關(guān)于教材中三角形有關(guān)內(nèi)容探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)研究（四）

劉憲升

[摘要]對(duì)教材中推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)化為已學(xué)過圖形的探究活動(dòng)做了歸納與分析，指出了設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)與不足，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了轉(zhuǎn)化方法的可行性，提出了該探究活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)注意引導(dǎo)啟發(fā)，注意前后知識(shí)間的聯(lián)系，以及將學(xué)生欠缺知識(shí)基礎(chǔ)或難度比較大的方法放在閱讀內(nèi)容中或作為課后思考題的建議。

[關(guān)鍵詞]三角形的面積;轉(zhuǎn)化方法;探究活動(dòng)

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0017-05

關(guān)于三角形的面積，各版本教材都安排在了五年級(jí)第一學(xué)期?？梢哉f，教材在推導(dǎo)面積公式時(shí)，都抓住便于轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵點(diǎn)，打造“轉(zhuǎn)化為已知”的探究活動(dòng)。這既滲透了化歸思想，也充分體現(xiàn)了讓學(xué)生自主探究、自我構(gòu)建知識(shí)的新課改之教育理念。綜觀各教材設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)化方法，既有統(tǒng)一的方法，也有別具一格的方法。下面，本文就對(duì)三角形面積公式推導(dǎo)的探究活動(dòng)做逐一分析。

一、關(guān)于轉(zhuǎn)化方法探究活動(dòng)的分析

由于各版本教材都將三角形的面積安排在平行四邊形（包含長(zhǎng)方形）的面積之后。因此，將三角形轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)會(huì)求面積的圖形可分為兩個(gè)方向。

1.轉(zhuǎn)化為一般的平行四邊形的探究設(shè)計(jì)分析（這個(gè)轉(zhuǎn)化方向可細(xì)分為兩種方法）

（1）用兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形

各版本教材都有用兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的設(shè)計(jì)，但也有細(xì)微差別。其中，北師大版（第56頁;圖1）、西師大版（第82頁;圖2）、滬教版（第82頁;圖3）教材都只對(duì)兩個(gè)一樣的銳角三角形進(jìn)行了拼擺，且只拼成了一個(gè)平行四邊形，無論從三角形的種類，還是拼法角度來看，都屬于不完全歸納;人教版（第91頁;圖4）、冀教版（第58頁;圖5）、蘇教版（第9頁;圖6）、青島版（第69頁;圖7。第70頁;圖8）、浙教版（第66頁;圖9）教材都給出了三種不同類型的兩個(gè)一樣的三角形的拼法，對(duì)不同類型的三角形進(jìn)行了完全歸納，但對(duì)同一類的兩個(gè)一樣的三角形也都只拼成了一個(gè)平行四邊形，沒有做到完全歸納。因?yàn)?，一般地說，兩個(gè)一樣的三角形能以每對(duì)對(duì)應(yīng)邊為對(duì)角線拼成三個(gè)不同的平行四邊形，所有教材均沒有體現(xiàn)這一點(diǎn)，這封堵了學(xué)生的思維，不利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

再者，用兩個(gè)一樣的三角形拼擺出平行四邊形的方法是怎么來的？有的教材是直接讓學(xué)生用兩個(gè)一樣的三角形去進(jìn)行拼擺;有的教材雖然有引導(dǎo)學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形之引導(dǎo)語，但緊接著還是明確提出了用兩個(gè)一樣的三角形拼擺;北師大版教材是個(gè)例外，在展示拼擺結(jié)果中暗含這一點(diǎn)。試問：這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)還需要?jiǎng)幽X嗎？更需要指出的是，青島版教材（圖7、圖8）把操作步驟都安排好了，不僅沒有給學(xué)生留下一點(diǎn)思維的空間，還束縛了學(xué)生的思維，因?yàn)椴话创瞬襟E也能拼成平行四邊形;而蘇教版教材（圖6）一開始就畫出了用兩個(gè)一樣的三角形拼成的平行四邊形，可能考慮到觀察的不確定性，又讓學(xué)生剪下附頁中的三角形去擺拼以進(jìn)行驗(yàn)證，這是可以的，但有必要測(cè)量出底和高并列表計(jì)算出面積再推導(dǎo)面積公式嗎？

由上可見，教材中的探究活動(dòng)偏重于機(jī)械操作，偏離了探究活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生動(dòng)腦的主軌道。

（2）將一個(gè)三角形割補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形

沿三角形的一條中位線剪下一個(gè)小三角形，讓其繞原三角形的一個(gè)中點(diǎn)轉(zhuǎn)180°拼成平行四邊形。這樣，若沿三角形的每一條中位線剪下一個(gè)小三角形，就可以分別拼成兩個(gè)不同邊長(zhǎng)的平行四邊形，總共可以擺出六個(gè)不同邊長(zhǎng)的平行四邊形。這些平行四邊形要么與三角形同底，高為三角形高的一半;要么與三角形同高，底為三角形底的一半。這種割補(bǔ)方法顯然需要用到三角形中位線的知識(shí)，而小學(xué)生不具備這樣的知識(shí)基礎(chǔ)，這恐怕是大多數(shù)教材不設(shè)計(jì)此方法的原因。教材中設(shè)計(jì)此方法的只有西師大版（圖2）和浙教版（圖9。第67頁截圖;圖10）教材，都給出了銳角三角形的割補(bǔ)法，且西師大版教材只給出了一種拼法，浙教版教材給出了兩種拼法。浙教版教材這樣設(shè)計(jì)的目的是為了體現(xiàn)與其他教材的差異，還是突出數(shù)學(xué)的“奇妙”與“巧合”？在學(xué)生根本不具備基礎(chǔ)時(shí)就是告訴學(xué)生沿中位線剪開后拼起來，恐怕也僅僅是操作而已。值得指出的是，浙教版教材在第63頁（圖11）的第4題中為這種割補(bǔ)法做了鋪墊，這還是有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和探討的。

2.轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形——長(zhǎng)方形

北師大版教材（圖1）從轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的平行四邊形及其特殊情況——長(zhǎng)方形的方向入手，有利于學(xué)生動(dòng)腦和發(fā)散性思維的培養(yǎng)。從圖中可以看出，其方法是作一銳角三角形底上的高，垂足將底分成兩線段，在高的兩邊分別以高和一線段為鄰邊作兩個(gè)小長(zhǎng)方形，繼而合成一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為三角形的底和高的較大的長(zhǎng)方形?？墒沁@種作法僅適用于銳角三角形，而對(duì)于直角和鈍角三角形來說，除非以最長(zhǎng)的邊為底，其他情況皆不適用。再者，這種方法學(xué)生恐怕很難探究出來，就是告訴學(xué)生怎么做，可能都有一定的難度。當(dāng)然，這種轉(zhuǎn)化方法也可以看成是將兩個(gè)一樣的三角形中的一個(gè)沿高線剪開，然后拼在另一個(gè)三角形上，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形。可教材圖上的虛線表明是作輔助線，顯然不是這個(gè)方法。

其實(shí)，將一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形還有別的方法：先將三角形的一個(gè)角（直角或鈍角三角形就取最大角）沿它兩邊上三角形的中位線折疊到對(duì)邊上，再將其他兩個(gè)角折疊后拼成一個(gè)平角，便折疊出了兩個(gè)一樣的，長(zhǎng)、寬分別為三角形底與高一半長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形。（本文僅展示一種三角形的一種折疊方法;如圖12所示）。這樣，一個(gè)一般的銳角三角形紙片可以折疊出三個(gè)不同長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形;一個(gè)一般的直角或鈍角三角形紙片，從最大角往對(duì)邊折疊可以折疊出一個(gè)長(zhǎng)方形。四年級(jí)下冊(cè)的青島版、北師大版、蘇教版、西師大版教材，都是利用此方法驗(yàn)證三角形內(nèi)角和等于180。（可參考研究（二））。令人遺憾的是，這幾個(gè)版本的教材在三角形的面積部分的內(nèi)容沒有與此方法聯(lián)系起來，前后知識(shí)出現(xiàn)割裂。

另外，浙教版教材第63頁（圖11）第3題給出了兩種出自《九章算術(shù)》的劉徽利用出入相補(bǔ)原理或以盈補(bǔ)虛方法（也可通俗地稱割補(bǔ)法）計(jì)算面積時(shí)提出的方法，看起來是為面積的學(xué)習(xí)做鋪墊，但面積部分卻沒有出現(xiàn)，這也是割裂了知識(shí)。當(dāng)然，這兩種方法的難度較大，不出現(xiàn)是可以理解的。人教版、蘇教版、冀教版教材可能就是考慮到這點(diǎn)，把這兩種方法作為閱讀材料介紹給學(xué)生。

二、轉(zhuǎn)化方法的教學(xué)實(shí)驗(yàn)分析

筆者在進(jìn)行備課時(shí)，研讀了各版本教材，并做了相關(guān)分析，且有計(jì)劃地在所教兩個(gè)班（每班45人，共90人）中進(jìn)行了教學(xué)實(shí)驗(yàn)。由于學(xué)校在升入五年級(jí)前的暑假把原先的大班改成小班，按成績(jī)重新分班，故以此兩班為樣本可以代表本學(xué)校的整體情況。

1.轉(zhuǎn)化為一般的平行四邊形的實(shí)驗(yàn)

在不提示用兩個(gè)一樣的三角形去拼，也不提示沿三角形兩邊中點(diǎn)的連線剪開再拼的情況下，給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備了一樣的三角形紙片5張（為了避免學(xué)生拿2張一樣的直接拼），提出可以通過剪拼將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，且方法越多越好。由于這兩種方法對(duì)不同種類的三角形都適用，故沒做區(qū)分（時(shí)間6分鐘）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的學(xué)生中，兩個(gè)班共有19人，占總?cè)藬?shù)的21.11%，有8人表示早已拼過;而沿三角形兩邊中點(diǎn)的連線剪開再拼成平行四邊形的僅3人，占總?cè)藬?shù)的3.33%，且詢問得知3人都早已做過。由此可見，在不提示、不明確說明怎么做的情況下，就是給學(xué)生準(zhǔn)備了材料，大多數(shù)學(xué)生還是不能轉(zhuǎn)化，因?yàn)樗麄兿氩坏竭@樣去做。

然后，筆者利用“把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)一樣的三角形”啟發(fā)引導(dǎo)，結(jié)果在3分鐘之內(nèi)，能將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的學(xué)生就達(dá)到了82人，占總?cè)藬?shù)的91.11%。由此看來，在把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)一樣三角形的啟發(fā)下，再將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形就比較容易了。這說明大部分學(xué)生還是能夠進(jìn)行逆向思維的。

另外，對(duì)于割補(bǔ)三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，在明確提出可沿三角形兩邊中點(diǎn)的連線剪開后再拼，3分鐘后就有43人拼了出來，占總?cè)藬?shù)的47.78%，可見還是有一定難度。

2.轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的實(shí)驗(yàn)

給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備了一樣的銳角三角形（為了降低難度）紙片2張，提出可以通過折疊或剪拼，也可以畫線，將三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，且給出的方法越多越好（時(shí)間6分鐘）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：兩個(gè)班的學(xué)生，通過折疊3個(gè)角拼成平角，從而拼成兩個(gè)一樣的小長(zhǎng)方形的有74人，占總?cè)藬?shù)的82.22%。這應(yīng)該與學(xué)生在四年級(jí)下冊(cè)有過折疊的經(jīng)歷有極大的關(guān)系，因青島版教材四年級(jí)下冊(cè)有此拼法。這說明已有知識(shí)和方法遷移的重要性。

令人遺憾的是，兩個(gè)班共90人中竟沒有一個(gè)學(xué)生能給出北師大版教材的方法。在展示教材中的結(jié)果圖（不說明怎么去做）后，再讓學(xué)生去操作，3分鐘后，也僅有11人（占總?cè)藬?shù)的12.22%）將兩個(gè)一樣的三角形中的一個(gè)沿高線剪開，然后拼在另一個(gè)三角形上，得到了教材中圖示的長(zhǎng)方形，而沒有一個(gè)人通過做輔助線將三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。由此可見，這種方法的難度太大。

三、建議

1.探究活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)注意引導(dǎo)啟發(fā)

將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的方法，直接告訴學(xué)生怎么操作，不僅不能促進(jìn)學(xué)生思考，還使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就是一種巧合現(xiàn)象，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼感。如果從“把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)一樣的三角形”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，既能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，還能使學(xué)生弄清楚方法的來源。因此，探究活動(dòng)應(yīng)以引導(dǎo)啟發(fā)為主，而不是讓學(xué)生機(jī)械操作。

2.探究活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)注意前后知識(shí)間的聯(lián)系

設(shè)計(jì)探究活動(dòng)時(shí)，首先應(yīng)該了解前面的知識(shí)內(nèi)容與涉及的有關(guān)方法，使新知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)建立在原有知識(shí)和方法的基礎(chǔ)之上。如，借助四年級(jí)下冊(cè)三角形內(nèi)角和的驗(yàn)證方法，把三角形的三個(gè)角折疊拼成平角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一樣的長(zhǎng)方形來推導(dǎo)三角形的面積公式，學(xué)生不僅好懂好理解，還能建立知識(shí)間的聯(lián)系，有利于知識(shí)與方法的融合。

另外，如果設(shè)計(jì)新的方法讓學(xué)生探究，最好在前面早做鋪墊，以利于學(xué)生的探究。這一點(diǎn)，浙教版教材就處理得比較好。

3.學(xué)生欠缺知識(shí)基礎(chǔ)或難度比較大的方法最好放在閱讀內(nèi)容中

上面提到的劉徽給出的兩種割補(bǔ)法，及沿三角形的中位線剪開拼成平行四邊形的方法，由于學(xué)生欠缺三角形中位線的知識(shí)基礎(chǔ)，且難度比較大，將其放在閱讀內(nèi)容中，或作為課后思考題，讓學(xué)有余力的學(xué)生自己去探究還是有意義的，人教版、蘇教版、冀教版教材的處理值得肯定。另外，北師大版教材中利用做輔助線的方法將三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的方法也應(yīng)該放入閱讀內(nèi)容中，或作為課后思考題讓學(xué)生探究。

綜上所述，關(guān)于三角形面積的推導(dǎo)中，將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形的探究方法，如果引導(dǎo)到位還是非常可取的;四年級(jí)下冊(cè)教材設(shè)計(jì)有折疊三角形三個(gè)內(nèi)角拼成平角的，再設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來推導(dǎo)面積公式也是相當(dāng)不錯(cuò)的。因?yàn)檫@樣轉(zhuǎn)化的方向就不只是平行四邊形，這么一來就可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，畢竟學(xué)生已學(xué)了平行四邊形極其特殊情況——長(zhǎng)方形。另外，存在幾種不同情況時(shí)，探究設(shè)計(jì)最好能考察到所有情況，進(jìn)行完全歸納得到科學(xué)的結(jié)論。

（責(zé)編 金鈴）