立體幾何問題中的易錯點剖析

吳凱

立體幾何是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，高考?？碱}型有三視圖、線面位置關(guān)系的證明與判斷、空間角的計算、動態(tài)問題、翻折問題等，其主要考查同學們的空間思維能力和邏輯推理能力，有時一些角度和距離問題也可以用空間向量來解決，較多問題屬于基礎(chǔ)題，難度適中。同學們在復習過程中會因認知受限，容易出現(xiàn)錯解，本文對立體幾何中的易錯問題歸類剖析，以助同學們解題時能乘風破浪，所向披靡。

易錯點1——忽視了三視圖中的虛線點睛：在三視圖中，規(guī)定看得見的棱畫成實線，看不見的棱要畫成虛線，因此，我們在看三視圖時一定要看清楚虛實線。

易錯點2——混淆了三視圖中長度的真正意義

例2 已知某幾何體的三視圖如圖4所示（正視圖為等腰三角形，俯視圖為正方形，側(cè)視圖為直角三角形），則該幾何體的最短棱長為____，最長棱長為 ___ 。

錯解：最短棱長為√2;最長棱長為2√2。

錯因剖析：將正視圖和側(cè)視圖中的√2當作了底面邊長，實際上，正視圖中的√2指的是OA和OC的長，側(cè)視圖中的√2指的是OB和OD的長。

正解：根據(jù)三視圖畫出其直觀圖，該幾何體是一個四棱錐（如圖5），通過計算，易知最短棱PD及底面邊長均為2，最長棱為PB =2√3。

點睛：三視圖中的線段長并不能簡單地認為就是棱的實際長度，當棱平行于所視方向時，看到的只是一個點，當棱斜對所視方向時，看到的長度小于實際長度，只有當棱垂直所視方向時，它代表的才是實際長度。

易錯點3——無法～斷翻折問題中角度的大小變化

例3 如圖6，在矩形ABCD中，AB =4，AD=3，E為邊AD上的一點，DE=1，現(xiàn)將△ABE沿直線BE折成△A' BE，使得點A'在平面BCDE上的射影在四邊形BCDE內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角A '-BE-C的大小為θ，直線A'B，A'C與平面BCDE所成的角分別為a，β，則（

）。

A. β

B.β<θ

C.a<θ<β

D.a<β<θ

錯解：A或B或C。

錯因剖析：翻折前后，對于長度、角度及相互的位置關(guān)系是否發(fā)生變化不能準確判斷，尤其是線面角、二面角的大小就更加難于辨別。

點睛：在判斷空間角度大小的時候，由角度的正切值可以知道，在高一樣的條件下，角度的大小等價于考慮射影的長短，射影越短而角度越大。

易錯點4——未能將空間問題“平面化”

錯因剖析：本題綜合性較強，條件多且復雜，難度大，要求考生具備扎實的基礎(chǔ)知識和邏輯推理能力，尤其是在“過動點P形成的兩條直線與平面a所成角相等”這個問題上需要合理的等價轉(zhuǎn)化，得到PB =2PA的數(shù)量關(guān)系，進一步獲得動點P的軌跡，最后通過數(shù)形結(jié)合找到結(jié)論所處的臨界位置獲得答案。

錯解：不能確定點G的正確軌跡，無法計算。

錯因剖析：如同例3，本題也是翻折問題下的一個動態(tài)問題，若能明確動點P的軌跡，卻不能確定CP的中點G的軌跡，倘若建立空間直角坐標系計算其軌跡運算量也不小，且有可能計算出錯。

正解：連接AF，交DE于點O，易知O是DE，AF的中點，則點P的軌跡是以O(shè)為圓心，Ao為半徑的半圓，其軌跡如圖11中的弧APF。依題意有AE=AD=2，所以AO=√2，故點P的軌跡長度為√2π。

連接AC，設(shè)AC的中點為G1，CF的中點為G2，連接G1G2，所以G2G2 //AF，由已知得G是CP的中點，連接GG1，GG2，AP，PF，則在點P運動的過程中GG1始終為△APC的中位線（因為GG1 //AP），GG2始終為△CPF的中位線（因為GG2 //PF），所以△GG1 G2∽△PAF。由相似三角形的性質(zhì)易知，點G運動的軌跡長度即弧G1 GG2的長度，為弧APF長度的一半，即動點G的軌跡長度為√2π/2。

點睛：在解析幾何中處理中點軌跡問題，相關(guān)點法是解決動點軌跡問題的一種常見方法，而本題中的點P與點G就是空間中的一組相關(guān)點，類比平面問題有助于解決空間問題，可有效提升空間想象力。

易錯點6——三棱錐體積問題中忽略了“等積變換”

例6 如圖12，在棱長為2的正方體ABCD -A1B1C1D1中，M是AD中點，動點P在底面ABCD內(nèi)（不包括邊界），使四面體A1 BMP的體積為2/3，則C1P的最小值是____ 。

錯解：考慮S△A1 MB為定值，轉(zhuǎn)化為點P到平面Ai BM的距離，由于平面A1 BM與平面ABCD的位置不利于計算，導致思路受阻，難以計算。

錯因剖析：不能多角度看問題，在考慮三棱錐的體積為定值的問題時，沒有合理地結(jié)合題目條件選擇恰當?shù)捻旤c和底面，盲目解題是導致錯誤的原因。

點睛：在處理三棱錐的體積問題時，等體積法是一種常見的方法，可以任選一個點作為頂點，對應的面作為底面，目的在于求出該三棱錐的底面面積或高。

（責任編輯 王福華）