巧用數(shù)學(xué)模型解決中考數(shù)學(xué)壓軸題

董清玲?張艷飛?弓鋒輝

摘要：本文以新課標(biāo)為指導(dǎo)，結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，在利用點(diǎn)圓、將軍飲馬等數(shù)學(xué)模型解決中考數(shù)學(xué)壓軸題的方法進(jìn)行研究與探索，提出了教師中考復(fù)課的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;解決;壓軸題

2018年陜西中考數(shù)學(xué)第25題壓軸題很好地運(yùn)用了“點(diǎn)到圓上點(diǎn)，共線有最短（長(zhǎng)）”這一點(diǎn)圓模型和“先固定，再放開”的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)中考復(fù)課有許多啟示。

一、真題展示：

問(wèn)題提出：（1）如圖①，在△ABC中，∠A=120°，AB= AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為___________。

問(wèn)題探究：（2）如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值。

問(wèn)題解決：（3）如圖③所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中：AB= 6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所對(duì)圓心角為60°.管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB、AC路辺建物資分站點(diǎn)E、F.即，分別在BC、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F.因職工毎天都要將物資在各站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑運(yùn)輸，故規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷和節(jié)約成本使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+ EF+FP的最小值.（道路的距離、路寬忽略不計(jì)）。

二、思路分析：

第一小題：

思路1：垂徑定理。作△ABC的外接圓⊙O，OA是∠BAC的平分線，故∠OAC=∠BAC=60°，連接OC，則OC=OA，故等腰△OAC是正三角形?？傻冒霃絆A=OC=AC=5.

思路2：正弦定理。由頂角是120°角的等腰三角形三邊之比是1：1：知BC=AC=5，再利用正弦定理的變形：R=可得R===5.

第二小題：思路：OM+OP≥PM，由“點(diǎn)圓模型”可知當(dāng)O、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PM最小，此時(shí)PM⊥AB并過(guò)O，PM=PO+OM=5+13=18.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：OB+OA≥AB，當(dāng)且僅當(dāng)B，O，A三點(diǎn)共線時(shí)，OB+OA=AB.即當(dāng)B，O，A三點(diǎn)共線時(shí)，AB取最大值為OB+OA=AB.

第三小題：

求三條線段和的最小值一般解題策略是先做軸對(duì)稱變換，再用兩點(diǎn)之間線段最短，或者用兩邊之和大于等于第三邊（共線時(shí)取等號(hào)）。

原理：作兩次對(duì)稱，兩點(diǎn)之間，線段最短.

據(jù)此，本題可以假設(shè)BC上一點(diǎn)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，固定P點(diǎn)分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P'、P''連接P' P''，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接PP'、PE，PF，PP''，由對(duì)稱性可知PE=P' E，F(xiàn)P=FP''，AP'=A P=A P''，∠P'A P''= 2∠BAC =120°，PE +EF+FP=P' E+EF+FP'' ≥P' P''=AP'，即當(dāng)P'、E、F、P''共線時(shí)，P' P''即為最短距離，其長(zhǎng)度取決于AP'即A P的長(zhǎng)度。

由第（2）問(wèn)知，作出BC的圓心O，連接AO，與BC交于P，P點(diǎn)即為使得PA最短的點(diǎn)，PE+EF+FP≥AP=3-9，所以PE+EF+FP的最小值為（3-9）km.

點(diǎn)評(píng)：本題命題者巧妙將所求三角形一個(gè)頂點(diǎn)放在特定圓心角的圓弧上，讓學(xué)生有似曾相識(shí)之感，難點(diǎn)是：P在圓弧上何處能使三角形周長(zhǎng)最短？找到點(diǎn)P位置后如何說(shuō)明三角形周長(zhǎng)最小？

綜上，教師在復(fù)習(xí)時(shí)不能只講一個(gè)大概過(guò)程，要著力解決壓軸題教學(xué)最后一公里的痛點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)于真題答案中諸如：“將軍飲馬”問(wèn)題中，為什么做軸對(duì)稱后拉直線段長(zhǎng)為最短距離？這一類復(fù)雜問(wèn)題的當(dāng)堂能進(jìn)行證明或解釋，打消學(xué)生心頭疑慮。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]羅增儒，《數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)》[J]，中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2004.7第28頁(yè)。

作者簡(jiǎn)介：董清玲（1975.9）女，漢族，陜西省寶雞市，學(xué)歷，畢業(yè)于寶雞文理學(xué)院，一級(jí)教師，數(shù)學(xué)教育，寶雞市清姜路中學(xué)。

張艷飛（1975.4）女，漢族，陜西省榆林市，本科，畢業(yè)于寶雞文理學(xué)院，一級(jí)教師，數(shù)學(xué)教育，寶雞市姜城中學(xué)。

弓鋒輝（1974.2）男，漢族，陜西省寶雞市，本科，畢業(yè)于寶雞文理學(xué)院，高級(jí)教師，數(shù)學(xué)教育，寶雞市渭濱區(qū)教研室。