向量法在求解幾何問題中的應用

摘?要：向量是建立代數(shù)、函數(shù)、幾何問題之間聯(lián)系的紐帶，作為一種解題方法在簡化相應問題、提升解題效率上非常實用，文章主要探討向量法在幾何命題、三角函數(shù)、不等式以及動點軌跡四個方面的應用，最后給出了在解析幾何教學中的幾點建議。

關鍵詞：向量法;代數(shù)化;動點軌跡;Matlab軟件

中圖分類號：O182?文獻標識碼：A

解析幾何是數(shù)學專業(yè)的基礎課，可以說是其他數(shù)學課程的基礎，是高等數(shù)學類課程的基石。線性代數(shù)，數(shù)學分析，常微分方程等課程的學習都離不開解析幾何的基本知識及研究方法。其基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，數(shù)學家笛卡兒曾說過：一切問題最終都可以轉化為數(shù)學問題，一切問題可轉化為代數(shù)問題進行研究，雖然這種說法過于絕對，但是很好地說明了用代數(shù)中的方法去研究幾何問題的重要性。為了把代數(shù)里涉及的運算引進到幾何中，最根本的做法就是設法把空間的幾何結構有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化。

幾何中最基本的單位是“點”，點成線、線成面、面成體，而代數(shù)中最基本的單位是“數(shù)”，要建立幾何與代數(shù)之間的關系，就需要建立“點”與“數(shù)”之間的關系，即借助空間坐標系來實現(xiàn)[1]。

向量是一個既有大小又有方向的矢量，通過直角坐標系可以將向量的分量分別給出，因此在研究幾何問題中起著重要的作用。本文主要介紹利用向量求解四類幾何問題。

一、向量方法在幾何命題證明中的應用

傳統(tǒng)的幾何命題都是利用已知條件之間的各種變換和構造輔助線來證明，這種方法往往復雜，如果找不到隱含的信息，則無從下手，但是利用向量法卻事半功倍。

例1：利用向量法證明四面體對邊中點的連線交于一點且互相平分。

二、向量法在三角函數(shù)中的應用（正弦、余弦定理）

正弦、余弦定理的證明方法有很多[2-3]，比如做輔助線和外接圓，在高中對于學生來說是非常困難的，證明過程復雜、懊悔難懂，一般情況下只有記憶公式?jīng)]有理解，在大學的學習中講解了向量的數(shù)量積和向量積之后，作為向量的應用外拓，利用向量法證明，學生理解得更透徹，進而對學習向量法產(chǎn)生興趣。

三、向量法在不等式中的應用

柯西——施瓦茲不等式有著非常廣泛的應用，如求函數(shù)極值、求解方程、求解三角與幾何問題等方面，證明方法有直接法和三角函數(shù)變換證明[4]，構造二次函數(shù)法、歸納法、配方法[5]等，向量法證明相對于上述方法更簡單易懂。

四、向量方法在動點軌跡中的應用

例4：把一根線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使得放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡方程。

分析：若將線頭的軌跡方程以普通方程的形式表示，顯然是非常困難且不容易求解的，并且軌跡方程不唯一，但是如果利用向量法來求解動點的軌跡方程，是比較簡單的，只需要理解線頭動之前和動之后的向量關系，那么求解過程簡單直接，降低了問題的難度。

這種曲線叫做圓的漸伸線或者切展線，在工業(yè)上常被稱作齒輪曲線[6]。利用向量的方法求解類似的問題，如內旋輪線、外旋輪線等問題的動點軌跡亦是非常簡便的。

在解析幾何教學中筆者有以下三點建議：

一是解析幾何是一門比較抽象的課程，課前應給學生提供相應的學習材料，如慕課資源，課中講解應啟發(fā)式的指導學生學習，使學生將高中知識與大學知識銜接起來，而不是脫節(jié);

二是解析幾何中有很多的運算，包括向量的運算和直線、平面的方程求解、直線與平面之間的關系等，在學習的過程中應注重學生計算能力的培養(yǎng)，避免出現(xiàn)上課聽著會考試不會的情況發(fā)生;

三是學生對于空間中的幾何圖形比較陌生，在上課的時候鍛煉學生數(shù)形結合的能力，比如在空間中，方程x2+y2=1代表圓柱，學生第一反應是圓，因此在平時的教學活動中應適當?shù)睦肕atlab軟件演示一些幾何圖形，這樣學生容易理解、記憶深刻，而且在無形中向學生介紹了Matlab軟件，這對學生后期的學習奠定了基礎。比如心形線極坐標方程r=a（1-sinθ），a是常數(shù)。代碼為：

clc;clear

%r=2（1-sin（theta））

theta=[0：0.01：2*pi];

polar（theta，2*（1-sin（theta）），'-k'）

polar（theta，2*（1-sin（theta）），'-ok'）

title（'極坐標系下的心形線'）

方程中取a=2運行之后可以得到如下圖形，這樣更直觀的可以理解圖形為什么稱為心形線，這樣的圖形在解析幾何中還有很多。

五、結語

以上是向量法在四類問題中的應用以及在教學中的三點建議，當然向量法還有很多應用，比如求解直線方程，求解平面方程，求解定比分點問題等等，在此不一一列舉。向量法為求解上述問題提供了一種新途徑，使得解題思路簡單，化難為易，事半功倍。

參考文獻：

[1]滕吉紅，等.淺析高等數(shù)學中蘊含的思維觀和方法論[J].高等數(shù)學研究，2020，23（4）：124-127.

[2]趙冬梅.正弦定理、余弦定理的證明方法探究[J].西北成人教育學報，2012，6，137-140.

[3]宋現(xiàn)印.深入應用領域，探討向量解法[J].數(shù)學教學通訊，2019，10，78-79.

[4]龔加安.柯西不等式的證明及幾何解釋[J].讀與寫雜志，2018，15（12）：34-35.

[5]黃韜，顧華強.柯西不等式的證明與應用.數(shù)學學習與研究，2018（3）：108-109.

[6]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：蘇曉璐（1989—?），女，回族，寧夏人，碩士，助教，研究方向：偏微分方程數(shù)值解法。