一種基于李群理論的三維耦合最優(yōu)制導(dǎo)律

涂喜梅 周少波 張金鵬 劉勇

摘 要：傾斜轉(zhuǎn)彎（BTT）導(dǎo)彈通道間存在的控制耦合作用使得常規(guī)的雙平面解耦制導(dǎo)律設(shè)計方法難以滿足制導(dǎo)律設(shè)計要求。本文針對BTT導(dǎo)彈的三維耦合制導(dǎo)律設(shè)計問題，將李群理論引入到制導(dǎo)律設(shè)計中，將導(dǎo)彈速度向量中的旋轉(zhuǎn)角速度用彈目視線俯仰角速度和彈目視線方位角速度來表示，同時考慮導(dǎo)彈制導(dǎo)過程中轉(zhuǎn)彎盡量小以節(jié)省能量，給出一種考慮耦合項(xiàng)的最優(yōu)三維制導(dǎo)律算法。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：空空導(dǎo)彈;李群理論;最優(yōu)制導(dǎo);三維耦合制導(dǎo)

中圖分類號：TJ765

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-5048（2020）06-0055-06

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0 引? 言

導(dǎo)彈控制方式包括傾斜轉(zhuǎn)彎（Bank to Turn，BTT）和側(cè)滑轉(zhuǎn)彎（Skid to Turn，STT）兩種方式。傾斜轉(zhuǎn)彎控制方式是實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎的一種控制方式，制導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎過程中，始終保持側(cè)滑角為零。由于BTT導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎中通過彈體滾轉(zhuǎn)，將最大的升力面轉(zhuǎn)動到制導(dǎo)所要求的方向上，相比于STT導(dǎo)彈在機(jī)動性、穩(wěn)定性、升阻比等方面具有明顯優(yōu)勢，且越來越受到重視[1-2]。文獻(xiàn)[3]基于BTT導(dǎo)彈的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)特性，建立了傾斜轉(zhuǎn)彎導(dǎo)彈的彈體模型，根據(jù)彈體耦合特點(diǎn)進(jìn)行了解耦分析。文獻(xiàn)[4]對BTT導(dǎo)彈建模、自動駕駛儀設(shè)計與仿真方法進(jìn)行了詳細(xì)論述。文獻(xiàn)[5]針對BTT導(dǎo)彈的姿態(tài)控制提出了基于干擾估計的魯棒方差控制方法。文獻(xiàn)[6]針對機(jī)動目標(biāo)提出了一種基于有限時間反饋控制方法的三維空間制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]針對帶有一定機(jī)動能力的飛行目標(biāo)，結(jié)合彈目運(yùn)動關(guān)系與導(dǎo)彈自身的動力學(xué)特性，給出了BTT導(dǎo)彈的俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航三通道獨(dú)立制導(dǎo)控制一體化設(shè)計。文獻(xiàn)[8]針對BTT導(dǎo)彈制導(dǎo)過程中的通道耦合問題，用旋量描述方法構(gòu)建了彈目視線方位模型，采用矢量描述方法構(gòu)建彈目視線角速度模型，設(shè)計了一種考慮制導(dǎo)參數(shù)優(yōu)化的新型三維非線性制導(dǎo)律。傳統(tǒng)的三維制導(dǎo)律是將導(dǎo)彈的制導(dǎo)系統(tǒng)分解成橫向平面和俯仰平面分別進(jìn)行設(shè)計，由于忽略耦合作用而造成信息損失，或采用基于球坐標(biāo)系的制導(dǎo)律設(shè)計方法，這種方法雖然可以考慮通道耦合作用，但是難以實(shí)現(xiàn)末端速度約束制導(dǎo)[2]。

李群理論的提出，給BTT導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計提供了新的思路。文獻(xiàn)[9]針對BTT導(dǎo)彈，考慮通道耦合影響，采用李群理論，設(shè)計了BTT三維制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]采用李群理論，在不進(jìn)行通道解耦的條件下提出了一種新型三維制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[11]基于微分幾何和李群理論，提出了一種三維BTT導(dǎo)彈制導(dǎo)律。這些研究給BTT耦合制導(dǎo)律的研究奠定了很好的基礎(chǔ)。

本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從最優(yōu)制導(dǎo)的角度，提出了一種針對BTT導(dǎo)彈的最優(yōu)三維耦合制導(dǎo)算法，避免雙平面解耦制導(dǎo)律設(shè)計方法帶來的問題，同時優(yōu)化制導(dǎo)過程中導(dǎo)彈軌跡，減小轉(zhuǎn)彎量以節(jié)省導(dǎo)彈能量消耗，實(shí)現(xiàn)高精度制導(dǎo)。

1 彈目相對運(yùn)動的數(shù)學(xué)描述

假設(shè)導(dǎo)彈M的速度矢量為v，彈目視線距離為R，目標(biāo)T固定于坐標(biāo)系的原點(diǎn)o。以導(dǎo)彈三自由度運(yùn)動學(xué)模型為基礎(chǔ)，以導(dǎo)彈質(zhì)心和目標(biāo)質(zhì)心為基準(zhǔn)，導(dǎo)彈在三維空間上的運(yùn)動可以解耦成如圖1所示的俯沖和轉(zhuǎn)彎兩個平面上的運(yùn)動[9]。

圖中，首先定義單位矢量s1～s5。其中，s1與轉(zhuǎn)彎平面垂直，s2與俯沖平面垂直，s1～s5指向如圖1所示。q是x軸方向與彈目視線方向夾角;qd是彈目視線高低角，即s4和s5之間的夾角;qt為彈目視線方位角，即s5和x軸之間的夾角;ηd為速度矢量在俯沖平面上的投影與轉(zhuǎn)彎平面的夾角;ηt為速度矢量在轉(zhuǎn)彎平面上的投影與俯沖平面的夾角;θd為速度矢量在俯沖平面內(nèi)的方向角，即速度矢量在俯沖平面的投影與水平面xoz之間的夾角;θt為速度矢量在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的方向角，即速度矢量在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的投影與鉛垂面xoy之間的夾角。

定義ω為彈目視線角速度：

ω=q·ds2+q·ts3（1）

式中：q·d為視線高低角速度;q·t為視線方位角速度。

由圖1可知，s1，s3，s4，s5在同一平面，且其均s2垂直。此外，有s1⊥s4，s3⊥s5。因此可知，s2既在參考系os1s2s4內(nèi)，又在參考系os3s2s5內(nèi)，s3既在參考系os3s2s5內(nèi)，也在參考系oxyz內(nèi)。由參考系oxyz即oxs3z繞s3軸轉(zhuǎn)動角度qt得到參考系os3s2s5，由參考系os3s2s5繞s2軸轉(zhuǎn)動角度qd得到參考系os1s2s4，故彈目角速度可分解成視線高低角速度和視線方位角速度矢量和。因此，式（1）得證。

對式（1）兩邊分別求導(dǎo)，得

ω·=q¨ds2+q¨ts3+q·ds·2+q·ts·3（2）

式中：q¨ds2為導(dǎo)彈在俯沖平面內(nèi)的加速度分量;q¨ts3為導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)的加速度分量;q·ds·2+q·ts·3為通道解耦時候的耦合項(xiàng)，在以往制導(dǎo)律設(shè)計中，常常忽略該項(xiàng)。但在BTT導(dǎo)彈大滾轉(zhuǎn)的情況下，該耦合項(xiàng)占有較大比重，因而在此不予忽略。

根據(jù)式（2），BTT導(dǎo)彈的三維耦合運(yùn)動可以分別從俯仰平面、轉(zhuǎn)彎平面和耦合項(xiàng)三個方面進(jìn)行設(shè)計。

2 三維耦合制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 縱向平面制導(dǎo)律設(shè)計

針對俯仰平面，假設(shè)θd>0，那么有如下等式成立：

ηd=qd-θd（3）

由圖1可得

R·=-vcosηd（4）

Rq·d=vsinηd（5）

將式（5）兩邊分別對時間求導(dǎo)，得

R·q·d+Rq¨d=v·sinηd+vη·dcosηd（6）

將sinηd=Rq·dv和cosηd=-R·v代入式（6），得俯仰平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動方程：

q¨d=v·v-2R·Rq·d+R·Rθ·d（7）

在彈目攔截過程中，通常假設(shè)v·/v≈0。定義Tg=-R/R·， R>0，則式（7）可寫為

q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d（8）

假定導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時，視線高低角速度為零，即q·d（tf）=0，令x=q·d，u=θ·d，則可寫成狀態(tài)方程形式：

x·=Ax+Bu

其中：A=2/Tg; B=-1/Tg，且滿足x（tf）=0。

導(dǎo)彈在命中目標(biāo)之前，要求導(dǎo)彈的方向變化θ·d盡量小，因此選取性能函數(shù)如下：

J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2ddt

作為一個二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題，可由Riccati方程求其最優(yōu)解得

θ·*d = u* = -R-1BTpx（9）

其中： R=1;p滿足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp，分別等式左右乘以p-1，得Riccati方程的逆表達(dá)形式：

-p-1p·p-1=Ap-1+p-1AT-BR-1BT（10）

由矩陣變換得知，p·-1=（p-1）′=-p-1p·p-1，又因?yàn)镽=1，所以式（10）可轉(zhuǎn)化為Riccati方程形式p·-1=Ap-1+p-1AT-BBT，即有

p·-1=4Tgp-1-1T2g（11）

由x（tf）=0，因此有F=∞，從而p（tf）=F=∞，最終有

p-1（tf）=0（12）

結(jié)合式（11）～（12）求解可得

p=3Tg（13）

將式（13）代入式（9）得

θ·d=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·d=3q·d（14）

將式（14）代入式（8），得縱向平面的最優(yōu)制導(dǎo)律：

q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d=2Tgq·d-1Tg3q·d=-1Tgq·d（15）

2.2 橫向平面制導(dǎo)律設(shè)計

針對轉(zhuǎn)彎平面，假設(shè)θt>0，有如下等式成立：

ηt=qt-θt

由圖1可得

R·=-vcosηt（16）

Rq·t=vsinηt（17）

對式（17）兩邊分別對時間求導(dǎo)，可得

R·q·t+Rq¨t=v·sinηt+vη·tcosηt

將sinηt=Rq·tv和cosηt=-R·v代入式（17），可得轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)彈目相對運(yùn)動方程：

q¨t=v·v-2R·Rq·t+R·Rθ·t（18）

在實(shí)際飛行過程中，通常假設(shè)v·/v≈0，因Tg=-R/R·（R>0），則式（18）可表示為

q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t（19）

假定導(dǎo)彈在命中目標(biāo)時，視線方位角速度為零，即q·t（tf）=0，令x=q·t，u=θ·t，則可寫成狀態(tài)方程形式：

x·=Ax+Bu

其中：A=2/T，B=-1/Tg，且滿足x（tf）=0。

導(dǎo)彈在命中目標(biāo)之前，要求導(dǎo)彈的方向變化角速度θ·t盡量小，因此選取性能函數(shù)如下：

J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2tdt

作為一個二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題，此時由逆Riccati方程求其最優(yōu)解，可得

θ·*t = u* = -R-1BTpx（20）

式中： R=1，則p滿足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp。

同理于上述縱向平面的求解過程，得

p=3Tg（21）

將式（21）代入式 （20）得

θ·t=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·t=3q·t（22）

將式（22）代入式（19），得縱向平面的最優(yōu)制導(dǎo)律：

q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t=2Tgq·t-1Tg3q·t=-1Tgq·t（23）

2.3 橫縱耦合項(xiàng)設(shè)計

通常情況下，以往的制導(dǎo)律之所以忽略耦合項(xiàng)描述，是因?yàn)轳詈享?xiàng)在笛卡爾坐標(biāo)系所表示的歐幾里德空間中表示起來很復(fù)雜。因此引入李群理論，使其在SO（3）群中表述，相對簡單一些。

給定一個單位矢量s0，存在一個三維旋轉(zhuǎn)矩陣使得對于任意其他單位矢量sx，都存在如下關(guān)系：

sx=Rss0（24）

式中： Rs是從s0到sx的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，且RsRTs=I。而Rs∈SO（3），由此可得，針對一個單位矢量，空間中的任意其他單位矢量都可由該矢量與SO（3）群中的三維旋轉(zhuǎn)矩陣表示。

對式（24）求導(dǎo)，可得

s·x = R·ss0 = R·sR-1ssx = R·sRTssx

由上式可知：s·2=R·s2RTs2s2;s·3=R·s3RTs3s3。

如果2=（R·s2RTs2）∨，3=（R·s3RTs3）∨，則有

s·2=2×s2

s·3=3×s3 （25）

2.4 三維耦合制導(dǎo)律

將式（15）、式（23）和式（25）代入式（2），則有

ω·=-1Tgq·ds2-1Tgq·ts3+q·d（2×s2）+q·t（3×s3）（26）

簡化式（26），可得視線角運(yùn)動學(xué)方程為

ω·=2×s2-1Tgs2q·d+3×s3-1Tgs3q·t（27）

從式（27）可知，在該制導(dǎo)律中，導(dǎo)彈速度向量的旋轉(zhuǎn)角速度與彈目視線高低角速度、彈目視線方位角速度成正比。

3 數(shù)值仿真示例

為驗(yàn)證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性，對不同過載下的目標(biāo)進(jìn)行導(dǎo)彈攔截仿真驗(yàn)證，參數(shù)設(shè)置如下。

導(dǎo)彈參數(shù)：導(dǎo)彈飛行速度vM=400 m/s，初始彈道傾角θ0=0°，初始彈道偏角ψc0=0°，初始位置坐標(biāo)（xM，yM， zM）=（0，200，400）m。

目標(biāo)參數(shù)：目標(biāo)飛行速度vT=272 m/s，初始位置坐標(biāo)（xT，yT，zT）=（7 000，0，500）m。

仿真1：目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動nyt=0，nzt=0，仿真結(jié)果如圖2～5所示。

仿真2：目標(biāo)做機(jī)動運(yùn)動nyt=2g，nzt=0g，仿真結(jié)果如圖6～9所示。

仿真3：目標(biāo)做機(jī)動運(yùn)動nyt=2g，nzt=2g，仿真結(jié)果如圖10～13所示。

從仿真結(jié)果可以看出，針對不同機(jī)動方式和機(jī)動大小的目標(biāo)，利用本文所設(shè)計的制導(dǎo)律，在耦合控制方式下，導(dǎo)彈能夠很好地攔截目標(biāo)，且攔截過程比較平滑，整個制導(dǎo)過程中，制導(dǎo)指令的變化相對平穩(wěn)，側(cè)滑角度一直在零度左右波動，且收斂于一個非常小的角度。說明導(dǎo)彈整個飛行過程中，側(cè)滑幅度不大，而相比之下，滾轉(zhuǎn)角則有較大范圍的波動，但最后依然收斂，說明導(dǎo)彈飛行過程中，滾轉(zhuǎn)角度在不斷調(diào)整以適應(yīng)對目標(biāo)的攔截姿態(tài)，滿足傾斜轉(zhuǎn)彎要求。因此，所設(shè)計的制導(dǎo)律具有良好的制導(dǎo)效果。

4 結(jié)? 論

BTT導(dǎo)彈通道間的強(qiáng)耦合給BTT導(dǎo)彈的制導(dǎo)律設(shè)計提出了挑戰(zhàn)。本文針對BTT導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計，給出了一種考慮通道耦合條件下的最優(yōu)三維耦合制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律的設(shè)計利用李群理論將BTT導(dǎo)彈耦合項(xiàng)在李群空間中進(jìn)行表達(dá)，克服了耦合項(xiàng)在笛卡爾坐標(biāo)系中難以表達(dá)的缺點(diǎn)。在考慮滿足最優(yōu)性能指標(biāo)以使導(dǎo)彈飛行軌跡盡量平穩(wěn)并減少能量消耗的基礎(chǔ)上，從俯仰平面、轉(zhuǎn)彎平面和耦合項(xiàng)三個方面對制導(dǎo)律進(jìn)行了設(shè)計，從而獲得了針對BTT導(dǎo)彈的基于李群理論的三維耦合最優(yōu)制導(dǎo)律。通過不同機(jī)動條件下的目標(biāo)攔截仿真實(shí)驗(yàn)表明，所設(shè)計的制導(dǎo)律能夠有效實(shí)現(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)攔截，具有良好的制導(dǎo)性能。

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Three-Dimensional Coupling Optimal Guidance

Law Based on Lie Group Theory

Tu Ximei1，Zhou Shaobo2，Zhang Jinpeng3，4，Liu Yong5*

（1. Shanghai Aircraft Design and Research Institute，Shanghai 201210，China;

2. School of Aerospace Engineering，Xiamen University，Xiamen 361000，China;

3. China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China;

4. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Guided Weapons，Luoyang 471009，China;

5.The Fifth Electronics Research Institute of the Ministry of Industry and Information Technology，Guangzhou 510610，China）

Abstract： Due to the existence of control coupling effect between channels for bank to turn （BTT） missile，the conventional two planar decoupling guidance law design approach is hard to satisfy the design requirement. In this paper，aiming at the three dimensional coupling guidance law design problem for BTT missile，Lie group theory is introduced into the coupling guidance design for air-to-air missile，where the rotational angular velocity of missile velocity vector can be expressed by the pitch angular velocity and the azimuth velocity of the line of sight between missile and target. At the meantime，considering to diminishing turning for missile during the guidance process to save energy，an optimal three-dimensional coupling guidance law is designed for BTT missile. Simulation results show that the presented guidance law is effective.

Key words： air-to-air missile; Lie group theory; optimal guidance; three-dimensional coupling guidance law

收稿日期：2020-06-21

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金項(xiàng)目（20160168001）

作者簡介：涂喜梅（1973-），女，江西九江人，高級工程師，研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計。

通訊作者：劉勇（1975-），男，湖南衡陽人，高級工程師，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模與評價。

E-mail： lieying9702317@sina.com