立足學(xué)情·立意素養(yǎng)·立德樹(shù)人
——以“網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題”專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例

孫 凱

（江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校）

以正方形網(wǎng)格為背景的試題是近幾年比較熱門(mén)的中考新題型，其具有立意新穎、綜合性強(qiáng)、思維含量高的特點(diǎn).這類(lèi)試題從考查形式層面來(lái)看，主要是畫(huà)圖操作和計(jì)算求解兩種形式；從考查知識(shí)層面來(lái)看，主要涉及勾股定理、銳角三角函數(shù)、全等三角形、相似三角形、圓等知識(shí)；從考查技能層面來(lái)看，主要是考查學(xué)生的計(jì)算、作圖、推理等能力；從考查數(shù)學(xué)思想方法層面來(lái)看，表現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合、模型思想、遷移化歸等方面；從考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面來(lái)看，主要體現(xiàn)在直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)上.因此，這類(lèi)試題對(duì)學(xué)生的觀察、分析、建模、化歸等能力的要求較高，在中考復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視.筆者曾在區(qū)教研室組織的中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)活動(dòng)中開(kāi)設(shè)了一節(jié)“網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題”的中考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，教學(xué)效果良好.現(xiàn)整理成文，以期與各位同仁交流探討.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題.

內(nèi)容解析：所謂網(wǎng)格，是指由若干個(gè)單位長(zhǎng)度為1的正方形（或菱形）組成的網(wǎng)格圖.蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中有很多以網(wǎng)格為背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題.例如，利用網(wǎng)格的特殊性，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)已知直線的平行線、垂線，在網(wǎng)格中畫(huà)出將已知圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、位似后的對(duì)應(yīng)圖形，等等.網(wǎng)格的特殊性表現(xiàn)為直觀性、操作性、內(nèi)隱性，這種特性有利于考查學(xué)生的識(shí)圖、操作、分析、歸納、想象、探究等能力，因此受到中考命題者的青睞.以網(wǎng)格為背景的中考試題，多以計(jì)算的形式呈現(xiàn)，如求線段的長(zhǎng)度或求角的銳角三角函數(shù)值等.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：（1）認(rèn)識(shí)網(wǎng)格的特殊性，正確進(jìn)行畫(huà)圖操作，在操作中體驗(yàn)網(wǎng)格的特殊性；（2）應(yīng)用網(wǎng)格的特點(diǎn)，會(huì)合理建構(gòu)直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題，在主動(dòng)完成學(xué)習(xí)任務(wù)的活動(dòng)過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

目標(biāo)解析：在有關(guān)網(wǎng)格型中考試題的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能巧妙地利用網(wǎng)格進(jìn)行分析、操作、化歸，面對(duì)待解決的問(wèn)題，常常出現(xiàn)束手無(wú)策的現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因是學(xué)生對(duì)網(wǎng)格的特殊性認(rèn)識(shí)不足，無(wú)法將題目中提供的網(wǎng)格信息與待解決的問(wèn)題建立有效關(guān)聯(lián)，無(wú)法突破認(rèn)知障礙，導(dǎo)致學(xué)習(xí)困惑.網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題作為中考二輪復(fù)習(xí)的一個(gè)專(zhuān)題，其關(guān)鍵詞有兩個(gè)，分別是“網(wǎng)格”和“計(jì)算”.顯然，解決網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的首要任務(wù)是認(rèn)識(shí)網(wǎng)格.只有充分認(rèn)識(shí)并理解網(wǎng)格的特殊性，才能解決好計(jì)算問(wèn)題，而計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵是求線段長(zhǎng)度，能求出網(wǎng)格中線段的長(zhǎng)度，圖形的相關(guān)問(wèn)題也會(huì)迎刃而解.因此，本節(jié)課通過(guò)認(rèn)識(shí)網(wǎng)格、操作體驗(yàn)、應(yīng)用網(wǎng)格、網(wǎng)格拓展等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)引思解惑、提升能力、立德樹(shù)人的復(fù)習(xí)目的.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生對(duì)網(wǎng)格有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)網(wǎng)格中數(shù)量、位置關(guān)系有初步認(rèn)識(shí)，能借助網(wǎng)格解決較為簡(jiǎn)單的畫(huà)圖操作類(lèi)任務(wù)，但對(duì)于復(fù)雜情境下的圖形問(wèn)題，應(yīng)對(duì)能力不足，利用網(wǎng)格分析和解決問(wèn)題的策略欠缺.其中部分學(xué)生具備整體上的建構(gòu)意識(shí)，會(huì)嘗試性地建構(gòu)直角三角形解決相關(guān)問(wèn)題.但是在如何建構(gòu)合適的直角三角形時(shí)，常常遇到困惑，難以有效突破認(rèn)知障礙.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.認(rèn)識(shí)網(wǎng)格

問(wèn)題1：如圖1，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.從幾何圖形的視角，說(shuō)一說(shuō)從網(wǎng)格上能獲取哪些直觀的信息？

圖1

追問(wèn)：還能獲取哪些間接的信息？

【設(shè)計(jì)意圖】網(wǎng)格問(wèn)題為幾何直觀提供了有效載體.呈現(xiàn)正方形網(wǎng)格，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從直觀上認(rèn)識(shí)正方形網(wǎng)格上的外顯信息，如點(diǎn)（格點(diǎn)）、線（平行線、垂線）、面（正方形、矩形）等，并以單個(gè)正方形的特殊性作為起點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生感悟正方形網(wǎng)格特殊性的本質(zhì)屬性.再通過(guò)追問(wèn)，誘發(fā)學(xué)生對(duì)網(wǎng)格中內(nèi)隱信息的思考，如格點(diǎn)線段（對(duì)角線、相交線、平行線）、格點(diǎn)三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）等，以幫助學(xué)生從外顯與內(nèi)隱兩個(gè)層面進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正方形網(wǎng)格的特殊性，解決“什么是網(wǎng)格”的首要問(wèn)題，為后續(xù)計(jì)算的探索做好充分的準(zhǔn)備.

2.操作體驗(yàn)

問(wèn)題2：如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

（1）任意連接兩個(gè)格點(diǎn)，可以得到一些線段，并說(shuō)出它的長(zhǎng)度；

（2）在正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出一個(gè)直角三角形，使其三條邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)；

（3）在正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出一個(gè)平行四邊形，使其四條邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù).

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】網(wǎng)格背景下的作圖，給了學(xué)生多角度探究的空間.根據(jù)具體的學(xué)習(xí)任務(wù)，動(dòng)手操作，體驗(yàn)正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)線段（內(nèi)隱型）的求解方法，感受直角三角形在網(wǎng)格計(jì)算中的重要作用.在正方形網(wǎng)格中畫(huà)出滿足條件的直角三角形和平行四邊形，意在讓學(xué)生回顧在網(wǎng)格中建構(gòu)垂直與平行的基本方法，實(shí)現(xiàn)在操作體驗(yàn)中認(rèn)識(shí)網(wǎng)格、理解網(wǎng)格、掌握方法的目的.

3.應(yīng)用網(wǎng)格

問(wèn)題3：如圖3，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格單位長(zhǎng)度為1，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格圖找出格點(diǎn)C.

圖3

（1）使△ABC是以AB為腰的等腰三角形；

（2）使△ABC的面積為2個(gè)平方單位.

【設(shè)計(jì)意圖】借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主完成找格點(diǎn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，培養(yǎng)分類(lèi)討論思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)有序地分析與思考，有條理地表達(dá)與展示.在自主參與的操作活動(dòng)中，體會(huì)網(wǎng)格中的平行線、矩形對(duì)角線的使用價(jià)值，學(xué)會(huì)運(yùn)用輔助線分析和解決問(wèn)題.

問(wèn)題4：如圖4，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn).（教師先讓學(xué)生試著提出一些計(jì)算的問(wèn)題并解決，然后再出示以下問(wèn)題.）

圖4

（1）試畫(huà)出△ABC外接圓的圓心，并寫(xiě)出外接圓的半徑r的值為_(kāi)_____.

（2）求sin∠ACB和tan∠CAB的值.

（3）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C，試畫(huà)出△A1B1C.

（4）若用扇形CAA1圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____.

【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)設(shè)學(xué)生提出的計(jì)算問(wèn)題為求△ABC的周長(zhǎng)、面積，求sin∠ACB，畫(huà)△ABC的平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形等.通過(guò)采用開(kāi)放性的問(wèn)題設(shè)計(jì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，深化對(duì)網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的認(rèn)識(shí).網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多，既沒(méi)辦法也沒(méi)必要逐個(gè)呈現(xiàn).在教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)一些具有代表性的計(jì)算問(wèn)題，讓學(xué)生解決具有典型性、關(guān)聯(lián)性的關(guān)鍵問(wèn)題即可.例如，此題第（2）小題，要求sin∠ACB的值，需要找直角三角形，此題中的直角三角形比較直觀，相對(duì)簡(jiǎn)單.接著求tan∠CAB時(shí)，沒(méi)有直接可以用的直角三角形，此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣建構(gòu)直角三角形（格點(diǎn)直角三角形），同時(shí)，思考為什么這樣建構(gòu)，還可以怎樣建構(gòu)，并思考非格點(diǎn)直角三角形的建構(gòu)方法，學(xué)會(huì)求網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)（線段）的通解、通法.

問(wèn)題5：如圖5，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)O.

求：（1）tan∠AOD的值為_(kāi)_____；

（2）∠BAC+∠EFG的值為_(kāi)_____.

圖5

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題4中，三角形兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而此題中∠AOD的頂點(diǎn)不是格點(diǎn)，求tan∠AOD的值的難度更大.此時(shí)，學(xué)生需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是把∠AOD的頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移至格點(diǎn)上；二是圍繞∠AOD建構(gòu)直角三角形.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如何轉(zhuǎn)移？為什么這樣轉(zhuǎn)移？還可以怎樣轉(zhuǎn)移？同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的轉(zhuǎn)移方案及構(gòu)造直角三角形的方法，最終歸納為線段平行和垂直的本質(zhì)問(wèn)題.此題第（2）小題是關(guān)于兩個(gè)角的拼合問(wèn)題，意在引導(dǎo)學(xué)生思考“面”的平移方法.

4.網(wǎng)格拓展

問(wèn)題6：如圖6，由形狀、大小相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).已知菱形的一個(gè)角（∠O）為60°，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為_(kāi)___.

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題多以正方形網(wǎng)格為背景，此處把學(xué)習(xí)任務(wù)拓展至菱形網(wǎng)格，使問(wèn)題更具挑戰(zhàn)性.學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中，需要掌握解決網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的一般策略.

5.小結(jié)思考

問(wèn)題7：想一想，解決網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？試以邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格為背景（如圖7），創(chuàng)編一道計(jì)算問(wèn)題.

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)流程，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思性總結(jié)，聚焦計(jì)算網(wǎng)格問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，即求直角三角形中的線段長(zhǎng)，解決了關(guān)鍵點(diǎn)，其他計(jì)算問(wèn)題都可以順利完成.最后讓學(xué)生經(jīng)歷正方形網(wǎng)格背景計(jì)算問(wèn)題的創(chuàng)編過(guò)程，真正把“學(xué)為中心”的教學(xué)理念落到實(shí)處，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，讓不同層次的學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上都有不同程度的發(fā)展.

6.檢測(cè)反饋

略.

五、教學(xué)反思

1.立足學(xué)情，引思解惑助重構(gòu)

專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)做到“眼里有學(xué)生”，也就是常說(shuō)的“學(xué)為中心”的教學(xué)理念.以網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題作為專(zhuān)題復(fù)習(xí)的主題，緣起于2017年江蘇省無(wú)錫市數(shù)學(xué)中考試卷第18題，學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)感到困惑，束手無(wú)策，這引起了筆者的注意.

題目（2017年江蘇·無(wú)錫卷第18題）如圖8，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)O，則tan∠BOD的值為_(kāi)___.

分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要困惑于如何轉(zhuǎn)移∠BOD，以及轉(zhuǎn)移后如何構(gòu)造直角三角形兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題上.另外，兩條比較長(zhǎng)的格點(diǎn)線段在一定程度上干擾了學(xué)生的思考，導(dǎo)致大部分學(xué)生難以正確解答此題.基于以上學(xué)情分析，筆者以網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題為專(zhuān)題，從低起點(diǎn)的認(rèn)識(shí)網(wǎng)格活動(dòng)開(kāi)始，引導(dǎo)學(xué)生逐步經(jīng)歷操作體驗(yàn)、應(yīng)用網(wǎng)格等活動(dòng)環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)螺旋上升式的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生從低階思維向高階思維發(fā)展，鼓勵(lì)學(xué)生反思解決問(wèn)題的策略，挖掘網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的內(nèi)在屬性，幫助學(xué)生重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖8

2.立意素養(yǎng)，立德樹(shù)人促成長(zhǎng)

網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的專(zhuān)題復(fù)習(xí)涉及的知識(shí)點(diǎn)比較分散，教師不可能講的面面俱到.專(zhuān)題復(fù)習(xí)課不是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單回顧與堆砌，也不是大量練習(xí)的組合再現(xiàn)，這會(huì)使專(zhuān)題復(fù)習(xí)課缺乏人文性和教育性，索然無(wú)味.網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)立意于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，努力使學(xué)生在完成專(zhuān)題學(xué)習(xí)任務(wù)的過(guò)程中，通過(guò)觀察、想象、操作、歸納、分析等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的教學(xué)目的.例如，在問(wèn)題5的教學(xué)中，通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、主動(dòng)操作、積極展示等活動(dòng)過(guò)程，探索“角”轉(zhuǎn)移的不同方法及路徑，一題多解，方法靈活多樣，最終實(shí)現(xiàn)方法歸一，即都要通過(guò)建構(gòu)直角三角形解決邊、角計(jì)算的問(wèn)題，整個(gè)過(guò)程有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).又如，在整節(jié)課的計(jì)算問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，依據(jù)勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，求得運(yùn)算結(jié)果的過(guò)程，就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過(guò)程.

總之，網(wǎng)格型計(jì)算問(wèn)題的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課是為了解決學(xué)生的困惑而開(kāi)設(shè)的.在學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識(shí)網(wǎng)格、操作體驗(yàn)、理解網(wǎng)格，并學(xué)會(huì)運(yùn)用網(wǎng)格解決實(shí)際問(wèn)題的復(fù)習(xí)過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)立德樹(shù)人的復(fù)習(xí)目標(biāo).