在部分區(qū)域的使用失效率，并根據(jù)式(1)計(jì)算得到的區(qū)域距離，利用最小二乘法可得到δ=0.001 8，ξ=-0.002 4，即空調(diào)使用失效率與不同區(qū)域距離間的關(guān)系模型可表示為

|Δλij|=|λi-λj|=0.001 8Dij-0.002 4。

由此可得不同類型區(qū)域的空調(diào)實(shí)際使用失效率λi和可靠性影響因子αi，如表2所示。由表2可知，分布于不同區(qū)域的空調(diào)產(chǎn)品，其實(shí)際使用失效率存在較明顯區(qū)域差異，并且可靠性影響因子越大，表明該區(qū)域的空調(diào)可靠性水平受影響的程度越大，則實(shí)際使用失效率就越高。

表2 不同類型區(qū)域的空調(diào)使用失效率和可靠性影響因子

將所得參數(shù)值帶入式(17)和式(18)，進(jìn)一步求出空調(diào)最優(yōu)保修期和價(jià)格的組合策略，并與固有可靠性以及文獻(xiàn)[20]提出的基于固有可靠性增長的保修期優(yōu)化進(jìn)行比較，具體結(jié)果如表3所示。表中，“—”表示目標(biāo)函數(shù)未考慮該決策變量。

表3 三種保修期求解模型的結(jié)果比較

由表3可知，本文提出的基于使用可靠性區(qū)域粒度的保修期優(yōu)化決策模型所得的保修期有較大程度的延長，而固有可靠性增長次之，固有可靠性最短，造成其結(jié)果差異的根本原因是基于固有可靠性的保修期研究中假設(shè)不同區(qū)域的空調(diào)使用可靠性水平均等同于出廠時(shí)的固有可靠性。此外，文獻(xiàn)[20]僅以保修期為決策變量構(gòu)建單位產(chǎn)品的保修利益預(yù)測(cè)函數(shù)，因此不能求解得到相應(yīng)的產(chǎn)品價(jià)格。而本文所提模型綜合考慮了產(chǎn)品價(jià)格、使用可靠性區(qū)域差異和保修期因素的影響，實(shí)現(xiàn)了三者的聯(lián)合優(yōu)化。因此，根據(jù)產(chǎn)品的使用失效率，空調(diào)企業(yè)能夠科學(xué)地制定更符合客觀實(shí)際的保修期。

3.3 靈敏性分析

3.3.1 保修期偏移彈性系數(shù)的靈敏性分析

為進(jìn)一步分析模型的保修期偏移彈性系數(shù)β的變化對(duì)保修期、產(chǎn)品價(jià)格、各區(qū)域的保修成本、各區(qū)域銷售量以及各區(qū)域企業(yè)利潤分布的影響，在其他參數(shù)保持不變的條件下，設(shè)置β的5組不同取值，分別采用β=0.010,0.015,0.020,0.025,0.030這組逐漸遞增的參數(shù)值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，表4記錄了在不同參數(shù)取值下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。保修期偏移彈性系數(shù)β的變化對(duì)各類區(qū)域單位產(chǎn)品保修成本的影響，如圖2所示。不同β下的各區(qū)域銷售量和各區(qū)域企業(yè)利潤分布結(jié)果，如表5和表6所示。

表4 不同β下的最優(yōu)價(jià)格和保修期組合策略

表5 不同β下的各區(qū)域銷售量(臺(tái))分布結(jié)果

續(xù)表5

同時(shí)由表5可以看出，保修期長度的增加又促進(jìn)消費(fèi)者購買的作用，從而使各類區(qū)域銷售量也隨β的增大而呈現(xiàn)不同比例的增加；當(dāng)β由0.010增加到0.030時(shí)，各類區(qū)域i∈[1,10]的銷售量增加了約2.5%。由表6可以看出，由于各區(qū)域價(jià)格、銷售量的增加，使得企業(yè)在各區(qū)域的盈利隨著β的增大而不斷提高；通過表中數(shù)據(jù)比較分析表明，無論β取何參數(shù)值，企業(yè)在i=3,6,8,9,10五類區(qū)域的盈利是較多的。因此，企業(yè)應(yīng)盡量滿足這些類型區(qū)域的消費(fèi)者，適度延長產(chǎn)品的保修期，增加產(chǎn)品銷售量，從而達(dá)到增加企業(yè)總利潤的效果。

表6 不同β下的各區(qū)域企業(yè)利潤(元)分布結(jié)果

續(xù)表6

3.3.2 價(jià)格彈性系數(shù)的靈敏性分析

為進(jìn)一步研究模型的價(jià)格彈性系數(shù)γ的變化對(duì)保修期、產(chǎn)品價(jià)格、保修成本、銷售量以及企業(yè)利潤產(chǎn)生的影響，同樣固定其他參數(shù)不變，設(shè)置γ的6組不同取值，分別采用γ=1.7,1.8，1.9,2.0，2.1,2.2,2.3這組逐漸遞增的參數(shù)值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。不同參數(shù)取值下求得的空調(diào)最優(yōu)保修期、價(jià)格和企業(yè)利潤，如表7所示。價(jià)格彈性系數(shù)γ的變化對(duì)各類區(qū)域單位產(chǎn)品保修成本、銷售量以及企業(yè)利潤分布的影響，分別如圖3～圖5所示。

表7 不同γ下的最優(yōu)保修期和價(jià)格組合策略

從圖4可知，保修期長度的減小同時(shí)又使各類區(qū)域銷售量減少，因此各類區(qū)域銷售量隨γ的增大而單調(diào)遞減，且下降的幅度在逐漸減小；圖4數(shù)據(jù)還表明，當(dāng)γ由1.7增加到2.3時(shí)，各類區(qū)域i∈[1,10]的銷售量總體下降了約98%。由圖5可以看出，由于各區(qū)域價(jià)格、銷售量的減少，企業(yè)在各類區(qū)域分布的利潤隨著γ的增大而不斷減少，且減少的幅度呈現(xiàn)先大后小的趨勢(shì)；分析結(jié)果還表明企業(yè)利潤主要集中在i=3,6,8,9,10這5類區(qū)域，這與表6分析得出的各區(qū)域利潤分布規(guī)律相吻合。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)產(chǎn)品保修期設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題，在系統(tǒng)分析保修期的關(guān)鍵影響因素的基礎(chǔ)上，根據(jù)使用可靠性的區(qū)域粒度劃分結(jié)果，建立了反映產(chǎn)品使用可靠性與不同區(qū)域間定量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用于預(yù)測(cè)分布在不同區(qū)域的產(chǎn)品使用可靠性水平；并由此構(gòu)建了基于使用可靠性區(qū)域粒度的保修期優(yōu)化決策模型，推導(dǎo)證明了該模型存在最優(yōu)解，并給出了模型的求解方法。最后，運(yùn)用所建模型對(duì)空調(diào)產(chǎn)品實(shí)例進(jìn)行使用可靠性評(píng)估和保修期優(yōu)化決策，并與傳統(tǒng)方法對(duì)比，驗(yàn)證了模型的有效性和適用性。

使用可靠性預(yù)測(cè)模型能夠精確評(píng)估不同區(qū)域的使用可靠水平，最大限度地挖掘了使用可靠性的區(qū)域差異規(guī)律蘊(yùn)含的效益；保修期優(yōu)化決策模型綜合考慮了產(chǎn)品使用可靠性的區(qū)域差異性、保修成本和價(jià)格因素的影響，有利于聯(lián)合優(yōu)化使用可靠性、保修期和價(jià)格，從而使得制定的保修期更符合客觀實(shí)際。研究結(jié)果表明，基于使用可靠性的視角，適度增加保修期長度有利于實(shí)現(xiàn)企業(yè)利潤最大化；通過模型參數(shù)的靈敏度分析，定量揭示了保修期偏移彈性系數(shù)和價(jià)格彈性系數(shù)對(duì)空調(diào)保修期、價(jià)格以及企業(yè)利潤的影響規(guī)律。不同于一般的產(chǎn)品保修期決策方法，本文建立的模型增加了使用可靠性區(qū)域差異視角，既為解決空調(diào)保修期優(yōu)化設(shè)計(jì)問題提供了一種新思路，也為企業(yè)制定科學(xué)合理的保修期提供理論指導(dǎo)和技術(shù)支持。

然而，本文所構(gòu)建的保修期優(yōu)化決策模型仍存在一些局限性，如，由于數(shù)據(jù)獲取的困難性和可得性，沒有對(duì)渠道投入、廣告投入和品牌影響力等影響因素進(jìn)行定量分析。未來將進(jìn)一步探討和改善該模型，并將其推廣應(yīng)用于其他類型家電產(chǎn)品保修期設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題。