Heston模型下DC型養(yǎng)老金等價管理費用問題研究

李方超，張成科，朱懷念

(1.廣東工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510520；2.廣東工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟與貿(mào)易學(xué)院，廣東 廣州 510520)

1 引言

養(yǎng)老金計劃是一項關(guān)乎國民生計的政策問題，是大多數(shù)國家養(yǎng)老保險制度中最主要的組成部分。隨著世界人口結(jié)構(gòu)不斷趨于老齡化，養(yǎng)老保障壓力也隨之愈大，各國政府將不斷加大養(yǎng)老金計劃在其財政支出中的比重，各金融機構(gòu)的養(yǎng)老金結(jié)余也日益增長。據(jù)我國人力資源和社會保障部的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2017年企業(yè)養(yǎng)老保險基金收入3.27萬億元，支出2.86萬億元，比2016年支出增長10.4%，當(dāng)期結(jié)余4187億元，累計結(jié)余達4.12萬億元。面對規(guī)模如此龐大的養(yǎng)老金，如何對其進行資產(chǎn)配置以實現(xiàn)保值增值，對于養(yǎng)老金管理者來說顯得格外重要。

養(yǎng)老金計劃主要可以設(shè)計為DB(待遇確定)型和DC(繳費確定)型兩種。在DB型養(yǎng)老金模式下，參保人在退休后每月領(lǐng)取的養(yǎng)老金數(shù)量是固定的，這類計劃收入穩(wěn)定，參保人不需要考慮市場風(fēng)險。在DC型養(yǎng)老金模式下，參保人建立個人養(yǎng)老金賬戶，每月按固定的繳費率繳納費用，到退休時向養(yǎng)老基金繳納的保費是確定的，退休后可以按月從養(yǎng)老金賬戶中領(lǐng)取養(yǎng)老金，由于養(yǎng)老金的總額包括繳納費用和投資收益，其每月領(lǐng)取的養(yǎng)老金是不確定的，參保人需自行承擔(dān)投資風(fēng)險，這類計劃是當(dāng)前最主流的養(yǎng)老金模式。

近年來，越來越多的學(xué)者對DC型養(yǎng)老金的投資管理進行了細致的研究。有關(guān)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資管理的研究主要是圍繞兩個最優(yōu)化問題展開：一是期末財富效用最大化，二是投資風(fēng)險最小化。第一類優(yōu)化目標(biāo)注重養(yǎng)老金投資收益，以實現(xiàn)期末更高養(yǎng)老效用。Gao Jianwei[1-2]在CRRA效用與CARA效用下，以最大化終端時刻財富的期望效用為目標(biāo)，研究了DC型企業(yè)年金在退休前與退休后的最優(yōu)投資策略的CEV模型，得出了顯式解。Guan Guohui和Liang Zongxia[3]在隨機利率和隨機波動率框架下研究了DC型養(yǎng)老金計劃的最優(yōu)投資問題，以期最大化養(yǎng)老金終端財富的期望CRRA效用，通過隨機規(guī)劃方法得到問題的解析解，并以數(shù)值方法來探討金融參數(shù)對最優(yōu)策略的影響。而第二類優(yōu)化目標(biāo)關(guān)注點在于養(yǎng)老金投資風(fēng)險性，在有穩(wěn)定投資收益的同時盡量降低風(fēng)險。Ngwira和Gerrard[4]建立了兩個實際與預(yù)期中樞二次偏差效用函數(shù)，以最小化實際給付與預(yù)期給付中樞的二次偏差和最小化實際賬戶余額與余額中樞的二次偏差作為優(yōu)化目標(biāo)，研究了養(yǎng)老金最優(yōu)投資與給付問題。何林[5]將生存者利益部分的保險精算規(guī)律引入DC型企業(yè)年金賬戶余額的動態(tài)變化過程中，以實際給付額與預(yù)期給付中樞的二次偏差最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，通過HJB變分法與隨機控制理論，求得了最優(yōu)資產(chǎn)配置比例與最優(yōu)給付方案的解析解?？紤]到優(yōu)化目標(biāo)的全面性，有學(xué)者指出單以期末財富期望效用最大化或投資風(fēng)險最小化為優(yōu)化目標(biāo)求得的最優(yōu)策略是短視的，均值—方差模型考慮終端財富期望效用最大化和終端財富方差最小化為目標(biāo)，有效的克服了單目標(biāo)效用函數(shù)的缺陷。Li Danping等[6]在CEV模型下，考慮違約風(fēng)險和保費退還，以均值—方差為優(yōu)化目標(biāo)，得到了養(yǎng)老金的均衡投資策略。Menoncin和Vigna[7]在固定繳費養(yǎng)老金計劃的積累階段，考慮隨機利率，通過解決一個均值—方差優(yōu)化問題，提供了有效前沿的一般形式和最優(yōu)投資策略。與此同時，養(yǎng)老金較長的投資期限也使得DC型養(yǎng)老金的投資管理問題更復(fù)雜，在投資過程中不僅要考慮利率風(fēng)險和隨機波動率，還要考慮通脹風(fēng)險和工資水平風(fēng)險。Yao Haixiang等[8]研究了在多周期均值—方差框架下DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問題，考慮了隨機工資和死亡率風(fēng)險，利用隨機最優(yōu)控制方法，得到有效的投資策略和有效邊界的解析表達式。Sun Jingyun等[9]在DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資組合的均值—方差模型中，考慮了通脹風(fēng)險和隨機工資。Njoku等[10]在仿射利率模型下，研究了隨機工資對DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響。Chen Zheng等[11]在DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資問題中，重點引入了通脹風(fēng)險和長壽風(fēng)險，并通過數(shù)值方法探討了這兩種風(fēng)險對最優(yōu)策略的影響。劉渝琳等[12]為在養(yǎng)老金投資過程中有效規(guī)避通脹風(fēng)險，給出了風(fēng)險中性測度下通脹指數(shù)債券的定價，并分析了通脹指數(shù)債券對通脹風(fēng)險的對沖作用。

上述關(guān)于DC型養(yǎng)老金投資管理的研究中都未考慮養(yǎng)老金管理者向參保人收取管理費用的問題，而在DC型養(yǎng)老金的投資管理過程中，養(yǎng)老金管理者需要向參保人收取一定的管理費用，這個管理費用對個人養(yǎng)老金賬戶的終端財富具有顯著的影響。Whitehouse[13]在對13個國家的養(yǎng)老金管理費用效應(yīng)進行評估比較之后，得出結(jié)論：每收取1%的管理費用，養(yǎng)老金的終端財富價值就會增加將近20%。Murthi等[14]研究表明，在英國收取養(yǎng)老金管理費用以及其他費用，會使得個人養(yǎng)老金賬戶的財富價值減少超過40%。已有關(guān)于養(yǎng)老金管理費用的研究已經(jīng)對DC型養(yǎng)老金計劃的這個特性進行了論證，因此研究養(yǎng)老金管理機構(gòu)對參保人收取管理費用的方式對于養(yǎng)老金的投資管理是具有現(xiàn)實意義的。正如Kritzer等[15]所指出，養(yǎng)老金管理者對參保人收取管理費用一般有三種方式：按比例在個人養(yǎng)老金賬戶資產(chǎn)財富中收取、按比例在工資中收取以及按比例在超額收益中收取。按資產(chǎn)財富與工資比例收取養(yǎng)老金管理費用是在拉美國家最主流的兩種方式，目前，對于比較這兩種收費方式的研究較少。Chávez-Bedoya[16]在對按資產(chǎn)財富比例和按工資比例兩種收費方式下的終端確定等價財富進行比較之后，得到了一個等價管理費用，它相當(dāng)于參保人參加DC型養(yǎng)老金的固定費用，揭示了兩種收費方式的關(guān)系。本文在文獻[16]的研究基礎(chǔ)上，用Heston隨機波動率模型來刻畫金融市場，選取CRRA效用函數(shù)和CARA效用函數(shù)，以最大化參保人終端財富值的期望效用為目標(biāo)，繼續(xù)研究這兩種養(yǎng)老金管理費用收費方式之間的關(guān)系，得到兩種效用準(zhǔn)則下的等價管理費用。

本文的主要創(chuàng)新點有如下兩點：(i)考慮Heston模型描述的風(fēng)險資產(chǎn)(股票)，增加了風(fēng)險資產(chǎn)隨機波動率對養(yǎng)老金投資管理的影響，將已有研究中用Black-Scholes模型描述的金融市場拓展至更為合理的Heston模型完備金融市場。Heston隨機波動率模型可以更好的解釋金融市場里面尖峰厚尾的現(xiàn)象，但引入Heston模型會加大求解等價管理費用的難度，最主要的難度就是Heston模型所帶來的隨機變量v能否和隨機變量財富過程x分離，將求解等價管理費用時得到的HJB偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程來求解，這也是本文與已有研究面臨問題的不同之處。(ii)分別在CARA和CRRA兩種效用準(zhǔn)則下考慮參保人的風(fēng)險偏好，參照兩種風(fēng)險偏好下的等價管理費用，有利于決策。眾所周知，在一個完善的養(yǎng)老體系中，參保人之間具有不同的風(fēng)險偏好，若僅僅在一種效用準(zhǔn)則下來研究等價管理費用，其結(jié)論的適用性將存在一定局限性。相比已有研究僅僅考慮CARA效用準(zhǔn)則，本文考慮的更為全面，拓展了結(jié)論的適用范圍。本文的主要結(jié)論將為DC型養(yǎng)老金管理者收取管理費用和精準(zhǔn)投資提供參考，為參保人繳納管理費用提供指導(dǎo)，為養(yǎng)老金管理費用政策制定者提供依據(jù)。

2 模型設(shè)定及條件假設(shè)

在本節(jié)，我們首先介紹金融市場結(jié)構(gòu)，然后給出DC型養(yǎng)老金終端財富的隨機動態(tài)過程。

2.1 金融市場

假設(shè)DC型養(yǎng)老金計劃投資的金融市場由兩種金融資產(chǎn)組成，一種無風(fēng)險資產(chǎn)(銀行賬戶存款)和一種風(fēng)險資產(chǎn)(股票)。銀行賬戶存款價格動態(tài)過程滿足如下常微分方程：

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=s0>0

(1)

式中r>0表示無風(fēng)險利率。風(fēng)險資產(chǎn)(股票)的價格過程滿足經(jīng)典的Heston模型：

dS1(t)=S1(t)[(r+ηV(t))dt

S1(0)=s1>0

(2)

V0(0)=v0>0

(3)

其中η,k,θ,σ都為都為大于零的常數(shù)，滿足2kθ>σ2，以保證對任意t∈[0,T]，有V(t)>0。Ws(t)與Wv(t)是兩個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，它們之間的相關(guān)系數(shù)是ρ，即E[Ws(t)Wv(t)]=ρt，ρ∈[-1,1]。

2.2 DC型養(yǎng)老金財富過程

在積累期[0,T]中，參保人定期按工資的固定比例繳納保費，本文假設(shè)固定的繳費率為常數(shù)ε，工資為單位1。在這個階段，養(yǎng)老金管理者將賬戶資金投資于銀行賬戶存款與股票中，假定在時刻t投資于股票的比例為π(t)，則投資于銀行賬戶存款的比例為1-π(t)。定義X(t)為養(yǎng)老金財富過程，若養(yǎng)老金管理者不向參保人收取任何管理費用，則財富過程變化過程服從如下隨機微分方程：

dX(t)

X(0)=x0

(4)

將式(1)和式(2)帶入(4)中，可得財富過程：

dX(t)={X(t)[r+ηV(t)π(t)]+ε}dt

X(0)=x0

(5)

現(xiàn)在來考慮養(yǎng)老金管理者向參保人收取管理費用的兩種情形，一種是按資產(chǎn)財富比例收取，另一種是按工資比例收取。首先考慮前者，假定δ>0為每月在資產(chǎn)財富中收取管理費用的比率，則收取的管理費用為δX(t)。引入該部分后，財富過程為：

Xs(0)=x0

(6)

再考慮按工資比例收費情形，這也可以稱為按保費比例收費，因為是在作為保費的那部分工資中收取管理費用。當(dāng)養(yǎng)老金管理者未向參保者收取管理費用時，參保人每月向養(yǎng)老金賬戶按工資比例繳納ε的保費?，F(xiàn)參考文獻[16]的研究，定義α>0為按工資比例繳納養(yǎng)老金管理費用的代表參數(shù)。則參保人每月應(yīng)向養(yǎng)老金管理者繳納管理費用F=(1-e-α)ε，因此參保人每月向賬戶繳納的保費部分就剩余e-αε。由此可得該情形下財富過程為：

Xf(0)=e-αx0

(7)

需要注意的是：在此情形下，X0并不能表示養(yǎng)老金賬戶財富的真實值，而需要通過機會成本(繳納管理費用)來調(diào)整為e-αx0。

3 等價管理費用的求解

在本節(jié)，我們將求解等價管理費用。首先對優(yōu)化問題進行描述，其次分別在CARA和CRRA效用準(zhǔn)則下求解三種情形下的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式，最后對兩種收費方式的終端確定性等價財富進行比較，得到兩種效用準(zhǔn)則下的等價管理費用。

3.1 最優(yōu)化問題

本文涉及三種情形的優(yōu)化問題，分別是無管理費用、按資產(chǎn)財富比例收取管理費用以及按工資比例收取管理費用，具體表述如下：

(i)無管理費用情形

(ii)按財富比例收取管理費用情形

(iii)按工資比例收取管理費用情形

+ρθvxπ(t)Hxv}=0

其中Ht,Hx,Hv,Hxx,Hvv,Hvx分別表示H對t,x,v的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)一階條件得到最優(yōu)投資策略：

(8)

將式(8)帶入到HJB方程中，可得：

(9)

其邊界條件為H(T,v,x)=U(x)。

根據(jù)類似的方法，本文可以得到其他兩種情形下對應(yīng)值函數(shù)的HJB方程，再根據(jù)一階條件，得到對應(yīng)的最優(yōu)投資策略的形式解。囿于篇幅所限，在此不再贅述。

3.2 CARA效用準(zhǔn)則下的等價管理費用

同以上得到最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的形式解一樣，這部分首先求解無管理費用情形下的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式以及終端確定性等價財富，然后再采用類似方法得到其他兩種情形下的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式以及終端確定性等價財富。

3.2.1 無管理費用下終端確定性等價財富

H(t,v,x)

(10)

其邊界條件為m(T)=1，g(T)=0，h(T)=0。由此可以得到方程(9)中值函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)：

Ht=-c[mt(x-g(t))-gtm(t)+vht]H

Hx=-cm(t)H,Hxx=c2m2(t)H,

Hv=-ch(t)H,

Hvv=c2h2(t)H,Hxv=c2m(t)h(t)H.

將上述偏導(dǎo)數(shù)帶入到方程(9)中，可得：

(mt+rm(t))x

(11)

對方程(11)進行拆分，可得下述三個常微分方程：

mt+rm(t)=0,m(T)=1

(12)

(13)

×(1-ρ2)h2(t)=0,h(T)=0

(14)

結(jié)合各函數(shù)的邊值條件，解得：

m(t)=er(T-t)

(15)

(16)

g(t)

(17)

至此，已求得無管理費用情形下值函數(shù)的解析式：

H(t,v,x)

(18)

式中：

同樣地，將值函數(shù)的解析式帶入到式(8)中，可以得到該情形下最優(yōu)投資策略的解析式：

(19)

(20)

此外，為了后文比較方便，特在此定義終端確定性等價財富為：

(21)

式中：

M(0)

3.2.2按財富比例收費下的終端確定性等價財富

類似于無管理費用時的求解方法，可得按財富比例收費時的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式為：

(22)

(23)

該情形下對應(yīng)的終端確定性等價財富為：

(24)

3.2.3 按工資比例收費下的終端確定性等價財富

采用類似方法可得考慮按工資比例收費時的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析解為：

(25)

(26)

該情形下對應(yīng)的終端確定性等價財富為：

-M(0)+h(0)v0

(27)

3.2.4 等價管理費用

為了讓參保人知道哪種方式更優(yōu)，需要比較兩種收費方式。由于參保人期望養(yǎng)老金賬戶終端財富效用最大，本文在這里比較兩種收費方式下的終端確定性等價財富。參考文獻[16]，定義如下比例：

(28)

當(dāng)Rsf>1時，參保人更傾向于按資產(chǎn)財富比例繳納管理費用；當(dāng)Rsf<1時，參保人更傾向于按工資比例繳納管理費用；當(dāng)Rsf=1時，兩種收費方式都一樣，都能接受。

本文假定養(yǎng)老金賬戶在積累期的初始時期資金為0，即x0=0。在此假設(shè)條件下，可以得到：

Rsf

(29)

定義該比例的目標(biāo)是為了在兩種收費方式中找到一個平衡點，即本文所說的等價管理費用。在此給定α*，令在資產(chǎn)財富中收取管理費用的比例δ*為等價管理費用，當(dāng)該比例等于1時，可得：

(30)

從式(30)可以看出，等式左邊表示T時刻e-δ*T比例的連續(xù)養(yǎng)老金在利率為r-δ*時的未來價值，而等式右邊表示T時刻e-α*比例的養(yǎng)老金在利率為r時的未來價值。現(xiàn)定義養(yǎng)老金的未來價值為e-δ*TSr-δ*和e-α*Sr，則由式(30)可得：

(31)

由式(31)可知，等價管理費用δ*只與r,T和α*有關(guān)，并隨r和T增大而減小。

這里簡要說明將上述風(fēng)險偏好滿足CARA效用函數(shù)的特殊情形下的等價費用拓展至風(fēng)險中性的情形下。定義風(fēng)險中性測度Q下的比例為：

(32)

當(dāng)Nsf>1時，參保人更傾向于按資產(chǎn)財富比例繳納管理費用；當(dāng)Nsf<1時，參保人更傾向于按工資比例繳納管理費用；當(dāng)Nsf=1時，兩種方式都能接受。

在風(fēng)險中性測度Q下，無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn)的利率都為r，有η=0。則M(0)=0，h(0)=0，最大化期望終端財富為：

(33)

(34)

3.3 CRRA效用準(zhǔn)則下的等價管理費用

類似于CARA效用準(zhǔn)則，本節(jié)用同樣的求解方法可以得到CRRA效用準(zhǔn)則下無管理費用以及兩種收費模式下的最優(yōu)投資策略、值函數(shù)的解析式和終端確定等價財富。

3.3.1 無管理費用下終端確定性等價財富

(35)

具體的求解過程在此不再贅述，通過相似的方法可以得到無管理費用下的值函數(shù)和最優(yōu)投資策略的解析式：

(36)

π*(t)

(37)

式中：

在CRRA效用準(zhǔn)則下無管理費用的最優(yōu)化問題已得到解決，接下來需要決定養(yǎng)老金終端確定性等價財富。由于前文已定義了最優(yōu)投資策略所決定的期望效用最大化的終端財富，所以終端財富的最大化期望效用為：

(38)

則相應(yīng)的確定性等價財富為：

(39)

式中：

3.3.2 按財富比例收費下的終端確定性等價財富

同無管理費用時的求解方法，可得到考慮按財富比例收費時的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式為：

H(t,v,xs)

則該情形下對應(yīng)的終端確定性等價財富為：

3.3.3 按工資比例收費下的終端確定性等價財富

類似地，得到考慮按工資比例收費時的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式為：

H(t,v,xf)

則該情形下對應(yīng)的終端確定性等價財富為：

3.3.4 等價管理費用

該比例大小所代表的意思同CARA效用下定義的比例一致。

本文假定養(yǎng)老金賬戶在積累期的初始時期資金為0，即x0=0。在此假設(shè)條件下，可以得到：

(40)

同樣地，為了得到等價管理費用。在此，我們給定α*，令在資產(chǎn)財富中收取管理費用的比例δ*為等價管理費用，當(dāng)該比例等于1時，可得：

(41)

(42)

從等式中可知等價管理費用δ*只與r,T和α*有關(guān)，并隨r和T的增大而增大。

此處也簡要說明將上述風(fēng)險偏好滿足CRRA效用函數(shù)的特殊情形下的等價費用拓展至風(fēng)險中性的情形下。定義風(fēng)險中性測度Q下的比例為：

該比例大小所代表的意思同CARA效用下定義的比例一致。

(43)

(44)

4 算例分析

這一部分，我們通過數(shù)值算例來分析模型的關(guān)鍵參數(shù)對等價管理費用的影響以及等價管理費用對財富過程的影響，并驗證上述理論推導(dǎo)所得結(jié)論：取等價管理費用時，兩種收費方式達到一種平衡，參保人兩種收費方式都能接受。

模型中的參數(shù)參考文獻[16]的設(shè)置，假定參保人的退休年紀(jì)為65歲，積累時間具體可由等式T=(65-E)×12表示，其中E表示參保人年齡。養(yǎng)老金管理者按工資比例收費取三種比例：fmin=1.47%，favg=1.58%，fmax=1.69%。類似地，考慮一部分強制費用，根據(jù)關(guān)系α=-ln(1-10f)，可得到：αmin=0.159，αavg=0.172，αmax=0.185。其他相關(guān)參數(shù)的設(shè)定為：k=1，c=0.1，θ=0.02，η=1，σ=0.08，ε=0.12，ρ=0.5，x0=0，v0=0.02，p=0.3，r=0.05。

4.1 CARA效用準(zhǔn)則下算例分析

首先來考慮在CARA效用下等價管理費用隨參保人年齡的變化。由圖1，一方面我們可知在CARA效用準(zhǔn)則下，等價管理費用隨參保人的年齡E嚴(yán)格遞增，隨積累時間T嚴(yán)格遞減；另一方面，當(dāng)固定參保人年齡E或積累時間T時，等價管理費用δ*隨α或f嚴(yán)格遞增。這變化趨勢與文獻[16]的結(jié)論是一致的，但本文中等價管理費用的變化增量以及數(shù)值結(jié)果要遠遠小于文獻[16]中的增量及數(shù)值結(jié)果，也可以理解為管理費用越少，耗費的成本也就越低。這是本文引入Heston模型所帶來的不同之處，在更為合理的Heston模型完備金融市場中，對于養(yǎng)老金管理者制定更合理精確的管理費用水平是有一定現(xiàn)實參考意義的。若考慮參保人年齡為30歲時，按工資比例收費時代表參數(shù)αavg=0.172，對應(yīng)的等價管理費用為δ*=0.0821%；當(dāng)δ*>0.0821%時，對于參保人而言，按工資比例繳納管理費用更有優(yōu)勢。

可以看出等價財富δ*>0.0585%，在任何情況下都需滿足，若小于該值，則按工資比例繳納管理費用更有優(yōu)勢。

圖1 CARA效用下等價管理費用隨參保人年齡變動

其次，我們考慮等價管理費用對財富過程的影響。在CARA效用準(zhǔn)則下，選取年齡為50歲時的等價費用δ*=0.19%，對應(yīng)的αavg=0.172，將無管理費用和兩種收費方式下的最優(yōu)投資策略帶入對應(yīng)的財富動態(tài)過程中，有圖2和圖3。對于財富的動態(tài)過程，我們可以得到兩種情況。一種是收取等價管理費用會使養(yǎng)老金賬戶財富值減小，如圖2所示；另一種是收取等價管理費用會使養(yǎng)老金賬戶財富值增加，如圖3所示。這種情況的出現(xiàn)歸因于不同的養(yǎng)老體系，有的養(yǎng)老體系中個人養(yǎng)老賬戶過于分散且具有較高的復(fù)雜性，會產(chǎn)生很高的賬戶管理成本，這使得管理費用的收取超過了一定的數(shù)額，導(dǎo)致個人財富的大量流失，詳細的成因可參考文獻[13]和[14]。從圖2與圖3中可知，無論是等價管理費用使參保人增加還是減少的情況，兩種收費方式的財富動態(tài)過程都是基本重合的，擬合度較高。這說明，只要所取得管理費用為等價管理費用，按資產(chǎn)財富比例與按工資比例收取管理費這兩種收費方式都是一樣的效果，這正驗證了本文的理論推導(dǎo)。

圖2 CARA效用下財富動態(tài)過程情形一

圖3 CARA效用下財富動態(tài)過程情形二

4.2 CRRA效用準(zhǔn)則下算例分析

同CARA效用準(zhǔn)則一樣，先考慮CRRA效用下等價管理費用隨參保人年齡的變化。由圖4，我們可知在CRRA效用準(zhǔn)則下，等價管理費用隨參保人的年齡E嚴(yán)格遞減，隨積累時間T嚴(yán)格遞增。當(dāng)固定參保人年齡E或積累時間T時，等價管理費用δ*隨α或f嚴(yán)格遞減，這正好和CARA效用準(zhǔn)則下相反。這可能是由于在CRRA效用下，隨著瞬時財富水平的增加，參保人對于風(fēng)險的厭惡程度會下降。當(dāng)參保人的財富隨著年齡的增長不斷積累，其對風(fēng)險的厭惡程度會下降，這就會使得養(yǎng)老金管理者降低風(fēng)險規(guī)避水平，進而會降低管理成本，因此管理費用呈下降趨勢。其他的比較在此不再贅述，可參考CARA效用情形。

圖4 CRRA效用下等價管理費用隨參保人年齡變動

其次，我們考慮等價管理費用對財富過程的影響。在CRRA效用準(zhǔn)則下，選取年齡為50歲時的等價費用δ*=0.1%，對應(yīng)的αavg=0.172，將無管理費用和兩種收費方式下的最優(yōu)投資策略帶入對應(yīng)的財富動態(tài)過程中，有圖5和圖6。類似地，CRRA效用下財富動態(tài)過程的趨勢同CARA效用情形下一樣。且等價管理費用對養(yǎng)老金賬戶財富值既有正的影響，也有負的影響。取等價管理費用時，兩種收費方式的效果一樣，達到一個平衡，具體表現(xiàn)在圖5與圖6中：兩種收費方式下的財富動態(tài)過程曲線擬合度較高。

圖5 CRRA效用下財富動態(tài)過程情形一

圖6 CRRA效用下財富動態(tài)過程情形二

5 結(jié)語

鑒于目前對DC型養(yǎng)老金管理費用收取方式的研究不多，本文在文獻[16]的研究基礎(chǔ)上，考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格動態(tài)過程服從Heston模型。首先分別在CARA效用準(zhǔn)則和CRRA效用準(zhǔn)則下得到了無管理費用、按資產(chǎn)財富比例收取管理費用以及按工資比例收費三種情形的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的解析式；其次再對比兩種收費方式下的終端確定性等價財富，得到了兩種效用準(zhǔn)則下的等價管理費用，并將其拓展至參保人風(fēng)險偏好為中性的情形下，證明了風(fēng)險中性情形下的管理費用適用范圍更廣；最后通過數(shù)值算例分析了參保人年齡對等價管理費用的影響，以及等價管理費用對養(yǎng)老金賬戶財富的影響。本文主要研究發(fā)現(xiàn)：(1)在CARA效用準(zhǔn)則下，等價管理費用隨參保人年齡嚴(yán)格遞增，而在CRRA效用準(zhǔn)則下，等價管理費用隨參保人年齡嚴(yán)格遞減。(2)無論是在CARA效用準(zhǔn)則還是CRRA效用準(zhǔn)則下，等價管理費用對養(yǎng)老金賬戶財富的影響既有正面的，也有負面的。(3)CARA效用準(zhǔn)則與CRRA效用準(zhǔn)則下，取定等價管理費用后，兩種收費方式的效果都是一樣的。

本文對于在兩種收費方式中尋找一個平衡點(等價管理費用)的方法是具有現(xiàn)實意義的，可以為參保人繳納管理費用和養(yǎng)老金管理者收取管理費用提供指導(dǎo)，養(yǎng)老金投資者在進行投資時參考這部分的等價管理費用，能更準(zhǔn)確的進行投資。然而，本文的研究尚有不足，隨著金融市場的不斷復(fù)雜化，投資人在進行養(yǎng)老金投資時所面臨的風(fēng)險也愈加多樣化，隨機工資、隨機利率、通貨膨脹、長壽風(fēng)險等等，若考慮這些因素，對最優(yōu)投資策略、值函數(shù)以及等價管理費用的求解會加大難度。其次，由于本文是在效用準(zhǔn)則框架下進行的，而在均值—方差以及其他風(fēng)險準(zhǔn)則下得到的結(jié)果和本文有何區(qū)別，這方面的研究也尚未發(fā)現(xiàn)。此外，考慮到管理費用收取問題，如果能從管理者和參保者的委托-代理關(guān)系出發(fā)，建立一些新的優(yōu)化目標(biāo)，也是非常有價值的研究題目。這些都是我們未來研究的方向。