淺談數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的AP微積分教學(xué)策略

胡祝齊

【摘要】AP課程是給高中生開設(shè)的、供學(xué)有余力的高中生選修的大學(xué)課程.通過國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材與AP微積分教材相應(yīng)內(nèi)容的對比，明確AP微積分側(cè)重的教學(xué)理念與知識點.嘗試以發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)，改進(jìn)教學(xué)策略，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，逐步形成課前學(xué)情測試、課中注重策略和課后加強(qiáng)反思的系統(tǒng)的教學(xué)模式.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);微積分;教學(xué)策略

【基金項目】本文系江西省2019年基礎(chǔ)教育研究課題之重點課題《基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的AP微積分教學(xué)實踐研究（課題編號：NCSXZD2019-066）》階段成果之一

AP微積分是美國大學(xué)先修課程中的一門.筆者在近六年的微積分教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)AP微積分的美方教材中較注重知識的廣度，但深度略有不足.學(xué)生通過學(xué)習(xí)可以掌握微積分的各類基礎(chǔ)知識，但是對知識的理解與數(shù)學(xué)抽象的水平?jīng)]有進(jìn)行相匹配的發(fā)展.美方教材的課后習(xí)題以基礎(chǔ)知識的舉一反三和基礎(chǔ)的應(yīng)用問題為主體，深層次的問題較少.本文嘗試對比美國AP微積分與國內(nèi)高中教材相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，嘗試從中國學(xué)科核心素養(yǎng)中，找到一些抓手，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

一、美國AP課程簡介

AP課程（美國大學(xué)先修課程）是在高中階段開設(shè)，供學(xué)有余力的高中生選修的具有大學(xué)學(xué)術(shù)標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)業(yè)水平的課程，在課程結(jié)束后，學(xué)生參加由美國教育考試中心（College Board）統(tǒng)一命題的全球考試.AP課程在全球90余個國家和地區(qū)同步進(jìn)行，通常在每年的五月進(jìn)行全球統(tǒng)一考試.成績按照5分制進(jìn)行判定，每年College Board會根據(jù)當(dāng)年學(xué)生的考試情況進(jìn)行劃線，分出5到1五個檔，考生如果考試分?jǐn)?shù)在3分或3分以上，那么可以在大學(xué)入讀前抵一部分學(xué)分.AP課程被視為高中的學(xué)術(shù)挑戰(zhàn)課程，學(xué)生如果可以修讀AP課程并獲得較好成績，會在大學(xué)申請中獲得較大關(guān)注.AP課程目前共開設(shè)了38門，包括數(shù)學(xué)類、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物、英語、政治等.AP數(shù)學(xué)類課程包括微積分AB、微積分BC和統(tǒng)計學(xué)，其中微積分AB和BC涉及的內(nèi)容主要有極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等.

二、AP微積分與國內(nèi)高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材相應(yīng)內(nèi)容的比較

AP微積分分為AB和BC兩類課程，其中微積分BC是微積分AB的延伸和拓展，一般微積分AB對應(yīng)大學(xué)本科一年級上學(xué)期的內(nèi)容，微積分BC對應(yīng)大學(xué)本科一年級一學(xué)年的內(nèi)容.課題組將美國AP微積分BC與國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材對應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，美國AP微積分BC課程比國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材的知識點要廣，應(yīng)用度要高，但是在相同知識點上，國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材要更深.

具體增加內(nèi)容表現(xiàn)在：在極限理論中，美國AP微積分BC增加了漸近線與無界的性質(zhì);在導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中，美國AP微積分BC增加了反函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及向量函數(shù)的求導(dǎo)，二階導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，函數(shù)的凹凸性及拐點，歐拉方法得到函數(shù)的近似解等;在積分內(nèi)容中，美國AP微積分BC增加了分部積分法、廣義積分、微分方程求解建模與黎曼和估值等.

三、AP微積分與國內(nèi)高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)教材相應(yīng)教學(xué)理念的比較

國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材側(cè)重一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)應(yīng)通過豐富的實際背景和具體實例引入導(dǎo)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生感悟極限思想、感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用，體會導(dǎo)數(shù)的意義.AP微積分側(cè)重用多種方式來理解微積分，比如圖示、數(shù)值、公式及文字描述等，同時強(qiáng)調(diào)了這四類表示之間的有機(jī)聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.在學(xué)科育人的視角下，AP微積分課程缺少明確的抓手;國內(nèi)高中以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為抓手，重點要求通過微積分學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng).

四、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角下的AP微積分教學(xué)策略

課題組以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為第二主線，AP微積分教學(xué)內(nèi)容為第一主線多次嘗試課堂實踐，例如指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的極坐標(biāo)系的概念，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的最小二乘估計，指向直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的立體幾何中的翻折問題等.

在“極坐標(biāo)系”一課中，課題組以狙擊手與觀察員的合作定位為切入點，觀察員通過望遠(yuǎn)鏡確定目標(biāo)對象位置后，告知狙擊手2點鐘方向，50米.隨后形成“這樣可以定位嗎？為什么？要素有哪些？可否嘗試畫圖？還有哪些補(bǔ)充？”等問題鏈.在實際背景中，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，抽象出極坐標(biāo)系的要素，充分體現(xiàn)將核心素養(yǎng)與知識相結(jié)合的目標(biāo).

在“最小二乘估計”一課中，課題組以神眼追蹤的現(xiàn)實素材為切入點，素材中公安局的足跡鑒定專家可以通過嫌疑人腳印的長度推斷出身高，于是提出課堂問題，即根據(jù)42碼的鞋能否預(yù)測此人身高？隨后以此設(shè)計問題鏈：鞋碼與身高是函數(shù)關(guān)系嗎？如何研究相關(guān)變量的關(guān)系？收集的數(shù)據(jù)如何分析？有了直觀猜想，如何建立模型驗證？一堂課，以實際問題開始，引出數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、統(tǒng)計反思、檢驗預(yù)測等環(huán)節(jié)，實現(xiàn)了核心素養(yǎng)與課堂教學(xué)的深度結(jié)合.

在多次教學(xué)嘗試后，課題組結(jié)合課堂效果、學(xué)生反饋與聽課感受，總結(jié)出如下教學(xué)流程圖（圖1）：

1.單元為本，完成課程目標(biāo)設(shè)計

教師根據(jù)College Board的課程理念與教材內(nèi)容，以單元為基本單位，進(jìn)行完整的教學(xué)設(shè)計，制訂出課時數(shù)量、知識與能力目標(biāo)的分層等，參照數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)分類分層，將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行對應(yīng)，在美國AP課程的基礎(chǔ)上，完成知識、能力、素養(yǎng)的三維課程目標(biāo)設(shè)計.例如在導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中，知識層面是對一元求導(dǎo)法則的理解，能力層面是對一元求導(dǎo)法則的運(yùn)用;素養(yǎng)層面是一元求導(dǎo)法則的來由，能否自行推導(dǎo)出求導(dǎo)法則.教師在有了三維課程目標(biāo)設(shè)計后，在課堂教學(xué)中，嘗試構(gòu)建情境、為學(xué)生實現(xiàn)推導(dǎo)法則的過程形成腳手架，跳出只講公式，不求理解的解題心態(tài).

2.學(xué)情測試，精準(zhǔn)掌握素養(yǎng)水平

為了精準(zhǔn)教學(xué)，教師在課前需要進(jìn)行學(xué)情測試.測試以問題為載體，以素養(yǎng)為導(dǎo)向，結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展進(jìn)行設(shè)計.在設(shè)計學(xué)情測試時，教師可以參考SOLO分類法理論模型進(jìn)行設(shè)計.例如在設(shè)計數(shù)學(xué)建模的學(xué)情測試時，參考普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個水平和SOLO分類法理論中的五類結(jié)構(gòu)層次.學(xué)情測試不一定要難倒學(xué)生，而要真實地反映學(xué)生的素養(yǎng)水平，因此要進(jìn)行適宜的設(shè)計，由易到難，由單個到聯(lián)結(jié).

3.豐富策略，為素養(yǎng)發(fā)展提供保障

根據(jù)學(xué)情測試的分析結(jié)果，教師應(yīng)從創(chuàng)設(shè)合理情境、嘗試多元表征、設(shè)計變式練習(xí)、使用信息技術(shù)四個教學(xué)策略出發(fā)，設(shè)計課堂教學(xué)，實現(xiàn)素養(yǎng)的發(fā)展.

合理情境一直是數(shù)學(xué)課堂的重心.

情境的意義在于將數(shù)學(xué)概念賦予生命力，有背景、有過程、有結(jié)論，能重現(xiàn)概念的產(chǎn)生與形成過程;能再現(xiàn)矛盾的產(chǎn)生與解決過程.例如在極坐標(biāo)系的教學(xué)中，除了課本上原有的海上定位實際背景外，以狙擊手定位目標(biāo)為背景更有利于概念的引入，實現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

多元表征是美國AP微積分教材中的教學(xué)重點.在教材中，強(qiáng)調(diào)對一個概念的理解要從圖示、表格、邏輯表達(dá)式與口語表達(dá)式四個維度開展.一個看似簡單的函數(shù)，在通過圖像、表格、解析式三個角度分析后，能讓學(xué)生有更立體的感受，能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

變式教學(xué)是我國顧泠沅教授在青浦教改實驗時提出的教學(xué)方法.通過近十年的探索，變式教學(xué)給青浦教育帶去了翻天覆地的變化.在微積分的教材中，題目的變式相對較淡薄，一般是教材中的例題給出的方法，在課后習(xí)題中可以直接套用，不需要過多轉(zhuǎn)換.除了教材外，全球AP統(tǒng)考題中的計算題也是以同類為主，只有在概念辨析時會有一定的變式.為了更深入地理解定理、法則、運(yùn)算方法，教師可以在課堂教學(xué)中融入變式教學(xué)，會有較好的效果.例如，為了理解微分方程的分離變量積分法，教師可以從基礎(chǔ)題型入手，設(shè)計變式題，融入基本求導(dǎo)公式與鏈?zhǔn)椒▌t，實現(xiàn)學(xué)生邏輯推理思維的發(fā)展;為了使學(xué)生理解related rates這個概念，教師可以從書中舉的體積、面積、角度、相似性等常規(guī)模型突破，嘗試融入其他背景元素，恰當(dāng)?shù)刈兪剑箤W(xué)生的概念理解實現(xiàn)深度化，能較好地遷移到新的背景中.

信息技術(shù)的使用是微積分教材中較為重視的一塊.每一節(jié)內(nèi)容后，均有相關(guān)知識在計算器中的實現(xiàn).一般國外推薦的計算器有Ti系列（德州儀器）、Casio（卡西歐）、HP（惠普）等.教師可以在開學(xué)前組織同學(xué)們按照自己的使用習(xí)慣進(jìn)行購買，在正式上課時，為了輔助教學(xué)的需要，可以直接用圖形計算器進(jìn)行計算，這不僅是常規(guī)的數(shù)值計算，還包括了函數(shù)圖像、立體幾何圖形等.例如，為了理解積分在旋轉(zhuǎn)體中的應(yīng)用，以Geogebra的3D繪圖或Ti-nspire圖形計算器為抓手，將復(fù)雜的幾何圖形立體化、直觀化、可視化，實現(xiàn)學(xué)生的直觀想象思維的發(fā)展.

4.課后鞏固，素養(yǎng)與思維的拓展與延伸

教師在課時任務(wù)完成后，除了指導(dǎo)學(xué)生完成教材中的作業(yè)外，需從思維導(dǎo)圖、自主命題和數(shù)學(xué)活動三個角度對學(xué)生的素養(yǎng)與能力進(jìn)行鞏固與提升.

思維導(dǎo)圖是表達(dá)發(fā)散性思維的有效圖形思維工具.在思維導(dǎo)圖的使用中，注重概念之間的邏輯連接，減少不重要的知識樹枝，關(guān)注知識主干.通過思維導(dǎo)圖，可以讓學(xué)生形成對知識的抽象化、結(jié)構(gòu)化和形象化.例如在微積分的極限、導(dǎo)數(shù)與積分三大塊中，學(xué)生通過梳理知識、理解方法與感悟素養(yǎng)，整理出如下思維導(dǎo)圖（圖2）：

在思維導(dǎo)圖的基礎(chǔ)上，我們設(shè)計了菜譜學(xué)習(xí)單，即以一道菜為標(biāo)準(zhǔn)，將所需的物品質(zhì)量和數(shù)目用數(shù)學(xué)知識來表達(dá)，通過數(shù)學(xué)知識來運(yùn)算求解，得出答案，完成菜品的制作.菜譜學(xué)習(xí)單有點類似原創(chuàng)題，但現(xiàn)在是將現(xiàn)實情境與解題進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.學(xué)生需要先列出有哪些知識點，知識點可以設(shè)計哪些計算題，得到大致怎樣的數(shù)據(jù)，再將所列情況與實際嘗試匹配，當(dāng)匹配度足夠高時，可以選擇相應(yīng)的菜完成菜譜制作.樣例如下（圖3）：

總之，教師在AP微積分的教學(xué)中，應(yīng)以單元設(shè)計為框架，細(xì)化至課時設(shè)計，從知識、能力、素養(yǎng)三個維度進(jìn)行解構(gòu)，課前注重前端調(diào)研，課中瞄準(zhǔn)策略運(yùn)用，課后引導(dǎo)活動升華，循環(huán)往復(fù)，逐步推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬雪波.核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2019，013（005）：20.