概念教學(xué)中培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略

張偉

摘 要：在高中階段，概念教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有著緊密相依的關(guān)系，教師在平時(shí)教學(xué)中要積極探索和總結(jié)如何在概念教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。本文簡(jiǎn)要探討了四點(diǎn)概念教學(xué)中培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略，分別是基于情境生成概念，體會(huì)從具體到抽象;利用典例鞏固概念，鞏固和加深抽象認(rèn)知;多角度地詮釋概念，鍛煉抽象思維能力;聯(lián)系實(shí)際遷移概念，感悟抽象素養(yǎng)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)心得

數(shù)學(xué)抽象是高中階段六大核心素養(yǎng)之首，課標(biāo)中明確指出，它是“形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征”。而作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)概念，則是對(duì)數(shù)學(xué)命題的高度抽象化，數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)之一即為“獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)劃”。由課標(biāo)所闡述的這些基本觀念而言，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)是不可分割的，如果說(shuō)前者為基本的載體和過(guò)程，后者則為一種升華。因此，在概念教學(xué)的同時(shí)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就成為重要的教學(xué)任務(wù)和教學(xué)命題。以下結(jié)合筆者在這方面的實(shí)踐與探索對(duì)此做較為系統(tǒng)的探討，希望對(duì)相關(guān)教學(xué)工作者有所啟示。

一、基于情境生成概念，體會(huì)從具體到抽象

在高中階段，概念教學(xué)的首要要求即為使學(xué)生切實(shí)地理解概念，由于其本質(zhì)上是抽象的，所以通常都需要基于具體的情境來(lái)生成概念，這樣不但有助于學(xué)生理解，同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)從具體到抽象的過(guò)程，這是鍛煉其數(shù)學(xué)抽象的必要基礎(chǔ)，同時(shí)也是有利條件。例如極坐標(biāo)系的教學(xué)，無(wú)論教師再怎樣創(chuàng)新，基本的思路通常都是通過(guò)問(wèn)路指路的情境引入和建立極坐標(biāo)的概念，接著師生探究極坐標(biāo)的特點(diǎn)和優(yōu)劣性，突出建系（建模）的思想，利用不同的參照物去描述表達(dá)這個(gè)世界。當(dāng)然也有很多教師除了教材上問(wèn)路指路的情境，也常會(huì)引入盲人摸象和狙擊手射擊目標(biāo)（旁人口述給阻擊手）的情境以及日常生活中的指路情境，也都是可以的。只要有利于方向角的理解和建系（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等）以及引導(dǎo)學(xué)生的思維即可。實(shí)踐證明，只要具體情境用得好概念課就活了，在此基礎(chǔ)上由具體到抽象，概念的生成也就水到渠成。

二、利用典例鞏固概念，鞏固和加深抽象認(rèn)知

在生成概念之后，應(yīng)趁熱打鐵對(duì)概念的基本要素和特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)要總結(jié)，并輔之以典型例題的探究使學(xué)生鞏固概念并學(xué)會(huì)初步運(yùn)用，這是鞏固學(xué)生抽象認(rèn)知的必要步驟。仍以極坐標(biāo)系的教學(xué)為例，在此階段要使學(xué)生切實(shí)明了兩點(diǎn)，即平面上的點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示和極坐標(biāo)所代替的點(diǎn)在何處。接著，再通過(guò)典型例題促進(jìn)學(xué)生切實(shí)掌握極坐標(biāo)和平面的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：①在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)Q（2，π/6）關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P坐標(biāo);②在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)Q（2，π/6）關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)P坐標(biāo)。設(shè)置這兩道例題的主要目的，一是鞏固學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)概念的理解;二是為探索平面上的點(diǎn)和極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（即一對(duì)多）做出鋪墊，從而深化概念理解，鞏固抽象認(rèn)知。筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生面對(duì)題目不知怎樣下手，原因是極坐標(biāo)系他們還不熟悉，還沒(méi)有建構(gòu)知識(shí)體系，而不會(huì)做的同學(xué)大部分是沒(méi)有建系、沒(méi)有結(jié)合圖形去分析問(wèn)題，所以導(dǎo)致思維受阻，這也就是其抽象認(rèn)知尚不成熟的直接表現(xiàn)。這時(shí)就需要教師點(diǎn)撥一下建系和數(shù)形結(jié)合，這樣學(xué)生就會(huì)恍然大悟，順利解決問(wèn)題并加深抽象認(rèn)知。在概念教學(xué)中，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)十分關(guān)鍵的一步。

三、多角度詮釋概念，鍛煉抽象思維能力

在高中階段，有一些相對(duì)復(fù)雜的概念可以有多個(gè)詮釋角度，這與初中階段那種簡(jiǎn)單的、一目了然的概念大不相同，而通過(guò)對(duì)概念進(jìn)行多角度詮釋可以鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，就是培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效途徑。這方面最典型的例子莫過(guò)于橢圓等圓錐曲線的概念，不但有第一定義、第二定義，還有第三定義，而第三定義甚至還有不同的典型表達(dá)形式。其實(shí)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，這些表達(dá)形式都是相通的，只是從不同的角度詮釋基本的概念而已，在教學(xué)中教師要使學(xué)生切實(shí)理解和熟練掌握各種表達(dá)形式，并能夠使學(xué)生做到相互熟練地轉(zhuǎn)化運(yùn)用。比如橢圓的第三定義，其常見(jiàn)表達(dá)形式為：

在橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0） 中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M為橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，如果存 在kAM×kBM，那么有kAM×kBM=e2-1=-b2/a2。這一結(jié)論可通過(guò)構(gòu)造△MAB的MA邊所對(duì)的中位線PO，利用kMA=kPO，由點(diǎn)差法來(lái)證明。

而除此之外，還有一種變式表達(dá)也需要學(xué)生掌握。①已知A（-a，0），B（a，0）， 如 果kAM×kBM=-b2/ a2（a>b>0），那么點(diǎn)M的軌跡方程為x2/a2+y2/b2=1;②已知A（0，-a），B（0，a），如果kAM×kBM=-b2/a2（a> b>0），那么點(diǎn)M的軌跡方程為y2/a2+x2/b2=1。值得指出的是，如果kAM×kBM=-1（即a=b），那么點(diǎn)M的軌跡方程即為x2+y2=a2，是一個(gè)圓。

另外，還有一個(gè)由圓錐曲線第三定義推出來(lái)的一個(gè)性質(zhì)也比較重要，即所謂中心弦性質(zhì)：當(dāng)|AB|為曲線的任意一條中心弦時(shí)，結(jié)論仍然成立。很多題目利用該性質(zhì)解答通常會(huì)變得很簡(jiǎn)單，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有所了解并加以掌握。中心弦的基本數(shù)學(xué)表達(dá)如下。

①如果M是橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意一點(diǎn)，|AB|是橢圓的任意一條中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2;②如果M為橢圓y2/a2+x2/b2=1上任意一點(diǎn)，|AB|是橢圓的任意一條中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2。

以上這些不同的表達(dá)形式都應(yīng)使學(xué)生掌握并知道推導(dǎo)過(guò)程，從而從不同的角度來(lái)理解橢圓的概念，雙曲線也是一樣。這樣，在推導(dǎo)和體會(huì)的過(guò)程中，學(xué)生更深刻地理解概念，同時(shí)也鍛煉抽象思維能力，在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。

四、聯(lián)系實(shí)際遷移概念，感悟抽象素養(yǎng)價(jià)值

“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又用于生活”，數(shù)學(xué)知識(shí)是源自且歸于生活的。在數(shù)學(xué)課堂中聯(lián)系生活實(shí)際，即是要適當(dāng)引入一些生活實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生利用書本上的理論知識(shí)去加以分析和解決。采取這種教學(xué)方式，會(huì)使學(xué)生深切感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用會(huì)達(dá)到一種更為深入的新境界，而如果是基于數(shù)學(xué)概念解決生活中的一些相關(guān)的典型問(wèn)題，則還會(huì)產(chǎn)生使學(xué)生體會(huì)和感悟抽象素養(yǎng)價(jià)值的功效。正所謂“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，又所謂“實(shí)踐出真知”，聯(lián)系實(shí)際而遷移概念，所應(yīng)用的不但是具體的知識(shí)，還是抽象的素養(yǎng)，知識(shí)是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，而素養(yǎng)則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。就好比所謂“軍事素養(yǎng)”，指揮官只有具備較高的軍事素養(yǎng)才能打勝仗，而打勝仗的過(guò)程其實(shí)也是從實(shí)際鍛煉中體會(huì)、感悟，乃至提升自身素養(yǎng)的過(guò)程。

以上的觀點(diǎn)說(shuō)來(lái)似乎很微妙，其實(shí)并不難理解，無(wú)非就是把“素養(yǎng)”看成解決問(wèn)題的“工具”，在實(shí)際運(yùn)用和鍛煉中不斷提升。當(dāng)然，就數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，聯(lián)系生活實(shí)際問(wèn)題難度上要適中，使學(xué)生感受到成功的樂(lè)趣，否則是不利于學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在感悟的，甚至?xí)m得其反，使學(xué)生產(chǎn)生困惑。

綜上所述，鑒于概念教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的相依關(guān)系，教師在平時(shí)教學(xué)中要積極探索和總結(jié)如何在概念教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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