小學(xué)數(shù)學(xué)中段估算典型錯(cuò)誤類別羅列及干預(yù)策略新探

張靜波

[摘要]自2001年以來，估算作為新課程標(biāo)準(zhǔn)增加的內(nèi)容一直被反復(fù)強(qiáng)調(diào)，但學(xué)生習(xí)慣于用精算取代估算，且估算認(rèn)識(shí)模糊、估算能力缺失。給出中段學(xué)生估算中的四種典型錯(cuò)誤，并提出相應(yīng)的干預(yù)策略。

[關(guān)鍵詞]估算;典型錯(cuò)誤;干預(yù)策略

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0022-04

估算（computational estimation）（本文著重分析計(jì)算中的估算），是指?jìng)€(gè)體懂得什么情況宜于估計(jì)而不必準(zhǔn)確計(jì)算，并會(huì)加以應(yīng)用，適用于解決日常實(shí)際問題和判斷一些計(jì)算結(jié)果的合理性。20世紀(jì)90年代編寫的《九年制義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》和教科書中的估算，是數(shù)學(xué)課程改革重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：“估算在日常生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的估算能力，讓學(xué)生擁有良好的數(shù)感，具有重要的價(jià)值?！钡诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的估算錯(cuò)誤頻現(xiàn)，估算意識(shí)缺失，估算能力薄弱。學(xué)生對(duì)于估算的理解十分片面，作業(yè)中常常出現(xiàn)顯而易見的錯(cuò)誤。

【錯(cuò)例1】學(xué)校召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，二（1）班有39人參加，二（2）班有42人參加，兩個(gè)班大約有多少人參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)？

錯(cuò)解：39+42=81≈80（人）。（錯(cuò)誤率：26.8%）

【錯(cuò)例2】十一黃金周期間，H市前年接待游客約94萬人，去年游客比前年約多12萬人。去年大約接待游客多少萬人？

錯(cuò)解：94+12≈100（萬人）。（錯(cuò)誤率：43.9%）

（90）? （10）

【錯(cuò)例3】聰聰一家去飯店吃飯，點(diǎn)的菜如下：酸菜魚33元、土豆絲21元、炸香菇23元、燉排骨29元。請(qǐng)你估計(jì)一下，爸爸帶100元錢夠嗎？

錯(cuò)解：33+21+23+29≈100（元），夠了。（錯(cuò)誤率：51.2%）

以上錯(cuò)例反映學(xué)生用精算取代估算、估算認(rèn)識(shí)模糊、估算方法缺失的現(xiàn)象。

緣何學(xué)生錯(cuò)誤頻現(xiàn)，對(duì)估算的理解片面，估算能力缺失？是誰阻礙了估算教學(xué)？教師該采取哪些策略以引導(dǎo)學(xué)生提高估算意識(shí)，培養(yǎng)估算的能力呢？

一、典型錯(cuò)例及分析

1.典型錯(cuò)例的來源

我們把在估算調(diào)查、課堂研磨、學(xué)生作業(yè)或檢測(cè)中得到的錯(cuò)誤率較高（全班錯(cuò)誤率≥15%）的數(shù)學(xué)題，視為估算典型錯(cuò)例。把三、四年級(jí)習(xí)題按類進(jìn)行了羅列，分類整理出了83題估算錯(cuò)例，通過問卷、訪談，將學(xué)生的錯(cuò)誤率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并進(jìn)行了初步分析。

2.典型錯(cuò)例的歸類

二、干預(yù)策略的探索

每一道估算錯(cuò)例并非孤立存在，教師要重視的是錯(cuò)誤背后的“面”、錯(cuò)誤背后的“源”，只有“以點(diǎn)帶面，有序訓(xùn)練”，方能消除病根，矯正錯(cuò)誤。因此，我們著眼于估算教學(xué)的整體，以如下的方式和步驟對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行課堂研磨、策略探索。

【策略探索】

策略一：精選擴(kuò)充估算素材

針對(duì)錯(cuò)誤類別一中反映的“要求估算仍精算，缺乏估算意識(shí)”問題，把重點(diǎn)放在估算素材的擷取上，摒棄那些為了估算而估算且容易誤導(dǎo)學(xué)生的題目，將教材合理地加以選擇、重組、擴(kuò)充，使學(xué)生真正體會(huì)到估算的必要性。

做法1：改編估算數(shù)據(jù)

對(duì)不能體現(xiàn)估算價(jià)值的題目進(jìn)行改編，引導(dǎo)學(xué)生在算法交流中體會(huì)到有些題目采用估算比精算簡(jiǎn)便，并自覺加以應(yīng)用。

【案例】“每個(gè)足球78元，要買2個(gè)足球，請(qǐng)你估計(jì)150元錢夠嗎？”由于數(shù)據(jù)過于簡(jiǎn)單，體現(xiàn)不出估算的必要性，可改為“每個(gè)足球71元，要買3個(gè)足球，請(qǐng)你估計(jì)帶200元錢夠嗎？”引導(dǎo)學(xué)生探討：假如每個(gè)足球估成70元，3個(gè)足球就已經(jīng)要210元，已經(jīng)超過了200元，因此帶200元錢肯定是不夠的。

做法2：擴(kuò)充估算素材

估算素材中的“購物問題”在生活中較為常見，多種版本教材常編排以購物作為估算的教學(xué)內(nèi)容，但估算并不局限于購物時(shí)使用，對(duì)此可進(jìn)行擴(kuò)充。

（1）行程問題（上學(xué)）

【案例】從強(qiáng)強(qiáng)家到學(xué)校，走哪條路最近？

在比較兩條路的遠(yuǎn)近時(shí)，可采用精算和估算兩種方法，讓學(xué)生體會(huì)到：一些沒有要求用估算解決的題目，采用估算解決比精算更方便快捷。

（2）工程問題（修路）

【案例】兩支修路隊(duì)一起修路：

①第一天兩隊(duì)大約一共修了多少米？

②估計(jì)兩隊(duì)哪一天修得最多？

（3）日常生活問題（分糖果）

【案例】有75粒裝的糖3盒，分給四年級(jí)的小朋友。每人6顆，這些糖夠分給哪個(gè)班的小朋友？

（4）百科知識(shí)類問題

【案例】

獵豹一分鐘大約能跑幾米？

引入一些百科知識(shí)類問題來豐富估算素材，通過拓展估算素材，讓學(xué)生體會(huì)到計(jì)算（包括精算和估算）及估算在生活中廣泛應(yīng)用，從而在學(xué)習(xí)中自覺應(yīng)用估算來解決問題。

【成效反饋】

通過上述做法，學(xué)生的主動(dòng)估算意識(shí)有了提升，估算錯(cuò)誤下降。例如，教學(xué)“乘數(shù)是一位數(shù)的乘法估算”后，我們對(duì)平行班和實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行了后測(cè)對(duì)比，以下是其中一題的對(duì)比情況：

后測(cè)題：一座橋限重3噸，一輛貨車裝了6箱貨物，每箱285千克，車重986千克。這輛車可以安全過橋嗎？

實(shí)驗(yàn)班38人中15人主動(dòng)采用估算解決問題，而平行班的41人均采用了較復(fù)雜的精算解決問題。兩班對(duì)比結(jié)果見下表：

表中數(shù)據(jù)反映實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生體會(huì)到了估算的價(jià)值，能主動(dòng)運(yùn)用估算解決問題。

策略二：引導(dǎo)辨析估算方法

針對(duì)錯(cuò)誤類別二中所反映的“看到‘大約就估算，估算流于形式”問題，可通過“關(guān)鍵詞辨析、估法對(duì)比”的方法引導(dǎo)學(xué)生多角度理解估算，彰顯估算的價(jià)值。

做法1：關(guān)鍵詞辨析，摒棄錯(cuò)誤。

設(shè)計(jì)對(duì)比題型，在辨析關(guān)鍵詞中讓學(xué)生理解：并不是有了“大約”就要估，估算并不是一種形式。

【案例】“三位數(shù)加減法估算”練習(xí)題

（1）前年接待游客約194萬人，去年比前年約多12萬人。去年大約接待游客多少萬人？

（2）手工組去年創(chuàng)作了198幅作品，今年比去年多了93幅。今年大約創(chuàng)作了幾幅作品？

引導(dǎo)學(xué)生辨析：題（1）中雖然有“大約”兩個(gè)字，但是由于條件給的也是大約數(shù)，因此不要求估算。而題（2）則不需要精確值，用估算就可解決問題。

做法2：多樣估法，體驗(yàn)價(jià)值。

針對(duì)“估算流于形式、方法單一”的問題，除了教“湊整估”外，還要引導(dǎo)學(xué)生利用“估位數(shù)、估高位、估個(gè)位”等多種估法解決問題，從而讓學(xué)生體會(huì)到估算并非只是一種形式。

【案例】教學(xué)“乘數(shù)是一位數(shù)的乘法計(jì)算”時(shí)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生結(jié)合估算說算理。在說為什么出錯(cuò)這一環(huán)節(jié)中，可引導(dǎo)學(xué)生采用估算檢驗(yàn)得數(shù)，得出了“估位數(shù)、估高位、估個(gè)位”三種估法，體會(huì)估算的實(shí)用性。

題目：判斷對(duì)錯(cuò)，并說說理由。（時(shí)間設(shè)定：5分鐘）

108×4=302（ ） 62×6=378（）

理由： 理由：

87×5=75（ ） 101×3=301（）

理由： 理由：

課后，我們分別對(duì)實(shí)驗(yàn)班和平行班的解題結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。

實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生一致反映：以前一拿到題目就列豎式計(jì)算，但通過今天這堂課發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候只要估一下就可以很快判斷是否出錯(cuò)，原來估算并非只是一種形式！

策略三：分類溝通估算聯(lián)系

錯(cuò)誤類別三中反映的最關(guān)鍵的問題是“估算方法機(jī)械化”，究其原因是將僅有的幾堂估算課作為零部件分離肢解教學(xué)所致。對(duì)此可采用分類比較，在對(duì)比中交流各種估法的異同之處，溝通各類估算間的聯(lián)系。

特別是除法估算，學(xué)生容易將加減法估算、乘除法估算的方法遷移過來，而通過對(duì)比，能讓學(xué)生體會(huì)到：對(duì)于除法估算，不能機(jī)械地照搬加減法和乘除法的估算方法，而應(yīng)該根據(jù)乘法口訣，將被除數(shù)估成能被除數(shù)整除的整百整十?dāng)?shù)來算才簡(jiǎn)便。

【案例】兩三位數(shù)乘一位數(shù)的估算，如“123×8≈（ ）”，不能簡(jiǎn)單地告知學(xué)生“把123看作100”，而應(yīng)該通過題組對(duì)比引導(dǎo)學(xué)生得出一般的規(guī)律：“乘法估算中估位數(shù)多的數(shù)，結(jié)果更接近正確數(shù)”“估成整百整十?dāng)?shù)比估成整百數(shù)更接近正確數(shù)”。可進(jìn)行四方面的對(duì)比：

無論是教學(xué)加減法估算或者乘除法估算，我們沒有簡(jiǎn)單地就題論題，而是通過對(duì)比分析，深入解剖算理，引導(dǎo)學(xué)生溝通各類估算的聯(lián)系。

策略四：結(jié)合情境交流估法

針對(duì)錯(cuò)誤類別四中反映的“不按情境選估法，估算能力薄弱”的問題，可引導(dǎo)學(xué)生充分交流進(jìn)一估（大估）、去尾估（小估）、四舍五入估等多種估法在具體生活情境中的適用性，教給學(xué)生靈活選擇估算的方法。

1.交流“能不能估”

設(shè)置對(duì)比題組，讓學(xué)生在交流討論中體會(huì)有些情境不適合用估算解決。

【案例】兩位數(shù)加減法估算練習(xí)題

（1）聰聰一家去飯店吃飯，點(diǎn)的菜如下：酸菜魚28元、土豆絲18元、炸香菇13元、燉排骨29元。爸爸帶100元錢夠嗎？誰能用最快的速度判斷爸爸帶100元錢夠還是不夠？

（2）聰聰一家去飯店吃飯，點(diǎn)的菜如下：酸菜魚33元、土豆絲21元、炸香菇23元、燉排骨29元。爸爸帶100元錢夠嗎？誰能用最快的速度判斷爸爸帶100元錢夠還是不夠？

首先讓學(xué)生對(duì)第（1）題展開討論，提出各種估法——減法估算、加法估算、加減混合估算，然后通過對(duì)比（1）（2），得出估算的方法并非都是機(jī)械的、一成不變的，是要根據(jù)實(shí)際情境有所選擇和調(diào)整。比如第（2）題就不能套用第（1）題的估法，具體情況需要進(jìn)行具體分析。

2.交流“用什么方法估”

【案例】三位數(shù)加減法估算習(xí)題

爸爸想買以下兩件商品：皮鞋386元、西服655元。

（1）購買前估計(jì)，帶1000元夠不夠？（估算，大估）

（2）付款前估計(jì)，大約需要幾元？（估算，可用湊整估）

（3）收銀員收款，一共需要多少元？（精算）

（4）購物800元以上可抽獎(jiǎng)一次，能否抽獎(jiǎng)？（估算，小估）

學(xué)生體會(huì)到不同的情境下需要用不同的方法，從而交流得出：第（1）問需要用“大估”，第（2）問只需要用“湊整估”就行了，第（3）問需要精算，而第（4）問需要用“小估”來解決問題。結(jié)合具體的情境讓學(xué)生在交流中選擇適用的估法，就能矯正學(xué)生“不按情境選估法”的錯(cuò)誤。

3.擯棄解題格式的禁錮

與學(xué)生訪談得知：有些題目他們是會(huì)估算的，但是拘于格式太繁雜，所以寧可選擇精算。因此，我們摒棄了對(duì)估算格式的禁錮，讓學(xué)生口頭交流估算的過程和方法，從而提高學(xué)生估算的能動(dòng)性。

【案例】小數(shù)加減法練習(xí)題

李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，請(qǐng)幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠嗎？

生1：“買一袋面最多31元，兩袋面不超過62元，買牛肉最多20元，加起來最多82元，李阿姨的錢是夠的?！?/p>

生2：“李阿姨買兩袋面的錢，算62元，那也還剩38元，牛肉只要19元多，所以李阿姨帶的錢肯定夠了?！?/p>

生3：“100元買一袋面，還剩70元，買了兩袋面還剩40元，牛肉只要19元多，李阿姨帶的錢肯定夠了。”

學(xué)生在充分交流的過程中真正理解了估算的意義，提高了估算的能力。

后測(cè)結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)班主動(dòng)估算能力明顯優(yōu)于平行班。（詳見表4）

實(shí)驗(yàn)證明，實(shí)施四種策略后，學(xué)生的估算錯(cuò)誤大大降低，主動(dòng)估算的意識(shí)得到培養(yǎng)，估算的能力有了顯著的提升。

（責(zé)編 金鈴）