基于不同優(yōu)化準(zhǔn)則的民機(jī)零部件塊更新策略

張春曉，李 強(qiáng)，羅 倩

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

國際民航組織通過對(duì)航空公司運(yùn)營成本統(tǒng)計(jì)[1]分析發(fā)現(xiàn)，飛機(jī)維修成本是直接運(yùn)營成本的10%～20%，是其購買價(jià)格的50%～120%。近年來，隨著中國民用大飛機(jī)的自行研制成功并即將投入運(yùn)營，如何在缺乏歷史運(yùn)營數(shù)據(jù)的情況下，基于成本最小化尋求新型飛機(jī)零部件的最優(yōu)維修更新策略，是目前大飛機(jī)制造和運(yùn)營單位亟待解決的重要課題。

對(duì)于復(fù)雜的民用飛機(jī)系統(tǒng)維修問題，航空公司通常采用預(yù)防性維修更新策略。塊更新策略是常用的預(yù)防性更新策略之一，規(guī)定零部件在發(fā)生故障時(shí)或到計(jì)劃時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行更換。1965年，Barlow 等[2]首先提出了塊更新策略的基本模型；Tango[3]考慮零件使用的可靠度，修正了塊更新基本模型；Sheu 等[4-5]針對(duì)多部件組成的系統(tǒng)研究了帶有小修和隨機(jī)維修費(fèi)用的塊更新策略，2002年又?jǐn)U展了帶有庫存模型的二手零件塊更新策略。

經(jīng)典的塊更新策略大都將零件壽命假定為隨機(jī)變量，基于概率論獲取零部件的壽命分布，但由于缺乏新研制民機(jī)零部件壽命的歷史運(yùn)營數(shù)據(jù)，只能邀請(qǐng)民航業(yè)內(nèi)專家大致估計(jì)零件的壽命。然而專家的主觀信度差異遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于頻率的變化。為了解決這類問題，Liu[6]創(chuàng)立了不確定理論，其中不確定變量被定義為不確定空間的可測函數(shù)，使用不確定測度分布來描述，并對(duì)不確定變量提出不確定更新過程、不確定延遲更新過程、不確定更新報(bào)酬過程和不確定交替更新過程。同時(shí)，Liu[7]又提出了不確定規(guī)劃理論，可解決包含不確定變量的優(yōu)化問題。

近期有相關(guān)學(xué)者在成本優(yōu)化條件下，應(yīng)用不確定理論解決了設(shè)備零部件的更新問題。Zhang 等[8-9]給出不確定塊更新策略，即一個(gè)零部件總是在固定時(shí)間而不是故障時(shí)更換，同時(shí)又考慮了由腐蝕引起失效的飛機(jī)結(jié)構(gòu)件的不確定（N，T）塊更新策略，其中，決策變量N 表示周期性檢測次數(shù)，T 表示檢測周期長度；Ke等[10]提出了不確定塊更新基本策略，其中零部件壽命為服從常規(guī)分布的不確定變量。

由于缺乏新型飛機(jī)零部件的實(shí)際運(yùn)營數(shù)據(jù)，所以將其壽命假設(shè)為不確定變量。同時(shí)考慮到民航企業(yè)在飛機(jī)零部件實(shí)際采購決策中，由于某些零部件的單價(jià)過高或航材庫存儲(chǔ)量有限，通常對(duì)零部件的庫存設(shè)定一個(gè)最大容限值。

為了應(yīng)對(duì)決策者可能面對(duì)的不同優(yōu)化需求，引入3 種不同的優(yōu)化準(zhǔn)則來構(gòu)建帶有庫存容限值的不確定塊更新模型，分別是期望值、機(jī)會(huì)值和關(guān)鍵值模型，以期獲得新型飛機(jī)零部件最優(yōu)的計(jì)劃更新時(shí)間，可為新型飛機(jī)使用單位制定科學(xué)的零部件維修策略提供技術(shù)支持。

1 預(yù)備知識(shí)

涉及的不確定理論基礎(chǔ)知識(shí)[6，11]如下。

定義1 設(shè)ξ 是一個(gè)從不確定空間（Γ，L，M）到實(shí)數(shù)集的函數(shù)，如果對(duì)于任意的Borel 集B，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ（γ）∈B}是一個(gè)事件，則稱ξ 是一個(gè)不確定變量。

定義2 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，則函數(shù)Φ（x）=M{ξ≤x}稱為ξ 的不確定分布。

定義3 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，其不確定分布為Φ，則反函數(shù)Φ-1（α）稱為ξ 的不確定逆分布。

定理1 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，f（ξ）和g（ξ）的不確定分布分別為Φ 和Ψ，則f（ξ）+g（ξ）的逆分布為Φ-1（α）+Ψ-1（α）。

定義4 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，如果以下兩個(gè)積分至少有一個(gè)是有限的，那么ξ 的期望值定義為

定理2 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，其不確定分布為Φ。如果E（ξ）存在，則

定理3 設(shè)ξ 是一個(gè)不確定變量，其不確定分布為Φ。f（x）是嚴(yán)格單調(diào)（單增或單減）函數(shù)，如果E[f（x）]存在，那么

定理4 設(shè)f 和g 為同單調(diào)函數(shù)，則對(duì)于任意ξ，都有

定義5 設(shè)ξ1，ξ2，…是一列正的獨(dú)立同分布不確定變量。記S0=0，Sn=ξ1+ξ2+…+ξn，則不確定過程N(yùn)t={n|Sn≤t}稱為不確定更新過程。

2 模型構(gòu)建

由于新型飛機(jī)零部件缺少樣本數(shù)據(jù)，且存在價(jià)格過高或倉庫容量有限等問題，引入庫存容限值，將零件壽命假定為不確定變量，建立以成本最小化為優(yōu)化目標(biāo)，尋求最佳更新周期的新型飛機(jī)零部件不確定塊更新模型。

為便于構(gòu)建模型，首先引入以下記號(hào)：T 表示塊更新周期長度，為決策變量；K 表示庫存容限值；ξi（i=1，2，…）表示第i 個(gè)零部件壽命，為不確定變量，其分布為Φ（x）；NT表示一個(gè)塊更新周期T 內(nèi)更換的零件個(gè)數(shù)，為一個(gè)不確定更新過程，其分布為γ（x）；c1表示在T 時(shí)刻前對(duì)故障零件的單位更新成本；c2表示在T時(shí)刻對(duì)零件的單位更新成本，且0 ＜c2＜c1；c3表示對(duì)超過庫存容限值K 的零部件緊急采購而產(chǎn)生的附加單位成本。

利用以上符號(hào)，整個(gè)塊更新周期內(nèi)的總成本可表示為

其中

則一個(gè)周期T 內(nèi)平均更新成本為

當(dāng)NT≤K 時(shí)，式（2）退化為Ke 等[10]提出的不確定塊更新基本模型。

為了應(yīng)對(duì)新型飛機(jī)使用單位不同的決策需求，以3 種優(yōu)化準(zhǔn)則來構(gòu)建帶有庫存容限值的零部件不確定塊更新模型。

2.1期望值模型

第1 個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則是期望整個(gè)周期內(nèi)零部件更新的平均成本最小，帶有庫存容限值的不確定塊更新期望值模型為

為求解式（3），給出定理5。

定理5 令NT表示到達(dá)時(shí)間分別為ξi（i=1，2，…）的不確定更新過程，其中ξi為一列獨(dú)立同分布的不確定變量，其分布函數(shù)為Φ，c1、c2、c3為給定的正數(shù)，則式（2）的期望值為

證明 已知NT的不確定分布γT（x）為

那么NT的期望為

則[NT-K]+的期望值為

由于NT和[NT-K]+關(guān)于ξi（i=1，2，…）是同單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)定理4 可得式（2）的期望值為

定理證畢。

通過定理5，帶有庫存容限值的不確定塊更新期望值式（3）可被轉(zhuǎn)換為確定性模型，即

對(duì)式（5）求解便可得到最優(yōu)塊更新周期T*。下面討論最優(yōu)解T*的存在條件。

當(dāng)不確定分布函數(shù)Φ 可導(dǎo)時(shí)，對(duì)式（5）關(guān)于T 求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0，可得

這時(shí)最優(yōu)解T*滿足等式（6）。

為便于對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行分析，令

當(dāng)Φ（x）二階可導(dǎo)時(shí)，對(duì)f（T）關(guān)于T 求導(dǎo)，可得

若Φ（·）是凸函數(shù)，對(duì)于任意的n，則Φ″（T/n）≥0，于是f′（T）≥0，即f（T）關(guān)于T 單調(diào)遞增，且最優(yōu)更新時(shí)間T*隨著c1和c3的減小而逐漸增加，隨著c2的增加而增加；若Φ（·）是凹函數(shù)，對(duì)于任意的n，則Φ″（T/n）≤0，于是f′（T）≤0，即f（T）關(guān)于T 單調(diào)遞減，且最優(yōu)更新時(shí)間T*隨著c1和c3的增加而逐漸增加，隨著c2的減小而增加。

2.2 機(jī)會(huì)值模型

第2 個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則是期望盡量降低零部件更新成本超過預(yù)算的可能性。假如給定一個(gè)周期的平均成本預(yù)算值為c，則帶有庫存容限值的不確定塊更新機(jī)會(huì)值模型為

為求解式（7），首先給出定理6 求得一個(gè)塊更新周期的平均成本的不確定分布。

定理6 令NT表示到達(dá)時(shí)間分別為ξi（i=1，2，…）的不確定更新過程，其中ξi為一列獨(dú)立同分布的不確定變量，其分布函數(shù)為Φ，c1、c2、c3為給定的正數(shù)，則式（2）中C（T，K，NT）的分布函數(shù)Ψ（x）為

證明 首先引入記號(hào)f（NT）=，g（NT）=

由于f（NT）表示一個(gè)不確定基本塊更新函數(shù)，由文獻(xiàn)[10]可得f（NT）的分布函數(shù)為

則其逆分布函數(shù)為

設(shè)[NT-K]+的分布函數(shù)Q（x），可表示為

因此，g（NT）的分布函數(shù)為

則g（NT）的逆分布函數(shù)為

由于f（NT）和g（NT）都是關(guān)于NT的增函數(shù)，由定理1 可知F-1（α）+G-1（α）為f（NT）+g（NT）的逆不確定分布函數(shù)Ψ-1（α），即

因此，f（NT）+g（NT）的分布函數(shù)為

得證。

由定理6 得機(jī)會(huì)值模型式（7）的等價(jià)形式為

下面分情況討論式（9）的最優(yōu)解。

情形Ⅰ 預(yù)算總成本cT≤c1K+c2。此時(shí)式（9）等價(jià)轉(zhuǎn)化為

引理1 假設(shè)c1，c2，c 為正數(shù)，且c1＞c2，則優(yōu)化式（10）的最優(yōu)解[8]為

情形Ⅱ 預(yù)算總成本cT ＞c1K+c2。此時(shí)式（9）等價(jià)轉(zhuǎn)化為

由引理1，可直接得到最優(yōu)解為

2.3 關(guān)鍵值模型

第3 個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則是要求一個(gè)周期內(nèi)平均更新成本在給定的置信水平下低于預(yù)算值c，并以此為約束條件求得最低的預(yù)算值，由此建立帶有庫存容限值的不確定塊更新關(guān)鍵值模型為

其中，置信度β∈[0，1]。

下面仍然分情況討論最優(yōu)解。

情形Ⅰ 預(yù)算總成本cT≤c1K+c2。此時(shí)，由式（12）的約束條件可得

據(jù)式（8），可求得使c 取到下限Ψ-1（β）時(shí)的最優(yōu)更新周期為

則此時(shí)最小預(yù)算為

情形Ⅱ 預(yù)算總成本cT ＞c1K+c2。與情形Ⅰ使用同樣的方法，分別求得最優(yōu)更新周期與預(yù)算為

2.4 3 種模型的適用情況

新型飛機(jī)使用單位根據(jù)不同的決策目標(biāo)選用3種模型：

1）決策者若希望長期運(yùn)行該塊更新策略，即在長期意義下希望有一個(gè)穩(wěn)定的且較優(yōu)的更新周期T 使單位時(shí)間更新成本最小，此時(shí)應(yīng)選擇期望值模型；

2）當(dāng)決策者為平均更新成本設(shè)置一個(gè)預(yù)算值時(shí)，希望最大限度降低更新成本超過預(yù)算的可能性以滿足維修需求，此時(shí)應(yīng)選擇機(jī)會(huì)值模型；

3）當(dāng)決策者希望找出一個(gè)最低平均成本預(yù)算值，且保證在給定置信水平下使整個(gè)周期內(nèi)平均更新成本低于該預(yù)算值時(shí)，此時(shí)選擇關(guān)鍵值模型。

3 算例分析

3.1 不同模型最優(yōu)解比較

將3 種模型最優(yōu)解與Ke 等[10]提出的基本模型（簡稱Ke 模型）最優(yōu)解進(jìn)行比較，結(jié)果如下：

1）對(duì)于期望值模型，帶有庫存容限K 的模型最優(yōu)解T*小于等于Ke 模型最優(yōu)解；

2）對(duì)于機(jī)會(huì)值模型，當(dāng)預(yù)算總成本cT≤c1K+c2時(shí)，最優(yōu)更新周期與Ke 模型一致；當(dāng)預(yù)算總成本cT ＞c1K+c2時(shí)，由于更新數(shù)量NT超過倉庫容限值K 而導(dǎo)致最優(yōu)更新周期T*比Ke 模型的周期短；

3）對(duì)于機(jī)會(huì)值模型，帶有庫存容限K 的模型最優(yōu)解T*與Ke 模型不同。具體來說，當(dāng)預(yù)算總成本cT≤c1K+c2時(shí)，最優(yōu)更新周期僅與β 有關(guān)，并隨著β 的增大而延長；當(dāng)預(yù)算總成本cT ＞c1K+c2時(shí)，最優(yōu)更新周期T*不僅與β 正相關(guān)，且隨著K 的增大而延長。

3.2 機(jī)會(huì)值模型算例

基于機(jī)會(huì)值模型，以A330 機(jī)身蒙皮的塊更新策略構(gòu)造算例。假設(shè)蒙皮的壽命服從不確定對(duì)數(shù)正態(tài)分布Φ（x），即

給定K=6，c1=240，c2=220，c3=4，預(yù)算成本c=2.4，分布參數(shù)e=8，σ=2。

給定單位時(shí)間更新成本不超過c 的置信度α =0.95，總預(yù)算成本cT=2 000。這時(shí)適用情形Ⅱ，即當(dāng)更換零部件數(shù)量超過庫存容限值，最優(yōu)更新周期T*由式（11）給出，得T*=81.67。對(duì)機(jī)會(huì)值模型中的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，最優(yōu)更新周期T*的結(jié)果如圖1 所示。

圖1 不同參數(shù)遞增時(shí)的最優(yōu)更新周期T*Fig.1 Optimal replacing period T*with increasing values of various parameters

圖1 表明不同參數(shù)對(duì)最優(yōu)更新周期T*有著顯著影響：從圖1（a）可看出，隨著計(jì)劃更新費(fèi)用c2的增加，最優(yōu)更新周期T*存在明顯增長的趨勢；從圖1（b）可看出，T*隨著更新次數(shù)超過庫存容限值的單位附加成本c3的增加而減少；從圖1（c）可看出，庫存容限值K 對(duì)T*影響顯著，二者呈反比關(guān)系；從圖1（d）可看出，隨著預(yù)算成本c 的增加，可相應(yīng)減少更新周期T*的長度。

4 結(jié)語

在零部件壽命不確定的情況下，對(duì)帶有庫存容限值的新型民機(jī)零部件塊更新策略進(jìn)行了研究。由于缺乏歷史數(shù)據(jù)，將零部件的壽命設(shè)為不確定變量，且考慮了零部件采購價(jià)格過高或倉庫存儲(chǔ)量有限的情況，建立了帶有庫存容限值的不確定塊更新模型。基于3種優(yōu)化準(zhǔn)則，分別建立了帶有庫存容限值的不確定塊更新期望值模型、機(jī)會(huì)值模型和關(guān)鍵值模型，并根據(jù)飛機(jī)使用單位的決策目標(biāo)，對(duì)不同模型所適應(yīng)的實(shí)際情況進(jìn)行了分析，主要結(jié)論如下：

1）與Ke 模型解比較分析發(fā)現(xiàn)，提出的前兩種模型的最優(yōu)更新周期T*小于等于基本模型的最優(yōu)周期；

2）算例分析驗(yàn)證了模型的有效性和可行性，結(jié)果表明：預(yù)算成本c 過低時(shí)，需要延長更新周期；同時(shí)，計(jì)劃更新的費(fèi)用c1、更新次數(shù)超過庫存容限值的單位附加成本c3及庫存容限值K 均對(duì)更新周期長度有顯著影響。