中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用

葉文婷 趙繼源 林卉

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)活的靈魂.文章主要探討中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)討論思想，每種思想都結(jié)合題目一一進(jìn)行分析.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想 ;數(shù)形結(jié)合思想;函數(shù)思想;方程思想;分類(lèi)討論思想

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2020）29-0011-03

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，也是數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)和揭示，更是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)思想可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想.本文主要探討這幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想

許多數(shù)量關(guān)系方面的抽象概念和解析式，一旦賦予幾何的意義，往往就會(huì)變得非常的直觀形象，并且使得一些關(guān)系明朗化、簡(jiǎn)單化;而一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當(dāng)表達(dá)問(wèn)題的關(guān)系式，即可以使幾何的問(wèn)題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)的方法使得問(wèn)題得到解決.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái).

數(shù)形結(jié)合主要可分為兩大塊：以形助數(shù)和以數(shù)解形.

1.以形助數(shù)

以形助數(shù)是將代數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，借助圖形的性質(zhì)來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題.根據(jù)圖形的不同還可以分為借助數(shù)軸解決代數(shù)問(wèn)題、借助函數(shù)圖像解決代數(shù)問(wèn)題、借助幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題、借助坐標(biāo)系解決代數(shù)問(wèn)題.

2.以數(shù)解形

以數(shù)解形是借助數(shù)的精確性來(lái)闡明圖形的某些屬性.認(rèn)真分析圖形的幾何特征，確定幾何圖形轉(zhuǎn)化數(shù)字的步驟，將圖形信息轉(zhuǎn)化成數(shù)字信息，建立數(shù)與形的轉(zhuǎn)化關(guān)系.分析初中數(shù)學(xué)的?？純?nèi)容，發(fā)現(xiàn)可把“以數(shù)解形”分為借助方程解決幾何問(wèn)題、借助不等式解決幾何問(wèn)題、借助函數(shù)解決幾何問(wèn)題.

二、函數(shù)思想

函數(shù)思想，是運(yùn)用函數(shù)的概念及其性質(zhì)研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思維方式.即利用題目中所給的已知量和未知量之間的關(guān)聯(lián)性，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，最終解決問(wèn)題.根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，對(duì)函數(shù)思想做了簡(jiǎn)單的分類(lèi)，有確定函數(shù)解析式、函數(shù)的應(yīng)用、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值、幾何中最值問(wèn)題的求法.

[例4]2010年1月1日，全球第三自貿(mào)區(qū)——中國(guó)—東盟自由貿(mào)易區(qū)正式成立，標(biāo)志著該貿(mào)易區(qū)開(kāi)始步入“零關(guān)稅”時(shí)代，廣西某民營(yíng)邊貿(mào)公司要把240噸白砂糖運(yùn)往東盟某國(guó)A、B兩地，現(xiàn)用大、小兩種貨車(chē)共20輛，恰好能一次性裝完這批白砂糖，已知這兩種貨車(chē)的載重量分別為15噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往A地的運(yùn)費(fèi)為：大車(chē)630元/輛，小車(chē)420元/輛;運(yùn)往B地的運(yùn)費(fèi)為：大車(chē)750元/輛，小車(chē)550元/輛.

（1）求這兩種貨車(chē)各用多少輛.

（2）如果安排10輛貨車(chē)前往A地，其余貨車(chē)前往B地，且運(yùn)往A地的白砂糖不少于115噸，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車(chē)調(diào)配方案，并求出最少的總運(yùn)費(fèi).

分析：運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)解決最值問(wèn)題.解決第一問(wèn)的關(guān)鍵就是要找出題目中的已知量和未知量之間的關(guān)聯(lián)性，列出函數(shù)的表達(dá)式.分析題目可知，大、小貨車(chē)共20輛和運(yùn)輸240噸白砂糖，可列出表達(dá)式求解;第二問(wèn)可在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出最少運(yùn)費(fèi)為W，再設(shè)出調(diào)往A地的大車(chē)為[a]輛，小車(chē)為[10-a]輛，進(jìn)而求出調(diào)往B地的大、小車(chē)數(shù)量，再根據(jù)題目所給的條件列出關(guān)于W的表達(dá)式，可得W為一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

故應(yīng)該安排3輛大車(chē)和7輛小車(chē)前往A地，安排5輛大車(chē)和5輛小車(chē)前往B地，最少的運(yùn)費(fèi)為11330元.

三、方程思想

方程思想是指用方程的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.即通過(guò)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量和未知量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式，繼而設(shè)元，從而建構(gòu)方程（組），最終通過(guò)求解方程（組）來(lái)解決問(wèn)題.

【例5】《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何原本》并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉，在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖4所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道[AB=1]尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為_(kāi)_____ 寸.

分析：本題考查的內(nèi)容有垂徑定理、勾股定理等，解題的關(guān)鍵在于添加輔助線(xiàn)和學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程.連接直徑和半徑構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系列出方程，再求解方程即可.

四、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.分類(lèi)討論可將復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，還從一定程度上避免了漏解.從整體上看可以分為兩大類(lèi)，數(shù)的分類(lèi)討論和形的分類(lèi)討論，其中形的分類(lèi)討論中還可以細(xì)分為邊的關(guān)系分類(lèi)討論、邊的比值分類(lèi)討論、角的關(guān)系分類(lèi)討論等.

分析：本題考查的是根據(jù)新定義進(jìn)行數(shù)的分類(lèi)，總體上可以分為兩大類(lèi)進(jìn)行討論：①當(dāng)[x>-x]時(shí)解答方程，得到[x]的解，再代入方程檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足;②當(dāng)[x<-x]時(shí)，又得到一個(gè)方程，再進(jìn)行解答，然后檢驗(yàn)解是否為方程的解，最后再綜上所述得到方程的解.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.

五、小結(jié)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)思想在一定程度上指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題.對(duì)于初中數(shù)學(xué)幾種常見(jiàn)的思想，教師在日常的教學(xué)中必須要有意識(shí)地去滲透，潛移默化地將數(shù)學(xué)思想引入課堂.要做到解題和實(shí)例教學(xué)相融合，在課堂中用活數(shù)學(xué)思想，并逐步滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生能夠感知數(shù)學(xué)思想的形成，在解決問(wèn)題時(shí)能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)思想;還應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，思考哪個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透，怎么樣設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)可以讓學(xué)生更好地理解.例如，前面提到的數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)時(shí)刻提醒學(xué)生在遇到既有“數(shù)”又有“形”時(shí)，學(xué)會(huì)考慮它們之間是否存在一定的關(guān)系;教師還應(yīng)讓學(xué)生歸納總結(jié)出相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，并用于實(shí)踐.如上述的分類(lèi)討論思想，在解決涉及自變量問(wèn)題的題目時(shí)，一般都要對(duì)自變量的取值范圍進(jìn)行討論.除此之外，教師還應(yīng)做到因材施教、個(gè)性培養(yǎng).每個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)不同，有的對(duì)圖形比較敏感，有的對(duì)數(shù)字比較敏感，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在自己擅長(zhǎng)的領(lǐng)域深入探索，當(dāng)然對(duì)其他的領(lǐng)域也要加強(qiáng)學(xué)習(xí).總而言之，數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，不是一朝一夕的事情，它需要教師深入挖掘，站在學(xué)生的角度思考問(wèn)題，去生成教學(xué)資源，更需要學(xué)生積極地參與教學(xué)活動(dòng)，并能總結(jié)不同數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn).只有師生這樣配合，才能夠真正地提高教學(xué)質(zhì)量.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

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（責(zé)任編輯 陳 昕）