基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下類切線方程的探討

張碩

[摘? 要] 圓錐曲線的切線問題，在高考中是一大亮點(diǎn)，一些文獻(xiàn)中均有不同方面的探究. 文章主要探究一類形似切線方程，同時(shí)借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探討該類直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，根據(jù)定點(diǎn)選擇的不同，進(jìn)一步論證了該類切線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，探討了該知識(shí)點(diǎn)的具體幾何意義.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;橢圓;雙曲線;拋物線;切線;位置關(guān)系

高考中常遇到一些形似于圓錐曲線切線方程的直線問題，這些直線看似切線形式，但由于定點(diǎn)的選擇不同，這些直線也將會(huì)有自己的實(shí)際意義.筆者發(fā)現(xiàn)2019年全國(guó)Ⅲ卷，2014年廣東卷，2013年安徽卷、山東卷、廣東卷等均對(duì)該知識(shí)點(diǎn)做了不同層面的考查和應(yīng)用.

引理：設(shè)P（x■，y■）為圓錐曲線Ax2+By2+Cx+Dy+F=0上一點(diǎn)，則該圓錐曲線過點(diǎn)P的切線方程為：Ax■x+By■y+C■+D■+F=0.

簡(jiǎn)析：引理的常用證明有，方法1：判別式法，直線代入圓錐曲線;方法2：高等數(shù)學(xué)方法，隱函數(shù)求導(dǎo)，此處詳細(xì)證明略，主要領(lǐng)會(huì)圓錐曲線的一般切線形式和方程思想即可.本文中把形如引理中切線方程的直線，稱之為“類切線”.

■提出問題

探究如下問題：已知橢圓方程■+y2=1，定點(diǎn)P■（x■，y■），直線方程為■+yy■=1.

（1）當(dāng)■+y■=1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)______.

（2）當(dāng)■+y■>1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)______.

（3）當(dāng)0<■+y■<1，則直線■+yy■=1與橢圓■+y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)______.

■實(shí)驗(yàn)探究

借助數(shù)學(xué)軟件幾何畫板對(duì)不同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究，即取不同的點(diǎn)P■（x■，y■）使其分別滿足上式的條件，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)（1）式直線即為該橢圓的切線，與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為一個(gè);（2）式直線與該橢圓相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè);（3）式直線與該橢圓相離，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為零個(gè). 實(shí)驗(yàn)如圖1、2、3所示.

通過上面一個(gè)具體的例子，我們可以進(jìn)一步探究，根據(jù)定點(diǎn)P■（x■，y■）的三個(gè)不同位置，所確定的直線對(duì)于一般的橢圓曲線具有不同的幾何意義，它們的位置關(guān)系也不一樣.

■理論證明

由以上實(shí)驗(yàn)的探究，可以進(jìn)一步給出理論上的證明：

橢圓■+■=1（a>b>0） ，定點(diǎn)P■（x■，y■），直線■+■=1，

■+■=1，■+■=1？圯（a2y■+b2x■）x2-2a2b2x■x+a4b2-a4y■=0.

當(dāng)y■=0時(shí)，直線方程可變?yōu)椤?1=0;

當(dāng)y■≠0時(shí)，Δ=4a4b4x■-4（a2y■+b2x■）·（a4b2-a4y■）=4a6b2y■■+■-1.

（1）當(dāng)■+■=1，即點(diǎn)P■（x■，y■）在橢圓上時(shí)，所以Δ=4a6b2y■■+■-1=0，故直線■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）相切，有唯一公共點(diǎn)，即為橢圓的切線方程.

（2）當(dāng)■+■>1，即點(diǎn)P■（x■，y■）在橢圓外時(shí)，當(dāng)y■≠0時(shí)，Δ=4a6b2y■■+■-1>0，當(dāng)y■=0時(shí)，■-1=0顯然與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故直線（類切線）■+■=1與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn). 事實(shí)上過點(diǎn)P■作橢圓的兩切線，該類切線即為過兩切點(diǎn)的切點(diǎn)弦所在的直線（證明略）.

（3）當(dāng)0<■+■<1，即P■（x■，y■）在橢圓內(nèi)部且不與原點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)y■≠0時(shí)，所以Δ=4a6b2y■■+■-1<0，當(dāng)y■=0時(shí)，■-1=0顯然與橢圓無交點(diǎn)，故（類切線）直線■+■=1與橢圓■+■=1（a>b>0）無公共點(diǎn).事實(shí)上過點(diǎn)P■任作一條直線交橢圓于P■，P■兩點(diǎn)，過P■，P■分別作橢圓的切線，該兩切線交點(diǎn)的軌跡即為該類切線（證明略）.

■探源與類比推廣

類比思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)邏輯推理中的分支，通過類比可以發(fā)現(xiàn)其中的精髓，因此由橢圓中類切線的實(shí)驗(yàn)探究及理論證明，容易類比推廣到其他的圓錐曲線上，實(shí)驗(yàn)和理論都再次證明（限于篇幅，這里略去實(shí)驗(yàn)步驟和實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖）這樣的類比推廣是正確的.

（1）拋物線：x2=2py（p>0），定點(diǎn)P■（x■，y■），直線xx■=p（y+y■），

xx■=p（y+y■），x2=2py ？圯py2+2（py■-x■）y+py■=0，Δ=4x■（x■-2py■）.

①當(dāng)x■=2py■，即P■（x■，y■）在拋物線上時(shí)，Δ=4x■（x■-2py■）=0，故直線xx■=p（y+y■）與拋物線x2=2py（p>0）相切，有唯一公共點(diǎn)，即為拋物線的切線方程.

②當(dāng)x■>2py■，即P■（x■，y■）在拋物線外部時(shí)，Δ=4x■（x■-2py■）>0，故直線（類切線）xx■=p（y+y■）與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，幾何意義同橢圓.

③當(dāng)x■<2py■，即P■（x■，y■）在拋物線內(nèi)部時(shí)，Δ=4x■（x■-2py■）<0，故直線xx■=p（y+y■）與拋物線x2=2py（p>0）無公共點(diǎn)，幾何意義同橢圓.

（2）雙曲線■-■=1（a>0，b>0），定點(diǎn)P■（x■，y■），直線■-■=1，

■-■=1，■-■=1？圯（a2y■-b2x■）x2+2a2b2x■x-a4b2-a4y■=0.

當(dāng)a2y■-b2x■≠0時(shí)，Δ=4a4b4x■+4（a2y■-b2x■）（a4b2+a4y■）=-4a6b2y■■-■-1.

①當(dāng)■-■=1，即P■（x■，y■）在雙曲線上時(shí)，Δ=-4a6b2y■■-■-1=0，直線■-■=1與雙曲線相切，有唯一公共點(diǎn)，即為雙曲線的切線方程.

②當(dāng)■-■<1，即P■（x■，y■）在雙曲線兩支之間（不含漸近線上點(diǎn)）時(shí)，當(dāng)y■≠0時(shí)，Δ=-4a6b2y■■-■-1>0，直線■-■=1與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，幾何意義同橢圓.

③當(dāng)■-■>1，即P■（x■，y■）在雙曲線內(nèi)部時(shí)，當(dāng)y■≠0時(shí)，Δ=-4a6b2y■■-■-1<0，直線■-■=1與雙曲線無公共點(diǎn)，幾何意義同橢圓.

■真題回顧

由以上理論推導(dǎo)不難發(fā)現(xiàn)，2019年全國(guó)Ⅲ卷，2014年廣東卷，2013年山東卷、廣東卷、安徽卷等均對(duì)該知識(shí)點(diǎn)做了不同層面的考查，體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?，推陳出新”的理念. 這些題均可以用類切線知識(shí)的通性通法來解答，由于篇幅關(guān)系，此處只做簡(jiǎn)析.

1. （2019年全國(guó)Ⅲ卷）已知曲線C：y=■，D為直線y=-■上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn);（2）略.

簡(jiǎn)析：由上面類切線理論推導(dǎo)知，AB即是所謂的類切線，設(shè)Dt，-■，所以直線AB的方程形式：

■=■，即tx-y+■=0，所以直線AB過定點(diǎn)0，■.

2. （2013年山東卷）過點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為_______.

簡(jiǎn)析：由類切線知識(shí)，可以直接寫出直線AB方程為（x-1）（3-1）+1×y=1，即2x+y-3=0.

3. （2013年廣東卷）已知拋物線C的定點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為■. 設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

（1）略;（2）當(dāng)點(diǎn)P（x■，y■）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求AB的方程;（3）略.

簡(jiǎn)析：（2）拋物線C的方程x2=4y，由上面類切線理論推導(dǎo)知，AB即是所謂的類切線，所以可以直接得到直線AB的方程形式：x■x=4×■，

即x■x-2y-2y■=0.

在探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，類切線方程是極其重要的一部分，近幾年各省市高考均對(duì)其有不同的青睞. 本文從實(shí)驗(yàn)探究開始，利用理論證明、類比推廣等方法，比較系統(tǒng)地探究了根據(jù)點(diǎn)的位置選擇不同類切線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及幾何意義.