改善幾何學(xué)習(xí)初體驗(yàn)

金曉群

（浙江省青田縣第二中學(xué)）

學(xué)習(xí)體驗(yàn)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著深刻的影響，某個(gè)領(lǐng)域起始內(nèi)容的學(xué)習(xí)尤為如此.浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）第六章“圖形的初步知識(shí)”是初中學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的起始章，學(xué)好這一章對(duì)于后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)具有重要意義.筆者立足幾何起始章的教學(xué)實(shí)踐，從六個(gè)方面提煉出改善學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的做法，希望給教師的教、學(xué)生的學(xué)帶來(lái)有益的啟示.

一、引導(dǎo)動(dòng)手操作，改善概念引入體驗(yàn)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求.概念的引入是概念教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，它在很大程度上將決定概念教學(xué)的成敗.在幾何教學(xué)的起始階段，教師可以嘗試讓學(xué)生運(yùn)用動(dòng)手操作的方式引入概念.

案例1：幾何圖形.

教材“6.1幾何圖形”是初中幾何的起始課.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出幾何圖形的過(guò)程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體；了解幾何體與立體圖形的概念，了解平面與平面圖形的概念.教師將教材上的點(diǎn)、線、面、體、幾何圖形、立體圖形、平面圖形等概念，以文字的形式介紹給學(xué)生當(dāng)然不難，但是學(xué)生的體驗(yàn)可能會(huì)不好.教師將這些概念的本質(zhì)講清楚，并落實(shí)到學(xué)生心里，又幾乎不可能.因此，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)體驗(yàn)幾何概念是一種有效途徑.

具體做法如下：教師在課前布置課外作業(yè)，要求每人制作一個(gè)立體幾何模型，材料不限.課堂上，將班級(jí)學(xué)生分成8個(gè)小組進(jìn)行成果展示，要求每組派出三名學(xué)生.一名學(xué)生為制作者，簡(jiǎn)要說(shuō)明幾何體的材質(zhì)及制作方法；一名學(xué)生為介紹者，介紹幾何體的特點(diǎn)；一名學(xué)生為畫(huà)圖者，把幾何體表現(xiàn)在黑板平面上，各組展示的內(nèi)容不能重復(fù).學(xué)生的課堂展示詳情如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

學(xué)生展示之后，已基本完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).而且在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能認(rèn)識(shí)到“幾何研究是不考慮物質(zhì)的構(gòu)成材料和顏色的，只研究它們的形狀、大小和位置關(guān)系”.合理、適度的動(dòng)手操作既能帶給學(xué)生良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，又能提升學(xué)生的思維水平.

二、活用輔助軟件，改善概念辨析體驗(yàn)

信息時(shí)代背景下，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)不能只局限在自制教具上，電腦軟件的支持必不可少.教材第六章“閱讀材料”中介紹的幾何畫(huà)板軟件就是一款被一線教師廣泛使用的教學(xué)輔助軟件.若教師能靈活運(yùn)用這類(lèi)軟件，且用得恰到好處，就能改善學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn).特別地，運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件能使學(xué)生更好地理解“圖形變化中保持既定的關(guān)系不變”這一特點(diǎn)，給學(xué)生在概念辨析環(huán)節(jié)帶來(lái)良好的體驗(yàn).

案例2：余角和補(bǔ)角.

在教材“6.8余角和補(bǔ)角”一節(jié)中，掌握余角和補(bǔ)角的概念是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).現(xiàn)在以余角的概念的教學(xué)為例來(lái)說(shuō)明.

教師先展示圖3，以∠1和∠2為例，下定義：如果兩個(gè)銳角的和是一個(gè)直角，則這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱(chēng)互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)的余角.這是傳統(tǒng)的處理方式，但僅止步于此，會(huì)使學(xué)生對(duì)概念的理解處在似懂非懂的表層，哪怕有大量后續(xù)的練習(xí)糾偏，學(xué)習(xí)體驗(yàn)卻也不盡如人意.

圖3

在備課階段，教師可以運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件制作動(dòng)態(tài)效果，使∠2能隨意平移，也能繞它的頂點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn).在課堂上展示了兩個(gè)角互余的定義之后，教師借助幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行如下的操作環(huán)節(jié)：操作①，將圖4（1）中的∠2向左平移，如圖4（2）所示；操作②，將圖4（2）中的∠2繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖4（3）所示；操作③，將圖4（3）中的∠2再次繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖4（4）所示；操作④，將圖4（4）中的∠2繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠2與∠1一邊重合，如圖4（5）所示；操作⑤，將圖4（5）中的∠2繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使∠2在∠1內(nèi)部，如圖4（6）所示.在完成每一步操作之后，都請(qǐng)學(xué)生判斷∠2與∠1是否互余.

圖4

以上通過(guò)幾何畫(huà)板軟件實(shí)現(xiàn)的圖形變化自然、連續(xù)，畫(huà)面干凈、簡(jiǎn)練，又蘊(yùn)含數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的注意力牢牢地聚焦在∠2和∠1上，既容易又深刻地理解了余角概念的本質(zhì)，即兩個(gè)角是否互余，只與這兩個(gè)角的大小有關(guān)，與它們的位置無(wú)關(guān).這比只用黑板或投影上的靜止圖形來(lái)介紹余角的概念，然后通過(guò)大量練習(xí)來(lái)彌補(bǔ)學(xué)生對(duì)概念理解的不足的學(xué)習(xí)體驗(yàn)要好得多.無(wú)需多言，補(bǔ)角的概念也可以仿照學(xué)習(xí).

三、自制簡(jiǎn)易教具，改善技能習(xí)得體驗(yàn)

大部分剛進(jìn)入初中的學(xué)生的抽象思維還是比較弱的.因此，在課堂上，教師應(yīng)該預(yù)見(jiàn)到學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)會(huì)遇到的障礙，重視直觀教學(xué)在引領(lǐng)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中的作用.而運(yùn)用自制的簡(jiǎn)易教具改善學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)體驗(yàn)不失為一種可行、貼心的嘗試.

案例3：線段的長(zhǎng)短比較.

在教材“6.3線段的長(zhǎng)短比較”中，有如下例題：如圖5，已知線段a，用直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于已知線段a.

圖5

這是初中學(xué)生第一次遇到尺規(guī)作圖.一般情況下，教師都是用刻度尺代替直尺，用圓規(guī)直接量取線段.這對(duì)理解能力強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)自然沒(méi)什么問(wèn)題，而對(duì)學(xué)困生而言，他們往往并沒(méi)有真正理解尺規(guī)作圖的內(nèi)涵.在教學(xué)此題時(shí)，筆者在課前準(zhǔn)備了一根用硬紙板做成的無(wú)刻度直尺和一根繩子，并進(jìn)行如下教學(xué).

師：尺規(guī)作圖中的直尺指的就是這樣沒(méi)有刻度的尺子.大家沒(méi)有這樣的尺子怎么辦呢？當(dāng)然，也可以用刻度尺，只要“假裝”沒(méi)有看見(jiàn)刻度即可.現(xiàn)在，我們一起來(lái)作圖.首先，用直尺任意畫(huà)一條射線AC，其次，在射線AC上截取AB=a.由于不用刻度尺了，可以用繩子確定線段AB，相當(dāng)于把線段a“復(fù)制粘貼”在射線AC上.

事實(shí)上，圓規(guī)兩個(gè)腳尖也能確定一條線段.使用圓規(guī)截取線段，不但效果一樣，還更加優(yōu)雅.

萬(wàn)事開(kāi)頭難.如何在學(xué)生第一次遇到尺規(guī)作圖時(shí)就簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確地介紹這種方法呢？教師借助這些自制教具，可以在輕松愉快的氛圍中，自然、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練地介紹清楚直尺的準(zhǔn)確含義、圓規(guī)的本質(zhì)功能和刻度尺代替直尺的合理性等問(wèn)題.自制教具的準(zhǔn)備工作非常簡(jiǎn)單，甚至簡(jiǎn)陋，隨手拈來(lái)，卻能讓學(xué)生體驗(yàn)到親切，更重要的是讓學(xué)生理解問(wèn)題更為透徹，可以說(shuō)是“小付出，大回報(bào)”.

四、善用類(lèi)比教學(xué)，改善思路探求體驗(yàn)

類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要手段.在解題教學(xué)中，運(yùn)用類(lèi)比的方法也能提高效率，達(dá)到事半功倍的效果，同時(shí)，也能使學(xué)生獲得不斷成功的良好體驗(yàn).在教材第六章“圖形的初步知識(shí)”中，涉及到大量的線段和角相關(guān)的計(jì)算，使學(xué)生感到煩瑣、厭倦.事實(shí)上，線段的計(jì)算與角的計(jì)算在方法和策略上有很多相似之處，甚至可以說(shuō)是一樣的.因此，不妨運(yùn)用類(lèi)比的方法嘗試解決問(wèn)題.

案例4：線段和角的計(jì)算問(wèn)題.

關(guān)于線段的計(jì)算有如下一道題目.

1.如圖6，已知線段AB=10，BP=4，M，N分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.

圖6

變式1：若圖6中線段AB=10，BP=3，M，N分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.

當(dāng)BP的值未知時(shí)，完成變式2和變式3.

變式2：如圖7，已知線段AB=10，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，M，N分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.

圖7

變式3：如圖8，已知線段AB=10，點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，M，N分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.

圖8

由此，你能得到什么結(jié)論？

關(guān)于角的計(jì)算有如下一道題目.

2.如圖9，已知 ∠AOB=70°，∠BOC=20°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOC的平分線，求∠MON的度數(shù).

圖9

變式1：若圖9中 ∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOC的平分線，求∠MON的度數(shù).

當(dāng)∠BOC的度數(shù)未知時(shí)，完成變式2和變式3.

變式2：如圖10，已知∠AOB=70°，射線OC在∠AOB的外部、且在OB的下方，OM，ON分別是∠AOC，∠BOC的平分線，求∠MON的度數(shù).

圖10

變式3：如圖11，已知∠AOB=70°，射線OC在∠AOB的外部、且在OB的上方，OM，ON分別是∠AOC，∠BOC的平分線，求∠MON的度數(shù).

由此，你能得到什么結(jié)論？

以上兩個(gè)題組，一個(gè)以線段為背景，一個(gè)以角為背景；一個(gè)以線段的中點(diǎn)為核心條件，一個(gè)以角的平分線為核心條件.表面上看似乎有些不同，實(shí)際上思路幾乎一樣.實(shí)際上，這就是引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)“多題一解”，意義深遠(yuǎn).因?yàn)橛辛诉@種意識(shí)，學(xué)生慢慢地可以從題海中解放出來(lái)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是一種沉重的負(fù)擔(dān).長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也可以穩(wěn)步提升.

五、寬容不同表達(dá)，改善推理書(shū)寫(xiě)體驗(yàn)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理尤其是演繹推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).由于七年級(jí)學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)寫(xiě)幾何推理過(guò)程，要書(shū)寫(xiě)嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的演繹推理過(guò)程還有一定的困難.基于這樣的考慮，在幾何學(xué)習(xí)的起始階段，教師不妨寬容地看待學(xué)生的各種推理表達(dá).

案例5：直線的相交.

教材“6.9直線的相交”中有如下一道要求書(shū)寫(xiě)推理的例子.

如圖12，已知直線AD與BE相交于點(diǎn)O，∠DOE與∠COE互余，∠COE=62°.求∠AOB的度數(shù).

圖12

規(guī)范書(shū)寫(xiě)如下：

∵∠DOE與∠COE互余，（已知）

∴∠DOE+∠COE=90°.（互余的意義）

∵∠COE=62°，（已知）

∴∠DOE=90°-∠COE=90°-62°=28°.

∵∠AOB與∠DOE是對(duì)頂角，（已知）

∴∠AOB=∠DOE=28°.（對(duì)頂角相等）

生1書(shū)寫(xiě)如下：

180°-90°-62°=28°.

生2書(shū)寫(xiě)如下：

∵互余的兩個(gè)角的和為90°，

∴∠DOE=28°.

∵對(duì)頂角相等，

∴∠AOB=∠DOE=28°.

生1書(shū)寫(xiě)的就是一個(gè)算式，小學(xué)的痕跡非常明顯；生2把本應(yīng)寫(xiě)在每一行末尾的推理理由寫(xiě)在前面.雖然這些演繹推理的書(shū)寫(xiě)過(guò)程與教材展示的規(guī)范書(shū)寫(xiě)有一定的差距，但也能看出學(xué)生的思路還是正確的.學(xué)生能正確使用幾何語(yǔ)言，并形成完整、規(guī)范的推理書(shū)寫(xiě)需要一個(gè)過(guò)程.在初中幾何學(xué)習(xí)的起始階段，教師不能操之過(guò)急.教師要尊重學(xué)生的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，再加以引導(dǎo)，并通過(guò)學(xué)生書(shū)寫(xiě)中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤，向?qū)W生解釋“為什么要展示已知條件”“為什么要寫(xiě)理由”，有理有節(jié)、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生掌握規(guī)范的推理方式.

六、借助創(chuàng)意專(zhuān)題，改善幾何復(fù)習(xí)體驗(yàn)

復(fù)習(xí)課占總課時(shí)的比例是比較大的.以七年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)課為例，一個(gè)學(xué)期的課時(shí)數(shù)約為100節(jié)，而教材六章共計(jì)新授課46節(jié)，也就意味著有超過(guò)50%的課是復(fù)習(xí)課.于學(xué)生而言，對(duì)新授課的好感遠(yuǎn)勝于復(fù)習(xí)課.原因是復(fù)習(xí)課總是“知識(shí)點(diǎn)+習(xí)題”“做試卷”，感覺(jué)枯燥、乏味.教師要想讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，還需要對(duì)復(fù)習(xí)課本身進(jìn)行改變，而創(chuàng)意復(fù)習(xí)就是一項(xiàng)有意義的實(shí)踐.

案例6：“圖形的初步知識(shí)”一章的創(chuàng)意復(fù)習(xí).

幾何起始章的創(chuàng)意復(fù)習(xí)對(duì)于改善學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)體驗(yàn)也有著重要的作用.教材第六章“圖形的初步知識(shí)”共有10個(gè)課時(shí)的新授課，在本章的復(fù)習(xí)階段，筆者設(shè)計(jì)了11節(jié)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，如下表所示.

序號(hào)1 2 3 4 5創(chuàng)意復(fù)習(xí)標(biāo)題演繹推理初體驗(yàn)數(shù)軸上的線段數(shù)數(shù)角與線段的類(lèi)比發(fā)揮字母的力量主要內(nèi)容或?qū)W習(xí)目標(biāo)初步掌握演繹推理的格式探索線段的長(zhǎng)度、線段的中點(diǎn)與數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的關(guān)系圖形計(jì)數(shù)，規(guī)律探索學(xué)會(huì)解決關(guān)于角、線段的典型習(xí)題嘗試用設(shè)“元”的方法解決較難的幾何問(wèn)題意義初步掌握演繹推理基本功提升代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用能力以幾何圖形為背景，鍛煉概括歸納能力，并加深對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)嘗試多題一解，豐富解題經(jīng)驗(yàn)以數(shù)助形，感悟代數(shù)與幾何的聯(lián)系

續(xù)表

這些復(fù)習(xí)課有主題、有思維、有挑戰(zhàn)、有創(chuàng)新，進(jìn)而也就有品質(zhì)、有品位.這種“意料之外，又情理之中”的復(fù)習(xí)帶給學(xué)生的體驗(yàn)是僵硬的“昨日重現(xiàn)”式復(fù)習(xí)所不能比擬的.按照這樣的復(fù)習(xí)，學(xué)生不僅能自然地回憶、鞏固本章基礎(chǔ)知識(shí)，而且能把一學(xué)期甚至更多的已學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，還能開(kāi)闊視野，真正做到“溫故而知新”.

良好的開(kāi)端是成功的一半.學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的起始階段就獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，必將對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的積極影響.改善學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，一方面，可以使學(xué)生在課堂上保持良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而提升學(xué)習(xí)效果；另一方面，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，關(guān)注學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，為學(xué)生的終身發(fā)展打下良好基礎(chǔ).