構(gòu)造視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)、方程、不等式問題的討論

閔輝 衷雪兒

【摘要】函數(shù)、方程、不等式三者聯(lián)系密切，通過構(gòu)造的思想，以初等函數(shù)為構(gòu)造目標(biāo)對象，利用導(dǎo)數(shù)工具，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，可為三者之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)化提供一種常規(guī)的解題思路.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造;導(dǎo)數(shù)

在哲學(xué)派別中，常有“逍遙派”和“構(gòu)造派”兩大思想方法體系.后者對中學(xué)數(shù)學(xué)解題有重要的指導(dǎo)意義.函數(shù)、方程和不等式是初等數(shù)學(xué)中三個(gè)主要問題角色，其題型復(fù)雜，涉及的解題方法也較多.三者內(nèi)在聯(lián)系緊密，常常相互轉(zhuǎn)化，其中導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的常用手段，構(gòu)造思想是三者轉(zhuǎn)換聯(lián)系的主要思路，數(shù)形結(jié)合是基礎(chǔ).

1.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)主要包括定義域、值域、對稱性（奇偶性）、周期等.通過函數(shù)的性質(zhì)可體現(xiàn)函數(shù)圖像的性質(zhì).在函數(shù)圖像繪制的過程中，通過導(dǎo)數(shù)工具，可求解曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、最值、漸近線等.中學(xué)的導(dǎo)數(shù)概念從物理概念的極限角度切入，也可以看作極限 0 0 型的特殊形式.對于中學(xué)的函數(shù)問題，參數(shù)的處理一直是重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要的思路是構(gòu)造函數(shù)的思想和使用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、方程、不等式三者之間進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，其中構(gòu)造是關(guān)鍵.函數(shù)綜合問題的一般解題步驟如下：

（1）結(jié)合定義域，用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，有時(shí)候需要判斷間斷點(diǎn)的極限;

（2）優(yōu)先使用因式分解求解零點(diǎn)，尤其是三次多項(xiàng)式;

（3）在導(dǎo)函數(shù)不易因式分解的前提下構(gòu)造函數(shù)，基于根的存在性定理，求解隱零點(diǎn)，隱零點(diǎn)的問題，從數(shù)值分析的角度來說是一種估算的問題形式;

（4）大多數(shù)情況下，二次或者多次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，本質(zhì)上還是構(gòu)造函數(shù)的思想，函數(shù)問題仍然突出數(shù)形結(jié)合的思想，通過函數(shù)圖像的繪制，了解整個(gè)函數(shù)的形態(tài).

2.不等式主要類型

中學(xué)不等式的主要類型有：二次不等式、分式不等式、高次不等式、無理不等式、指數(shù)或?qū)?shù)不等式、超越不等式等，涉及的主要解題方法有：穿針引線、換元、指數(shù)和對數(shù)轉(zhuǎn)化、二次方程根的分布、二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的最值問題等.對于超越不等式（函數(shù)）常常進(jìn)行放縮，尋找伴隨函數(shù)，將非線性問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)處理，典型的方法是通過放縮尋找切線函數(shù)以及泰勒展開式.這種思想很樸素，應(yīng)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中重點(diǎn)引導(dǎo).一些不等式問題還可以轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，這體現(xiàn)了不等式和方程之間的關(guān)聯(lián).對于多變量的不等式證明問題，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.例如，雙變量不等式問題，從變量的個(gè)數(shù)來說，形式上屬于多元函數(shù)問題，常規(guī)解題方法是減元構(gòu)造二次函數(shù).對于超越函數(shù)的雙變量不等式問題，也常利用極值點(diǎn)偏移法以及齊次化手段，最終目標(biāo)是構(gòu)造一元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.極值點(diǎn)偏移的特殊形式是二次函數(shù)的對稱問題，高階段的運(yùn)用有誤差矩陣以及普阿松括號積思想（誤差思想）.最為典型的題目是2010年天津高考數(shù)學(xué)理科試卷第21題第3問.

3.含參不等式的恒成立問題

函數(shù)、不等式、方程問題中，參數(shù)的處理是重難點(diǎn)，常用的方法是分離常數(shù)（分式轉(zhuǎn)化為整式），或者使用參變分離、恒值轉(zhuǎn)最值、構(gòu)造函數(shù)求解.根據(jù)參數(shù)的形式分為全分離和半分離題型.

4.關(guān)于不等式、函數(shù)、方程綜合問題的解題思路

對于超越方程y=F（x）的零點(diǎn)問題，根據(jù)F（x）的組成特點(diǎn)，一般構(gòu)造f（x）=g（x）的形式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖像的交點(diǎn)的問題，將方程的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)圖像的交點(diǎn)的相關(guān)問題.轉(zhuǎn)化的依據(jù)是構(gòu)造不同的初等函數(shù).不等式a>F（x）的解題思路也類似.

對于方程f（x）=g（x）的問題，常常構(gòu)造函數(shù)H（x）=f（x）-g（x），從而轉(zhuǎn)化為方程H（x）=0的零點(diǎn)問題.

上述兩種典型題型的轉(zhuǎn)化思路主要是基于構(gòu)造函數(shù)的思想，用數(shù)形結(jié)合的方式，在函數(shù)、方程和不等式三者之間進(jìn)行化歸.

5.典型解題思路

例題 （2010年山東）若對任意的x>0，有 x x2+3x+1 ≤a恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

解析 對于不等式問題常構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題.構(gòu)造函數(shù)f（x）= x x2+3x+1 （x>0），則該不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即f（x）max≤a.通過齊次化的手段，將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）= 1 x+ 1 x +3 的形式，即轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)最值求解問題.

類似的題目還有：求解函數(shù)f（x）= x x2-x+3 的最值，可通過代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的最值問題.一般來說，總是通過各種代數(shù)手段將問題轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)問題.

例題 （2020年南昌外國語學(xué)校）對于x>0，不等式ln x≥ a x -ex+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 對于不等式問題，常轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題.將不等式的分式形式轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式xln x≥a-ex2+2x，構(gòu)造函數(shù)，將恒值轉(zhuǎn)化為最值問題，即構(gòu)造函數(shù)f（x）=xln x+ex2-2x，不等式問題等價(jià)為f（x）min≥a，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)f（x）的最值.同樣的思路還有2019年浙江卷第22題和2012年北京卷（文科）第18題.

例題 （2019年浙江）已知實(shí)數(shù)a≠0，設(shè)函數(shù)f（x）=aln x+ 1+x （x>0）.

（2）對于任意x∈ 1 e2 ，+∞，均有f（x）≤? x? 2a ，求參數(shù)a的取值范圍.

例題 （2012年北京文科）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a>0），g（x）=x3+bx.

（2）當(dāng)a=3，b=-9時(shí)，若函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，求參數(shù)k的取值范圍.

解析 該題可運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法，令H（x）=f（x）+g（x），通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，討論參數(shù)的取值范圍.

例題 （2010年天津）函數(shù)f（x）=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（? ）.

解析 此題形式上是方程問題，通過構(gòu)造函數(shù)的思想，可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題.令f（x）=0，則轉(zhuǎn)化為-2x=3x，即求函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，通過大致的圖像可以判斷零點(diǎn)的區(qū)間.有時(shí)候結(jié)合試根法，根據(jù)根存在性定理或者尋找伴隨函數(shù)可進(jìn)一步判斷.

例題 （2010年天津理科）已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈ R）.

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2.

解析 第一種思路：f′（x）=（1-x）e-x.當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)增加;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)減少.構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（1+x）-f（1-x），x∈（0，1）.求導(dǎo)得F′（x）=xe-x-1（-1+e2x）.∵x∈（0，1），∴F′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)增加，∴F（x）>F（0）=0，即f（1+x）>f（1-x）.換元，令x=1-x1∈（0，1），∴f（1+1-x1）>f[1-（1-x1）]，即f（2-x1）>f（x1）=f（x2），∴f（2-x1）>f（x2），2-x1

第二種思路：由已知條件f（x1）=f（x2）兩邊同時(shí)取對數(shù)，有1= ln x2-ln x1 x2-x1 ，從而x1+x2=（x1+x2） ln x2-ln x1 x2-x1 = x2+x1 x2-x1 ln x2 x1 = 1+ x2 x1? ?x2 x1 -1 ln x2 x1 .不妨設(shè)x11，即證 1+t t-1 ln t>2，可以構(gòu)造函數(shù)g（t）= 1+t t-1 ln t（t>1），即轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最小值問題.

第三種思路：由f（x1）=f（x2），得到ex2-x1= x2 x1 ，不妨設(shè)x2>x1，x2-x1=t（t>0），所以目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為x1+x2=2x1+ t= 2t et-1 +t>2，構(gòu)造函數(shù)，即證g（t）min=[（t+2）+（t-2）et]min>0.

第一種思路通過極值點(diǎn)偏移法構(gòu)造關(guān)聯(lián)函數(shù)，第二、三種思路側(cè)重于通過對數(shù)手段和齊次化的思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值求解問題.

類似的題目還有2016年全國卷1：已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍;（2）若x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

對于多元變量不等式或者函數(shù)的問題，常用的初等方法有基本不等式、柯西不等式，對于部分的問題，也可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，轉(zhuǎn)化為條件極值的問題求解.

例題 （2011年浙江）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是.

解析 構(gòu)造條件極值函數(shù)F（x，y）=2x+y+λ（4x2+y2+xy-1），λ∈ R，分別求偏導(dǎo)，可得到極值（最值）.這種構(gòu)造也可以看作一種函數(shù)變量升維的思想的運(yùn)用，即從一元到多元變量函數(shù).

類似的題目還有2010年四川高考第12題：設(shè)a>b>c>0，則2a2+ 1 ab + 1 a（a-b） -10ac+25c2的最小值是（? ）.該題的求解也可以通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求解條件極值來解決.由此可見，一些高考數(shù)學(xué)題具有高等數(shù)學(xué)的背景，只不過問題的難度和形式得到了簡化.

6.總結(jié)和教學(xué)建議

在函數(shù)、不等式和方程的綜合問題中，常運(yùn)用構(gòu)造思想，初等函數(shù)是構(gòu)造的主要對象之一，還常結(jié)合導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的參數(shù)取值問題.除了構(gòu)造初等函數(shù)外，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，圓、兩點(diǎn)間距離、兩點(diǎn)斜率公式、向量內(nèi)積，甚至行列式也常是構(gòu)造的目標(biāo)對象，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.由此可見，構(gòu)造是通法，也是代數(shù)和幾何之間的“橋梁”.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式、函數(shù)常和高等數(shù)學(xué)的微積分關(guān)聯(lián)，方程問題也涉及線性代數(shù)初步知識(shí)，即一次線性方程既可以構(gòu)造為兩個(gè)向量的內(nèi)積，也可以構(gòu)造為行列式的計(jì)算.從高觀點(diǎn)來重新認(rèn)識(shí)、解釋和理解中等數(shù)學(xué)的內(nèi)容具有一定的意義.

例如 （2016年上海）設(shè)a>0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組ax+y=1，x+by=1無解，則a+b的取值范圍是.

解析 從線性代數(shù)的角度，二元一次方程組可轉(zhuǎn)化為系數(shù)行列式的問題.文獻(xiàn)[5][6]也從大學(xué)角度、高觀點(diǎn)角度對中學(xué)數(shù)學(xué)一些概念和知識(shí)的講解提供了一些建議和思路.

【參考文獻(xiàn)】

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[4]關(guān)麗娜，鐘德光，鄭偉庭.誤差思想在數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（11）： 32-34.

[5]李尚志.大學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)（導(dǎo)數(shù)）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（7）： 1-4.

[6]李尚志.大學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)（泰勒展開）：續(xù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（9）.