站在學(xué)生的角度踐思數(shù)學(xué)抽象

韓乃芳

[摘? 要] 教師要站在學(xué)生學(xué)的角度，去思考核心素養(yǎng)如何落地這個(gè)問題. 站在學(xué)生的角度，意味著教師教學(xué)研究視角的切換，意味著教師要更多地思考學(xué)生如何學(xué)才能保證核心素養(yǎng)落地. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)抽象的過程是一個(gè)邏輯建構(gòu)的過程. 觀察學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程與結(jié)果，結(jié)合結(jié)果去判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中是怎樣進(jìn)行邏輯建構(gòu)的，是重要的站在學(xué)生角度踐思數(shù)學(xué)抽象策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);學(xué)生視角;數(shù)學(xué)抽象

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心素養(yǎng)培育的要求，使得教師要更多地思考應(yīng)當(dāng)通過什么樣的途徑，來保證核心素養(yǎng)的落地. 從當(dāng)前的研究來看，教師的研究重心更多地落在自身的努力上，即總是思考如何通過“教”的優(yōu)化，去實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)落地. 這是必要的同時(shí)又是不夠的，筆者以為教師還要站在學(xué)生的角度，去思考核心素養(yǎng)如何落地這個(gè)問題. 站在學(xué)生的角度，意味著教師教學(xué)研究視角的切換，意味著教師要更多地思考學(xué)生如何學(xué)才能保證核心素養(yǎng)落地. 這從邏輯上是講得通的，因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的能夠適應(yīng)社會發(fā)展與終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力. 既然是“學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的”，那自然就要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程最根本的方法，就是教師要建立學(xué)生的視角. 筆者在教學(xué)中嘗試站在學(xué)生的角度去思考并實(shí)踐核心素養(yǎng)培育，取得了一些收獲. 本文以高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象為例，談?wù)劰P者的一些淺顯的收獲.

■站在學(xué)生的視角理解數(shù)學(xué)抽象

站在學(xué)生的視角理解數(shù)學(xué)抽象是非常必要的，“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象了的東西”，這啟示數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要再現(xiàn)抽象過程，不能將數(shù)學(xué)知識直接“拋”給學(xué)生，讓學(xué)生死記知識、模仿練習(xí)來學(xué)數(shù)學(xué). 相反，教師在教學(xué)中要設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)，要從學(xué)生身邊已有的經(jīng)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象生成的過程，體會這個(gè)過程中伴隨的數(shù)學(xué)思想. 具體來說，在學(xué)生視角下的數(shù)學(xué)抽象，應(yīng)當(dāng)有這樣兩點(diǎn)理解：

第一，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物. 數(shù)學(xué)抽象的過程一定是數(shù)學(xué)思維的過程，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去加工學(xué)習(xí)的對象，將其中非數(shù)學(xué)因素剝離，只留下與數(shù)學(xué)相關(guān)的要素，這就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程. 在這個(gè)過程中，無論是非數(shù)學(xué)因素的剝離，還是剩余數(shù)學(xué)元素的重新建構(gòu)，都與數(shù)學(xué)思維有關(guān)，而且這樣的一個(gè)思維過程是學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律，對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行加工的過程.

舉一個(gè)例子，對于“空間直角坐標(biāo)系”的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，最簡單的如讓學(xué)生去分析一個(gè)由三張墻面相交的墻角，可以將墻角抽象為一個(gè)“點(diǎn)”，將三張墻面兩兩相交所形成的線抽象為“坐標(biāo)軸”，去除墻面這一非數(shù)學(xué)要素，留下的就是一個(gè)由點(diǎn)與坐標(biāo)軸組成的空間直角坐標(biāo)系的雛形.

這就是一個(gè)非常簡單的數(shù)學(xué)抽象過程，這樣的過程中，學(xué)生的思維是不可或缺的，而數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果自然也就是思維的產(chǎn)物.

第二，數(shù)學(xué)抽象的過程是一個(gè)邏輯建構(gòu)的過程. 在日常的教學(xué)中，很少有人將數(shù)學(xué)抽象與邏輯建構(gòu)結(jié)合起來，更多的人認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)作用的過程但是根據(jù)徐利治教授等專家的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象的過程本質(zhì)上是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者基于一定的邏輯來建立或者構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象的過程. 這是一個(gè)非常有意義的判斷，這一判斷意味著數(shù)學(xué)抽象超越了經(jīng)驗(yàn)理解，更多的具有數(shù)學(xué)意味，又或者說如果離開了邏輯與建構(gòu)，數(shù)學(xué)抽象是難以真正發(fā)生的.

比如上面的例子當(dāng)中，從生活中的墻角抽象出空間直角坐標(biāo)系，是一個(gè)剝離非數(shù)學(xué)因素的過程，而判斷哪些因素是非數(shù)學(xué)因素，需要學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)與邏輯參與. 比如學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)認(rèn)識到要建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，需要的是原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，那么在研究墻角這一生活事物時(shí)，自然就會留下點(diǎn)和坐標(biāo)軸兩個(gè)數(shù)學(xué)要素，而剝離其他與直角坐標(biāo)系無關(guān)的因素. 這個(gè)過程中的邏輯其實(shí)還是非常清晰的，而要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，是不能忽視這一邏輯的，也是不能忽視這一邏輯建構(gòu)過程的.

需要再次強(qiáng)調(diào)的是，這兩點(diǎn)理解都是在學(xué)生的視角下建立的，教師在教學(xué)中有了學(xué)生的視角，才能真正急學(xué)生之所急，想學(xué)生之所想，才能讓自己的教學(xué)更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要.

■站在學(xué)生的角度體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象

綜合上面的分析，可以發(fā)現(xiàn)抽象是數(shù)學(xué)的思維方式之一，也是數(shù)學(xué)活動中最基本的思維方法.對于數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，實(shí)際上是一種構(gòu)造活動，是借助于舊知和推理進(jìn)行的邏輯建構(gòu)，形成新概念或定理的活動. 而結(jié)合筆者在教學(xué)實(shí)踐中的一些努力，發(fā)現(xiàn)站在學(xué)生的視角去理解數(shù)學(xué)抽象，還只是一個(gè)間接的過程. 教師要想有更加直接的體驗(yàn)，那就應(yīng)該站在學(xué)生的角度去體會數(shù)學(xué)抽象過程. 體驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程，說起來簡單做起來卻不容易，其中的一個(gè)關(guān)鍵就是要知道學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中是怎么想的. 對于這個(gè)問題的解決，筆者采用的方法是觀察學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程與結(jié)果，結(jié)合結(jié)果去判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中是怎樣進(jìn)行邏輯建構(gòu)的.

例如，在上面所舉的“空間直角坐標(biāo)系”這一例子當(dāng)中，部分學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系的理解，實(shí)際上是在他人研究的基礎(chǔ)上形成的，對于這部分學(xué)生而言，其實(shí)缺少直接的經(jīng)驗(yàn). 考慮到班級授課制的特點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候教師實(shí)際上是不可能將上述教學(xué)過程重復(fù)的，更有價(jià)值的做法應(yīng)當(dāng)是在對空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用當(dāng)中，繼續(xù)完成數(shù)學(xué)抽象的過程. 一個(gè)簡單的做法就是：假如要確定房間內(nèi)某一個(gè)白熾燈的位置（如圖1），那應(yīng)當(dāng)需要什么樣的序數(shù)組？（考慮到思維的層次性，教師在這里可以用一個(gè)平面直角坐標(biāo)系的例子來輔助學(xué)生去理解，限于篇幅，這里不再贅述）

學(xué)生在解決這個(gè)問題的時(shí)候，同樣要經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，筆者注意到學(xué)生能夠結(jié)合上一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，先迅速地將該生活問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題——實(shí)際上也就是重復(fù)一個(gè)空間直角坐標(biāo)系的形成過程. 待到空間直角坐標(biāo)系形成之后，學(xué)生會用一個(gè)點(diǎn)去表示燈泡所在的位置，其后學(xué)生產(chǎn)生的問題自然就是：在空間直角坐標(biāo)系里這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？——在參與多個(gè)小組討論的過程中，筆者都注意到學(xué)生能夠自發(fā)地提出這一問題. 這個(gè)問題的提出實(shí)際上是建立在前一抽象的基礎(chǔ)之上的（同時(shí)也有著邏輯推理的參與，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的另一個(gè)要素，這里不展開闡述）;而且這一問題的提出意味著學(xué)生大腦中的表象已經(jīng)可以用另一個(gè)圖來表示（如圖2）. 如果這個(gè)圖在學(xué)生大腦中是清晰的，那就說明學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程是成功的. 事實(shí)上，教師還可以進(jìn)一步跟蹤學(xué)生的思維，比如看學(xué)生能否根據(jù)圖迅速準(zhǔn)確地判斷出P點(diǎn)的坐標(biāo).

在這樣的一個(gè)教學(xué)過程中，教師立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果去反推學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中的具體思路，以及可能遇到的障礙，這樣教師就能對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程會感同身受，同時(shí)這樣的體驗(yàn)也可以為教師的教提供更加精準(zhǔn)的方向.

■站在學(xué)生的角度反思數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革的新指向，是數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo). 基于對高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六個(gè)維度的理解，強(qiáng)調(diào)依靠數(shù)學(xué)抽象過程生成數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)教師對核心素養(yǎng)最基本的理解.

筆者在實(shí)際教學(xué)中以數(shù)學(xué)抽象作為突破口，是考慮到以教學(xué)形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象，遵循數(shù)學(xué)抽象的一般規(guī)律. 而進(jìn)一步的研究表明，數(shù)學(xué)抽象具有實(shí)物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現(xiàn)形式，這為數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)施提供了數(shù)學(xué)學(xué)科前提和思維訓(xùn)練的教育基礎(chǔ). 筆者以為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的重點(diǎn)是后面三種表現(xiàn)形式，而實(shí)物抽象更多地發(fā)揮著幫助學(xué)生建立表象（即思維對象）的作用.

結(jié)合上面空間直角坐標(biāo)系的例子可以發(fā)現(xiàn)，第一次建立空間直角坐標(biāo)系的時(shí)候，實(shí)物抽象的過程比較明顯，而在第二次進(jìn)行燈泡位置確定的時(shí)候，就已經(jīng)進(jìn)入了半符號抽象和符號抽象的階段. 所以這樣的兩個(gè)過程，雖然都是數(shù)學(xué)抽象，但是有所不同. 同時(shí)這樣的設(shè)計(jì)又是有道理的，因?yàn)檫@是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，從實(shí)物抽象到半符號抽象以及符號抽象，正好能夠讓幾乎所有的學(xué)生都建立一個(gè)比較豐富的數(shù)學(xué)抽象過程，待到學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系比較熟悉之后，學(xué)生如果再次遇到空間直角坐標(biāo)系，那就進(jìn)入了形式化抽象的階段. 所以站在學(xué)生的角度反思數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育，教師要有循序漸進(jìn)的思路，必要的時(shí)候還需要分層次教學(xué)，這樣才能讓不同層次的學(xué)生與數(shù)學(xué)抽象的不同形式進(jìn)行高效的匹配，從而達(dá)成核心素養(yǎng)培育的效果.