空間帶網(wǎng)展開動力學(xué)與仿真

林子軒, 龐兆君, 杜忠華, 司驥躍, 付 杰

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

近年來，人類的空間活動日漸頻繁，伴隨著每一次的空間活動，空間碎片的數(shù)量都在不斷增加?？臻g碎片對航天器和航天員產(chǎn)生了重大的安全隱患?？臻g繩網(wǎng)因其結(jié)構(gòu)簡單可靠，易于實現(xiàn)；降低了對姿態(tài)及軌道控制的要求；增加了在軌捕獲距離，降低了碰撞概率；根據(jù)目標(biāo)探測系統(tǒng)可迅速接近捕獲目標(biāo)；可實現(xiàn)小型模塊化，易于存儲。這些優(yōu)點已然成為研究熱點[1]。自Nakasuk等在Furoshiki項目中提出空間繩網(wǎng)思路后，中外學(xué)者對其進(jìn)行了大量研究。

G?rdsback等[2]對繩網(wǎng)的折疊方式和構(gòu)型進(jìn)行研究。Williams等[3-5]利用集中質(zhì)量模型和黏性彈簧結(jié)構(gòu)來完成柔性繩索動力學(xué)建模。陳欽等[6]建立了繩網(wǎng)發(fā)射動力學(xué)方程，并進(jìn)行了地面試驗。于洋等[7]建立了正方形繩網(wǎng)展開過程解析模型。李京陽等[8]比較了折疊方式對繩網(wǎng)展開性能參數(shù)的影響。賈杰等[9]將繩網(wǎng)簡化為X模型，采用六根彈簧模擬繩網(wǎng)進(jìn)行展開參數(shù)分析。張青斌等[10]采用彈簧質(zhì)點法仿真繩網(wǎng)展開，通過地面試驗對模型進(jìn)行了驗證，并提出地面與太空環(huán)境差異對比。劉海濤等[11]研究了軌道、捕獲方向和拋射參數(shù)對展開性能的影響。張瑞雄[12]采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法進(jìn)行空間繩網(wǎng)目標(biāo)拖曳研究。張江[13]在對空間繩網(wǎng)捕獲過程的動力學(xué)研究時，建立了繩網(wǎng)與目標(biāo)的碰撞動力學(xué)模型，實現(xiàn)了繩網(wǎng)碰撞過程的動力學(xué)仿真分析。

繩網(wǎng)理論已經(jīng)相對成熟，但是繩網(wǎng)抓捕目前面臨兩個問題，其一空間繩網(wǎng)較為柔軟，極易出現(xiàn)變形、松弛與纏繞。其次針對抓捕目標(biāo)小、相對速度快的目標(biāo)時，空間繩網(wǎng)存在斷裂的問題。使用強(qiáng)度更高、纏繞較少的空間網(wǎng)帶替代傳統(tǒng)繩網(wǎng)，并對其動力學(xué)模型進(jìn)行研究。不同于空間繩網(wǎng)的抗拉不抗壓特性，空間帶網(wǎng)具有一定的抗彎抗扭剛度，在一定程度上避免了帶與帶之間的相互纏繞，并且空間帶網(wǎng)強(qiáng)度、有效抓捕面積高于空間繩網(wǎng)，在小以及快的抓捕目標(biāo)應(yīng)用中有更高的容錯率。

空間帶網(wǎng)雖然在功能上與空間繩網(wǎng)相同，但因其具有抗彎及抗壓強(qiáng)度，在結(jié)構(gòu)上與布料、薄膜結(jié)構(gòu)更為相似。許多學(xué)者對布料的動力學(xué)模型開展了研究。趙舒羽[14]以質(zhì)點-彈簧模型為基礎(chǔ)提出改進(jìn)的質(zhì)點-彈簧-三角形網(wǎng)格模型。并進(jìn)行了布料撕裂模擬。沙莎[15]將布料厚度考慮在內(nèi)，在傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)點模型基礎(chǔ)上，建立了長方體彈簧-質(zhì)點模型，模擬出花色組織受到紗線張力作用下所產(chǎn)生的線圈形態(tài)變化。張瑩瑩[16]采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法在三維薄板單元基礎(chǔ)上建立薄膜單元，并推導(dǎo)了質(zhì)量陣、剛性陣及彈性陣。給出了在沖擊作用下的振動特性。綜上，可以使用彈簧質(zhì)點法對網(wǎng)帶進(jìn)行建模。

現(xiàn)提出一種帶網(wǎng)抓捕系統(tǒng)，采用彈簧-質(zhì)點法建立帶網(wǎng)動力學(xué)模型，并通過MATLAB程序進(jìn)行帶網(wǎng)自由懸垂模擬，與ABAQUS相比較驗證該模型準(zhǔn)確性。重點進(jìn)行帶網(wǎng)拋射展開及旋轉(zhuǎn)展開數(shù)值仿真，旨在對比得出更適合于帶網(wǎng)的展開方式。

1 空間帶網(wǎng)展開動力學(xué)模型

1.1 空間帶網(wǎng)捕獲系統(tǒng)

如圖1所示，空間帶網(wǎng)展開動力學(xué)模型由牽引質(zhì)量塊和帶網(wǎng)組成，帶網(wǎng)為正方形帶網(wǎng)，牽引質(zhì)量塊位于帶網(wǎng)的四個角點。發(fā)射時牽引質(zhì)量塊獲得初始速度，帶動帶網(wǎng)飛行展開。與目標(biāo)碰撞后進(jìn)行收縮抓捕，最后將目標(biāo)拖曳至軌道。

圖1 帶網(wǎng)簡化模型Fig.1 Simplified model with network

圖2 多種類彈簧-質(zhì)點模型Fig.2 Multispring-particle model

1.2 多彈簧的彈簧-質(zhì)點動力學(xué)模型

Provot[17]建立了經(jīng)典的彈簧質(zhì)點模型。模型將布料分為若干網(wǎng)格單元，如圖2所示。將布料質(zhì)量均勻分布到各個質(zhì)點上，各個質(zhì)點之間通過無質(zhì)量的彈簧相連接。模型中存在三種類型的彈簧：

(1)左右相鄰的質(zhì)點[i,j]和[i+1,j]以及上下相鄰的質(zhì)點[i,j]和[i,j+1]之間的為結(jié)構(gòu)彈簧，用來模擬布料橫縱向的力，阻止布料在橫縱向過度拉伸形變。

(2)對角線相鄰的質(zhì)點[i,j]和[i+1,j+1]之間的為剪切彈簧，用來防止織物在自身平面過度和不真實的變形，而給織物的一個剪切剛性。

(3)橫向間隔點[i,j]和[i,j+2]以及縱向間隔點[i,j]和[i+2,j]之間的為彎曲彈簧，用來模擬布料在被彎曲和折疊時，抵抗彎曲的力。

在彈簧質(zhì)點模型中，任意質(zhì)點[i,j]在t時刻的位置是Pi,j(t)，力學(xué)方程由其在當(dāng)前位置受到的合力Fi,j(t)決定。根據(jù)牛頓第二定律

Fi,j(t)=m(Pi,j)a(Pi,j)

(1)

式(1)中：m(Pi,j)為該質(zhì)點的質(zhì)量；a(Pi,j)為該質(zhì)點在t時刻的加速度；Fi,j(t)為該質(zhì)點所受到的合力，由內(nèi)力和外力組成：

Fi,j(t)=Fint(Pi,j)+Fext(Pi,j)

(2)

式(2)中：內(nèi)力Fint(Pi,j)由內(nèi)部三種彈簧變形力疊加產(chǎn)生：

Fint(Pi,j)=Fstr(i,j)+Fshear(i,j)+Fbend(i,j)

(3)

式(3)中：Fstr(i,j)、Fshear(i,j)、Fbend(i,j)分別為該質(zhì)點所受拉力、剪切力和彎曲力。

如圖3所示，質(zhì)點[i,j]與通過結(jié)構(gòu)彈簧、剪切彈簧、彎曲彈簧相連質(zhì)點間距離分別為rstr、rshear、rbend。

圖3 質(zhì)點[i,j]所受彈力Fig.3 Elasticity of particle [i,j]

由于帶網(wǎng)拉伸強(qiáng)度與壓縮強(qiáng)度相差較大，在拉伸及壓縮時采用不同的勁度系數(shù)k1、k2，勁度系數(shù)大小由彈簧的材質(zhì)決定。根據(jù)胡克定律，在非過度拉伸的情況下，彈簧的應(yīng)力與彈簧形變量呈線性關(guān)系，表達(dá)式為

(4)

式(4)中：x1為彈簧運(yùn)動時的長度；x0為彈簧原長。

進(jìn)行地面試驗仿真時，質(zhì)點還會受到外部作用力的影響，如重力、阻尼力等，即

Fext(Pi,j)=Fg+Fdamp

(5)

式(5)中：重力Fg=m(Pi,j)g，外力中附加阻尼力Fdamp可以增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。阻尼表現(xiàn)了運(yùn)動過程中帶網(wǎng)的硬度，并且可以防止仿真過程中很大的平面振動。

Fdamp=-cvij

(6)

式(6)中：c為阻尼系數(shù)；vij為質(zhì)點速度矢量。

為了防止布料在經(jīng)緯兩個方向產(chǎn)生過大的形變，結(jié)構(gòu)彈簧需要很大的彈性系數(shù)。剪切彈簧可以模擬布料在內(nèi)傾斜方向的作用力，也需要較大的彈性系數(shù)。而彎曲彈簧連接了間隔點，用于抵抗布料的面外彎曲，其彈性系數(shù)較小。

2 空間帶網(wǎng)動力學(xué)仿真

2.1 空間帶網(wǎng)自由懸垂仿真

2.1.1 基于彈簧-質(zhì)點法

采用上述提及的空間帶網(wǎng)模型，使用MATLAB進(jìn)行空間帶網(wǎng)自由懸垂仿真。固定帶網(wǎng)中心點，網(wǎng)體在重力作用下，自由下落，網(wǎng)形逐漸收成一束。如圖4所示，為空間帶網(wǎng)自由懸垂過程仿真圖。

設(shè)置帶網(wǎng)中心點六個自由度完全固定，在重力作用下自由懸垂。帶網(wǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖4 基于彈簧-質(zhì)點法的帶網(wǎng)自由懸垂仿真圖Fig.4 Simulation diagram of net free suspension based on spring-particle method

圖5所示為彈簧-質(zhì)點模型下空間帶網(wǎng)的自由懸垂展開面積與時間關(guān)系圖。由圖5可知,帶網(wǎng)從平鋪狀態(tài)開始下落，展開率為100%，經(jīng)過約4.1 s后帶網(wǎng)四角點相遇，展開率減小至0。

表1 帶網(wǎng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parameters of band net structure

圖5 自由懸垂帶網(wǎng)展開面積與時間關(guān)系圖Fig.5 Relation between the expanded area and time of free overhanging belt net

2.1.2 ABAQUS仿真對比

在ABAQUS中采用膜單元建立相應(yīng)帶網(wǎng)模型。固定帶網(wǎng)中心點。帶網(wǎng)在重力作用下進(jìn)行自由懸垂運(yùn)動。采用ABAQUS的帶網(wǎng)自由懸垂過程仿真如圖6所示。

在相同初始參數(shù)設(shè)置、相同工況下，ABAQUS仿真與MATLAB編程仿真對比結(jié)果如圖7所示。

圖6 ABAQUS帶網(wǎng)自由懸垂仿真圖Fig.6 Simulation diagram of ABAQUS with net free suspension

圖7 ABAQUS與編程仿真對比圖Fig.7 Comparison between ABAQUS and programming simulation

圖7(a)截取帶網(wǎng)自由懸垂過程中0、1、2、3 s帶網(wǎng)懸垂情況，通過對比可知兩者仿真姿態(tài)相似。圖7(b)為彈簧-質(zhì)點模型與ABAQUS仿真帶網(wǎng)展開面積與時間關(guān)系對比圖。彈簧-質(zhì)點模型仿真結(jié)果與ABAQUS仿真結(jié)果前期基本吻合，收尾階段稍有細(xì)微差別，該差別存在于帶網(wǎng)中心點位置未能完全重合，以及彈簧彈性系數(shù)上的細(xì)微差別。

通過ABAQUS驗證可知，上文提及的彈簧-質(zhì)點模型可以較為準(zhǔn)確地描述空間帶網(wǎng)的運(yùn)動過程。

2.2 剪切彈簧與彎曲彈簧參數(shù)對模型的影響

彈簧-質(zhì)點模型多用于繩網(wǎng)的建模，傳統(tǒng)的彈簧質(zhì)量模型將繩段簡化為質(zhì)點及質(zhì)點間無質(zhì)量的彈簧阻尼器。采用三種彈簧的彈簧-質(zhì)點模型對帶網(wǎng)進(jìn)行仿真，設(shè)計帶網(wǎng)拋射展開仿真討論剪切彈簧與彎曲彈簧對模型的影響。

帶網(wǎng)初始轉(zhuǎn)載于發(fā)射裝置內(nèi)，仿真中簡化為按縮小系數(shù)s=0.05將帶網(wǎng)整體縮小為完全展開的5%。牽引質(zhì)量塊向上拋射展開，在牽引質(zhì)量塊的作用下，帶網(wǎng)逐漸展開成型，最終完全展開。

仿真4種工況，分別為：無剪切彈簧、無彎曲彈簧、既無剪切也無彎曲彈簧以及正常情況。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 剪切彈簧與彎曲彈簧對模型影響Fig.8 Influence of shear spring and bending spring on the model

由圖8可知，剪切彈簧對模型影響較大。無剪切彈簧與正常情況對比，最大展開面積小，保形時間短，曲線粗糙。彎曲彈簧對模型影響較小。

2.3 空間帶網(wǎng)與空間繩網(wǎng)拋射展開對比

在針對速度較快的空間碎片時，繩網(wǎng)容易出現(xiàn)斷裂現(xiàn)象，采用強(qiáng)度更高的帶網(wǎng)替代繩網(wǎng)進(jìn)行抓捕任務(wù)。為了驗證帶網(wǎng)拋射性能，設(shè)計如下對比仿真。

發(fā)射參數(shù)：發(fā)射速度10 m/s、發(fā)射角度30°、每個質(zhì)量塊與網(wǎng)質(zhì)量比均為1/6。

材料參數(shù)：彈性模量E=2.83×109，密度1 140 kg/m3。

結(jié)構(gòu)參數(shù)：邊長2 m正方形。帶網(wǎng)有4個網(wǎng)孔，繩網(wǎng)用2條繩對比1條帶，有8個網(wǎng)孔。帶網(wǎng)厚度0.25 mm，質(zhì)量0.9 kg；繩網(wǎng)網(wǎng)繩直徑1 mm，質(zhì)量0.3 kg。

彈性系數(shù)：均采用公式k=EA/L計算得出。

阻尼系數(shù)：均采用相同公式計算得出。

仿真初始條件如上文所述。結(jié)果如圖9所示。

圖9 帶網(wǎng)與繩網(wǎng)拋射展開對比Fig.9 Comparison of belt net and rope net projectiles

由圖9可知，展開階段兩者走勢相似，整體曲線帶網(wǎng)較繩網(wǎng)更平滑。繩網(wǎng)最大展開面積略大于帶網(wǎng)，差別可忽略不計。兩者保形時間接近。

綜上所述，發(fā)射參數(shù)相同時，在采用帶網(wǎng)替代繩網(wǎng)以提高抓捕強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，在抓捕性能方面，帶網(wǎng)與繩網(wǎng)相近，滿足空間碎片抓捕任務(wù)。

2.4 空間帶網(wǎng)拋射展開仿真與旋轉(zhuǎn)展開仿真對比

自空間繩網(wǎng)概念提出以來，多是以牽引體四散帶動繩網(wǎng)進(jìn)行拋射展開。日本于2010年成功發(fā)射并在軌展開了IKAROS 太陽帆，采用自旋動力實現(xiàn)膜面展開[18]。國防科技大學(xué)劉海濤團(tuán)隊進(jìn)行了繩網(wǎng)旋轉(zhuǎn)展開試驗[19]?？臻g帶網(wǎng)作為空間繩網(wǎng)，空間可展開薄膜結(jié)構(gòu)相似而非完全相同的結(jié)構(gòu)，將對其拋射展開與旋轉(zhuǎn)展開進(jìn)行仿真對比，尋求更合適的展開方式。

經(jīng)對比仿真驗證上述彈簧-質(zhì)點模型在帶網(wǎng)仿真的可行性后，采用MATLAB進(jìn)行帶網(wǎng)拋射展開仿真。圖10所示為空間帶網(wǎng)拋射展開過程仿真圖。

帶網(wǎng)模型采用4 m×4 m大小正方形帶網(wǎng)。在帶網(wǎng)拋射展開試驗中，帶網(wǎng)由4個角點連接牽引體，牽引體由發(fā)射裝置發(fā)射，帶動帶網(wǎng)飛行展開。仿真中將質(zhì)量塊等效為質(zhì)點。發(fā)射參數(shù)如表2所示(發(fā)射角度為質(zhì)量塊發(fā)射方向與裝置中軸線夾角)。

圖10 空間帶網(wǎng)拋射展開過程仿真圖Fig.10 Simulation diagram of spatial network projection expansion process

質(zhì)量塊速度方向分別為F1、F2、F3、F4。在x、y方向分解為如圖11所示方向。

圖12所示為帶網(wǎng)展開面積與時間位移關(guān)系圖，因為帶網(wǎng)平鋪時自身存在褶皺，不能達(dá)到100%展開，因此零時刻展開率從0開始，在0.33 s后帶網(wǎng)展開達(dá)到最大值，展開率為93%，展開保形時間為0.06 s(計算展開率在80%以上時間)。

改變初始條件進(jìn)行帶網(wǎng)的旋轉(zhuǎn)展開仿真，旋轉(zhuǎn)發(fā)射參數(shù)如表3所示。

旋轉(zhuǎn)發(fā)射質(zhì)量塊速度方向如圖13所示，質(zhì)量塊速度方向分別為F1、F2、F3、F4。質(zhì)量塊帶動空間帶網(wǎng)呈順時針旋轉(zhuǎn)展開。

表2 拋射展開發(fā)射參數(shù)

圖11 拋射展開質(zhì)量塊速度方向Fig.11 Velocity direction of mass block with projectile expansion

圖12 帶網(wǎng)展開面積與時間位移關(guān)系圖Fig.12 Relation diagram of the expanded area and time displacement of belt network

表3 旋轉(zhuǎn)展開發(fā)射參數(shù)

旋轉(zhuǎn)發(fā)射帶網(wǎng)飛行姿態(tài)如圖14所示，帶網(wǎng)由四個牽引質(zhì)量塊牽引，逐漸展開至最大，達(dá)到最大展開面積后，帶網(wǎng)進(jìn)入收縮狀態(tài)。

圖15為拋射展開與旋轉(zhuǎn)展開對比圖，由圖15可知，拋射最大展開率為93%，略高于旋轉(zhuǎn)展開最大展開率90%，拋射展開較快，旋轉(zhuǎn)展開較慢，保形時間兩者基本相同。旋轉(zhuǎn)展開較為平順，而拋射展開曲線存在一定的突變。綜上所述，拋射展開速度快，最大展開面積大。旋轉(zhuǎn)展開過程穩(wěn)定?？紤]收縮階段存在與目標(biāo)碰撞問題，拋射展開突變影響較小，拋射展開略優(yōu)于旋轉(zhuǎn)展開。實際捕獲任務(wù)中可根據(jù)拋射展開速度、最大展開面積以及保形時間的優(yōu)先級確定帶網(wǎng)展開方式。

圖13 旋轉(zhuǎn)發(fā)射質(zhì)量塊速度方向Fig.13 Rotation of the velocity direction of the transmitting mass block

圖14 空間帶網(wǎng)旋轉(zhuǎn)展開過程仿真圖Fig.14 Simulation diagram of the rotation and expansion process of spatial belt network

圖15 拋射展開與旋轉(zhuǎn)展開對比圖Fig.15 Comparison of projectile expansion and rotation expansion

3 結(jié)論

基于彈簧-質(zhì)點法的思想，建立了帶網(wǎng)動力學(xué)模型，采用MATLAB實現(xiàn)了帶網(wǎng)的自由懸垂仿真。并通過ABAQUS對比驗證。對帶網(wǎng)展開方式進(jìn)行仿真對比，得到以下結(jié)論。

(1)通過與ABAQUS基于膜單元的帶網(wǎng)模型進(jìn)行仿真對比，驗證了動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

(2)討論了剪切彈簧與彎曲彈簧對模型的影響。無剪切彈簧時拋射最大展開面積減小，保形時間縮短，彎曲彈簧對模型影響較小。

(3)對比了帶網(wǎng)與繩網(wǎng)拋射展開過程。結(jié)果表明帶網(wǎng)在提高了對高速碰撞目標(biāo)包容性基礎(chǔ)上，抓捕性能保持良好?？梢圆捎脦ЬW(wǎng)代替繩網(wǎng)。

(4)在此模型的基礎(chǔ)上，重點進(jìn)行了空間帶網(wǎng)的直接拋射展開及旋轉(zhuǎn)展開仿真，將兩種展開方式進(jìn)行對比，得出拋射展開具有速度快、最大展開面積大的優(yōu)點。

(5)旋轉(zhuǎn)展開過程平穩(wěn)，保形時間長。實際捕獲任務(wù)中可根據(jù)要求優(yōu)先級選擇合適的展開方式。為空間帶網(wǎng)在太空環(huán)境中的仿真研究提供了參考。