小學(xué)“圓的面積”教學(xué)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

魏閑妹 廖運(yùn)章

[摘要]以人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”為例，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，從生活情境、合情推理、知識(shí)可視化三個(gè)方面，揭示現(xiàn)實(shí)情境視角下“圓的面積”教學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞小學(xué)數(shù)學(xué);圓的面積;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);割補(bǔ)轉(zhuǎn)化

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0029-03

“圓的面積”是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容，要求學(xué)生通過觀察、操作、探索等活動(dòng)，掌握?qǐng)A的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題?！皥A的面積”這一課是學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境下經(jīng)歷從操作驗(yàn)證走向推理論證，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效課程。

本文將以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)5.3節(jié)“圓的面積”為例，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，通過剖析生活情境、可視化圓的面積公式推導(dǎo)等過程，揭示現(xiàn)實(shí)情境視角下“圓的面積”教學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、剖析生活情境，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于：以生活情境為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題”的過程，獲得“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看問題、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問題，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題”的能力。

教材中編排的“圓的面積”的內(nèi)容是簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)建模過程。首先，師生通過剖析生活情境中圓壇（草坪）與鋪圓壇所需的正方形草皮之間的關(guān)系，完成圓的面積概念的建構(gòu)，進(jìn)而教師提出問題：“如何計(jì)算圓的面積？”其次，學(xué)生通過操作、觀察、對(duì)比等實(shí)踐活動(dòng)完成模型的建立：教師引導(dǎo)學(xué)生在硬紙上畫一個(gè)圓，把圓對(duì)折分成若干等份后剪開，上下拼接剪開后得到小扇形（如圖1），觀察后發(fā)現(xiàn)拼出的圖形是近似的平行四邊形（長(zhǎng)方形），且隨著分的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近長(zhǎng)方形。再利用長(zhǎng)方形的面積公式，建立圓面積S與半徑r之間的函數(shù)模型S=π²。最后，通過例1實(shí)現(xiàn)模型的應(yīng)用，即讓學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型求解下列問題：若圓壇（草坪）的直徑為20米，每平方米草皮8元，則鋪滿草皮需要多少錢？

剖析生活情境的過程中，學(xué)生將體驗(yàn)如何通過“數(shù)學(xué)的眼睛”觀察圓壇（草坪），利用“數(shù)學(xué)的語言”描述和分析圓壇（草坪）的占地面積，最后構(gòu)建數(shù)學(xué)問題，即通過建立圓的面積公式這一模型，解決現(xiàn)實(shí)生活中與圓的面積有關(guān)的具體問題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

此外，教師可引導(dǎo)學(xué)生采用分步法計(jì)算例1：第一步，求圓的半徑，20÷2=10（米）;第二步，求圓壇（草坪）面積，3.14×10²=314（平方米）;第三步，求鋪滿草皮所需的金額，314×8=2512（元）。求解的運(yùn)算程序，可讓學(xué)生經(jīng)歷探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算法則、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求解運(yùn)算結(jié)果的過程，從而發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

二、借助合情推理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)是依托邏輯推理過程所凝練出來的一種思維品質(zhì)。圓的面積公式推導(dǎo)可看成邏輯推理的過程，推理的起點(diǎn)是割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法和長(zhǎng)方形的面積公式，推理的形式是歸納，得到的推理結(jié)果是圓的面積等于無限分割后所拼成的長(zhǎng)方形的面積。

考察分割圓后拼成的圖形及其外接平行四邊形面積的變化情況。利用幾何畫板可得到把任意半徑（文中取3.78cm）的圓等分成4、8、16、32……4×2^n-1（n≥1）后拼成的圖形，以及相應(yīng)分割下拼成圖形的外接平行四邊形（如圖2）及其底、高和面積之值（見表1）。（此處取π=3.14;記圓的半徑為r，外接平行四邊形的底為SR、高為QT、面積為S;所有數(shù)據(jù)只保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

在用外接平行四邊形面積逼近圓面積的過程中，所拼成圖形的面積（即圓的面積）始終不變，而用于逼近的外接平行四邊形的面積逐漸減小，最后穩(wěn)定在一個(gè)固定的值，即圓的面積。一方面，由圖2知，當(dāng)?shù)确謭A的份數(shù)越多，外接平行四邊形的面積越小，最終與所拼成圖形的面積無異。另一方面，隨著分割份數(shù)的4份、8份、16份、32份，相應(yīng)地，外接平行四邊形的底為10.70cm、11.70cm、11.78cm、11.80cm，最終穩(wěn)定在11.87cm（≈3.14×3.78）附近，外接平行四邊形的高為4.88cm、4.12cm、3.92cm、3.86cm，最終穩(wěn)定在3.78cm附近，從而外接平行四邊形的面積為52.29cm²、48.26cm²、46.20cm²、45.52cm²，最終穩(wěn)定在44.86cm²（≈3.14×3.78²）附近。

這一過程基于圓的面積不變，從數(shù)形結(jié)合的角度，使學(xué)生理解把圓無限分割后所拼成的長(zhǎng)方形（所拼圖形的外接平行四邊形）的長(zhǎng)即圓周長(zhǎng)的一半，寬即圓的半徑，且長(zhǎng)方形的面積即圓的面積。學(xué)生經(jīng)歷此過程后，將能對(duì)合情推理有大致的了解，形成有條理、有邏輯的思維品質(zhì)，從而發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

此外，利用幾何畫板獲取半徑為3.78cm的圓在不同分割下的外接平行四邊形的底、高和面積之值，并將數(shù)據(jù)整理制成表1，再分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的過程，亦能讓學(xué)生獲得收集、整理數(shù)據(jù)，并從數(shù)據(jù)中提取有效信息后做出判斷、得出結(jié)論的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

三、知識(shí)可視化，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)是空間想象、幾何直觀和空間觀念相互交融基礎(chǔ)上價(jià)值取向的拓展，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。幾何直觀將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題圖像化和具體化;空間想象則以現(xiàn)實(shí)世界為背景，對(duì)事物的幾何表象進(jìn)行加工、改造，甚至創(chuàng)造新的空間想象。幾何直觀的具體化和空間想象的抽象化使直觀想象素養(yǎng)集具體與想象于一體。

教材編排的“圓的面積”，是通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在生活情境中運(yùn)用直觀想象抽離出事物的幾何形狀——圓，從而將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。公式推導(dǎo)中，借助幾何直觀實(shí)現(xiàn)分割拼接的過程：先把圓等分成4個(gè)相等的小扇形后剪開，再把每個(gè)小扇形對(duì)折剪開，接著將圓等分成8份，以此類推。其中，等分圓的份數(shù)是4的倍數(shù)基于以下兩個(gè)原因：一是將圓等分成兩份無操作意義，因?yàn)閷蓚€(gè)半圓拼接起來還是圓（如圖3）;二是小學(xué)生的認(rèn)知能力有限，即此前所學(xué)的平行四邊形的面積公式推導(dǎo)僅涉及一次割補(bǔ)，因此只考慮將圓割補(bǔ)一次。事實(shí)上，若將圓等分成3份，與等分成2份一樣無操作意義。若將圓等分成奇數(shù)份（如5份），則只需將其中一個(gè)小扇形再對(duì)折一次后剪開，拼接到兩側(cè)（如圖4），但此時(shí)應(yīng)使用所拼成圖形的外接長(zhǎng)方形的面積完成“無限逼近”的過程。

把圓無限分割、拼接、逼近并轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的過程中，是借助幾何直觀使復(fù)雜的化曲為直過程圖像化、具體化，運(yùn)用空間想象實(shí)現(xiàn)逼近、轉(zhuǎn)化的思維抽象過程。一方面，隨著分割份數(shù)的增加，外接平行四邊形內(nèi)∠RQT越來越小，斜邊QR越接近于高QT，從而外接平行四邊形越接近于長(zhǎng)方形。若將圓無限分割，則外接平行四邊形最終轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形（如圖5）。另一方面，隨著分割份數(shù)的增加，外接平行四邊形的面積越來越小，與所拼成圖形的面積差也越來越小。若將圓無限分割，則外接平行四邊形的面積最終等于所拼成圖形的面積（即圓的面積）。

學(xué)生經(jīng)歷通過幾何圖形實(shí)現(xiàn)知識(shí)可視化的過程，可增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)，形成在生活中感悟具體事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)直觀，從而發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

四、結(jié)語

事實(shí)上，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展貫穿整個(gè)教學(xué)過程。其中，剖析生活情境是從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念（圓的面積）的過程：基于圓壇（草坪）大小，發(fā)現(xiàn)這是與圓（空間形式）和大小（數(shù)量關(guān)系）有關(guān)的普遍性規(guī)律，從而抽象出圓的面積的概念。公式推導(dǎo)則是從具體事物中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征的過程：回顧平行四邊形、梯形、三角形的面積公式推導(dǎo)過程，啟發(fā)學(xué)生將圓通過剪拼法轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形（長(zhǎng)方形）后進(jìn)行研究（如圖1），再基于極限思想，將圓最終轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，最后觀察長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)、長(zhǎng)方形的寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用長(zhǎng)方形的面積公式抽象出圓的面積與圓的周長(zhǎng)、半徑之間的一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)公式S=πr²進(jìn)行表示。

總而言之，現(xiàn)實(shí)情境視角下“圓的面積”教學(xué)，可讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生以及問題解決的過程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展依托于相應(yīng)的學(xué)習(xí)過程，其中，數(shù)學(xué)抽象是“統(tǒng)領(lǐng)”，數(shù)學(xué)建模是“大綱”，邏輯推理是“手段”，直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析是“工具”，這六個(gè)過程相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體。

（責(zé)編 金鈴）