初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“猜想與反思”的有效滲透

張宗國

（福建省霞浦縣第五中學(xué)，福建 寧德 355109）

猜想是進(jìn)行科學(xué)研究的一種廣泛應(yīng)用的思想方法，它是根據(jù)已知的原理和事實，對未知的現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假定性命題。反思是對自己認(rèn)知過程、認(rèn)知結(jié)果的監(jiān)控和體會。知識和理解要靠學(xué)生自己領(lǐng)悟才能獲得，而領(lǐng)悟又靠思維過程的不斷反思才能達(dá)到。

一、猜想與反思在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有效指導(dǎo)學(xué)生獲得猜想與反思，有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)能力，這是數(shù)學(xué)教育的一個很重要的研究課題。同時，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思是學(xué)生得到發(fā)展、教學(xué)獲得成功的重要保障。在課堂上要積極倡導(dǎo)以學(xué)生為主體的理念，引導(dǎo)他們由靜聽轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹剿?，聽中有思，思中有悟，在聽講中學(xué)會捕捉引起猜想與反思的問題。

二、猜想與反思在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透應(yīng)用

例1：關(guān)于y 的多項式3y2-11y+n 分解因式后有一個因式是(y-3)，試求n的值。

引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：該多項式分解的結(jié)果會有什么樣的因式，如果該多項式的值等于零，又會有什么樣的發(fā)現(xiàn)，從而得到兩種解法。

解法一：假設(shè)另一個因式是3y+m，那么原多項式3y2-11y+n=(y-3)(3y+m)，展開右式，比較對應(yīng)項系數(shù)，就可得到n=6。

反思領(lǐng)悟：分解因式與整式乘法之間的互逆關(guān)系，以及分解因式與方程的根也有一定的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：分解二次三項式的因式可否采用上面的方法？回答是肯定的。比如：分解y2+3y-28 的因式，仍然可以這樣猜測：如果該多項式能分解，那么它總可以分解為兩個一次因式，所以假設(shè)，y2+3y-28=(y+a)(y+b)，展開右式，比較對應(yīng)項系數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)y2+3y-28=(y-4)(y+7)。教學(xué)中還可以進(jìn)一步反思：分解二次三項式的簡便方法“十字相乘法”。

解法二：令原多項式的值為零，那么關(guān)于y 的方程3y2-11y+n==0 有一根為3，將y=3 代入，就可求出n 的值。

例2：用黑白兩種正六邊形瓷磚拼成如圖1 所示的圖案，那么接下來第4 個圖案將有白色瓷磚多少塊？第n 個圖案有白色瓷磚多少塊？

各級部門對工程概（估）算進(jìn)行審查，既是保證概（估）算編制質(zhì)量、合理確定工程投資、發(fā)揮投資效益的需要，又是被審人員提高業(yè)務(wù)水平、擴(kuò)大知識視野的有效途徑。

學(xué)生乙先從整體觀察，再細(xì)細(xì)比較后發(fā)現(xiàn)，白色瓷磚在增加過程中有一定規(guī)律，黑色瓷磚周圍總有6 塊白色瓷磚，但是從第2 個開始，相鄰的兩塊黑色瓷磚中間的白色瓷磚是重復(fù)的，第2 個圖案重復(fù)了2 塊，第3 個重復(fù)了4 塊，接下來每增加一個黑色瓷磚，白色的就重復(fù)2 塊，所以第4 個圖案重復(fù)的白色瓷磚應(yīng)該是3×2=6 塊，那么白色的瓷磚應(yīng)該是6×4-6=18 塊。在尋找答案的過程中，他畫出表1 來幫助。他“感覺”有一種數(shù)學(xué)的“模式”存在，而前幾個特殊的例子可以幫助他找到這個模式。根據(jù)圖1 的3 個圖案，學(xué)生乙猜測出第n個圖案中有白色瓷磚的數(shù)目是6×n-(n-1)×2=4n+2。繼續(xù)觀察，學(xué)生乙還可以發(fā)現(xiàn)，第一塊黑色瓷磚的周圍的白色瓷磚有6 塊，接著每增加一塊黑色的瓷磚，白色的瓷磚就增加4 塊，于是，第4 個圖案有6+4×3=18 塊白色瓷磚，猜測第n個有白色瓷磚的數(shù)目是6+4×(n-1)=4n+2。學(xué)生乙經(jīng)過反思，又有這樣的想法，將每一個圖案左邊兩塊白色的瓷磚拿開，那么每一塊黑色的瓷磚就對應(yīng)著4 塊白色的瓷磚，所以第n 個圖案有白色瓷磚(4n+2)塊。

以某起110KV高壓斷路器合閘拒動的操作為例，當(dāng)運(yùn)行人員將操作機(jī)構(gòu)的后門打開，會發(fā)現(xiàn)有煙霧出現(xiàn)，這就說明了分閘線圈被燒毀，可以通過手動機(jī)構(gòu)來成功分閘。修理與調(diào)試工作人員也要通過對這起高壓斷路器進(jìn)行試驗與檢查，檢查的重點(diǎn)在于斷路器的機(jī)械特性與最低動作電壓等方面的試驗。由試驗可以發(fā)現(xiàn)，某起 110KV高壓斷路器分閘線圈最低電壓的設(shè)計值很高，在裝好斷路器之后，最低動作電壓已經(jīng)超出了標(biāo)準(zhǔn)值。對斷路器機(jī)構(gòu)與分閘線 圈進(jìn)行調(diào)整，將最低動作電壓調(diào)整到符合標(biāo)準(zhǔn)的要求[4]。

在答題中，學(xué)生甲首先觀察前幾個圖案，而后就畫出了第4 個圖案，他一個接一個的數(shù)白色瓷磚的個數(shù)，經(jīng)過多次的數(shù)一數(shù)，他確定第4 個圖案白色瓷磚是18 塊，可是第n 個圖案，他感覺無從下手，這可怎么辦呢？

這是一道探索規(guī)律的問題，在七年級教材中類似的題型也有出現(xiàn)過，但對于經(jīng)常解決常規(guī)問題的學(xué)生來說，需要引導(dǎo)他們有效開展猜想與反思。

高折射率電介質(zhì)元件相對于x和y軸傾斜45°，這可以引起對沿x或y方向偏振的入射波的線偏振轉(zhuǎn)換，即，反射波的偏振角度相對于入射波被旋轉(zhuǎn)90°。以y方向極化的入射場為例，該場可以分解為兩個分量，分別沿?=45°和135°極化，如圖2。圖3和4繪制了它們反射波的振幅和相位，在53到70 GHz的頻段范圍內(nèi)兩個正交極化之間實現(xiàn)了全反射和180°的相位差。因此，y方向偏振入射場下，反射的兩個分量形成了x方向偏振反射場，如圖2所示。圖5表示電介質(zhì)超表面的偏振轉(zhuǎn)換效率，定義為|Ecross|2/（|Ecross|2+|Eco|2）。很明顯，轉(zhuǎn)換效率在53到70 GHz之間保持在0.93以上。

為了這件事，我發(fā)揮自身特長草書唐詩一幅，到裝裱店加急仿古精裱后如期帶去，意外的賀禮，使教師職業(yè)的妹妹格外喜愛，她表示，這是錦上添花。

從這兩位學(xué)生解題思路形成的過程，可以看出兩者的差異，對于解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題，他們可能沒有太多區(qū)別，可在“猜想與反思”中，他們的表現(xiàn)大不相同。這是在平時的解題思路形成過程中，逐步形成的數(shù)學(xué)能力的結(jié)果。因此，教師要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求，指導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察研究對象的特征，教會學(xué)生猜想與反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成猜想與反思的習(xí)慣，不斷創(chuàng)設(shè)使學(xué)生引發(fā)猜想、積極反思的問題情境。

三、結(jié)語

猜想與反思在學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、尋找數(shù)學(xué)本質(zhì)過程中起著重要的作用。在日常生活和工作中，猜想與反思也是人們至關(guān)重要的能力。通過引導(dǎo)學(xué)生觀察一些表象問題，猜想事物的本質(zhì)，從中概括反思一般規(guī)律，這是學(xué)生認(rèn)識世界和改變世界的必要手段。