“轉(zhuǎn)變”圖形悟通法 “網(wǎng)鏈”本源促深思

溫晶晶，蘇 斌

（浙江省溫州市第三十九中學(xué)；浙江省溫州市教育教學(xué)研究院附屬學(xué)校教育集團(tuán)江濱分校）

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維.若學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有經(jīng)歷深刻的思維活動，就無法將教材知識完全融入自身認(rèn)知體系.學(xué)生一聽就懂、一看就會、一做就錯的現(xiàn)象屢見不鮮.究其根源，還在于學(xué)生一味被動聽講，卻很少真正地思考和總結(jié)數(shù)學(xué)知識的本源及其附屬的基本圖形與思想方法.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞核心問題探查知識之間的相互關(guān)聯(lián)，在充分理解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展遷移，力求觸及數(shù)學(xué)問題的學(xué)科本質(zhì)，并在此過程中提高問題解決能力的高階思維訓(xùn)練過程.

筆者在日常課堂教學(xué)實(shí)踐中不斷探索并運(yùn)用多種策略，以期達(dá)到提升學(xué)生思維深度的目的.以下筆者結(jié)合公開課——“玩轉(zhuǎn)全等三角形”的教學(xué)片斷，例談如何在數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中踐行深度學(xué)習(xí)理念，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

二、深度學(xué)習(xí)實(shí)施策略

1.開放問題引路，活化學(xué)生思維

以題組為載體，引導(dǎo)學(xué)生對某一知識點(diǎn)或技能方法進(jìn)行深入思考和靈活運(yùn)用，可以加深學(xué)生對知識的理解.開放性問題能驅(qū)動學(xué)生思維有效發(fā)散.一個好的開放性問題可以喚起想象力、吸引注意力、激發(fā)創(chuàng)造力.教師可以在此基礎(chǔ)上將學(xué)生的思維全面打開，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.教師設(shè)計(jì)問題時應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生的知識基礎(chǔ)，通過問題的精準(zhǔn)定位激活學(xué)生的探求欲望，借助探討過程提升學(xué)生對舊知的理解，為新知的學(xué)習(xí)找到認(rèn)知起點(diǎn)和努力方向，實(shí)現(xiàn)新、舊知識的無痕對接.

例如，本節(jié)課通過線隨角轉(zhuǎn)，做實(shí)基礎(chǔ)知識.具體如下.

所謂“拉手三角形”，是指有公共頂角的兩個相似等腰三角形，因其兩對腰共用一個端點(diǎn)而形似牽在一起的兩雙手而得名.拉手三角形下承全等三角形基礎(chǔ)知識，上啟半角旋轉(zhuǎn)問題思路，蘊(yùn)涵化歸、類比等求解幾何探究題常用的技能與思想方法.圍繞此類核心基礎(chǔ)知識設(shè)置開放性問題，可以讓學(xué)生在特殊位置探究和一般結(jié)論找尋的過程中體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)力.

題目1如圖1，在線段CD上取一點(diǎn)A，分別以AC，AD為邊向上作等邊三角形ABC和三角形ADE，試在連接兩條線段后，找到一組全等三角形，并說明全等的理由.（圖1中虛線為學(xué)生所連線段，下同.）

圖1

如圖2和圖3，依次給出三對有公共頂點(diǎn)的特殊三角形，要求學(xué)生添加兩條線段構(gòu)造全等三角形.從位置的改變到形狀的演變，讓學(xué)生感受其中不變的全等關(guān)系.

圖2

圖3

從最特殊的等邊三角形出發(fā)，融入共頂點(diǎn)、三點(diǎn)共線等幾何特性，低起點(diǎn)，緩坡度，便于入手，讓每位學(xué)生參與到課堂思考中.緊接著，保留以上兩個等邊三角形的共頂點(diǎn)特性，利用旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生位置上的變化，引導(dǎo)學(xué)生抓住動態(tài)過程中不變的全等關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.然后將兩個等邊三角形改為等腰直角三角形，通過形狀的演變讓學(xué)生進(jìn)一步積累解題經(jīng)驗(yàn)，于變中求不變，為后續(xù)問題的求解提供思路.所有特殊位置的證明或求解過程都是為一般結(jié)論的得出創(chuàng)造有利條件，經(jīng)過前期對相關(guān)知識和方法的周密布置和演練，深度學(xué)習(xí)契機(jī)的到來也變得順理成章.

題目2如圖4，△ABC和△ADE為等腰三角形，AB=AC，AE=AD，你能在連接兩條線段后，找到一組全等三角形嗎？如果能，寫出證明過程；如果不能，指出所缺條件.

圖4

將題目1的已知條件弱化為一般等腰三角形，讓學(xué)生上臺板演證明過程.學(xué)生寫到一半發(fā)現(xiàn)缺少條件，無法繼續(xù)，說明條件過度弱化使圖形失去原有性質(zhì)，需稍加強(qiáng)化.通過深入引導(dǎo)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)兩個等腰三角形的頂角必須相等，在認(rèn)知沖突的形成與化解過程中加深了對問題的認(rèn)識，初步揭示此類問題的特征和規(guī)律.

2.多題圖形歸一，細(xì)化審題過程

變式與整合是開展數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的主要路徑，通過一題多解、一題多思，可以提高學(xué)生看問題的深度，培養(yǎng)他們少算多思的解題習(xí)慣，提升思維的深刻性.在習(xí)得特定的思想方法和技巧后，學(xué)生看問題的眼光和高度會在短時間內(nèi)稍有提升，但若不趁熱打鐵加以強(qiáng)化，部分學(xué)生的思維又會回落到原有狀態(tài).教師應(yīng)該抓住這個關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，深化知識脈絡(luò)，將探究過程做實(shí)、做深.

題目3如圖5，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，試通過連接兩條線段，找到一組全等三角形.

圖5

圖6

通過刪線去角，牽引學(xué)生深度思維.此題是一個偽正方形背景問題，構(gòu)造全等三角形的過程與題目1無異，即通過連接BE，DG構(gòu)造三角形全等.教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察“正方形的哪幾條邊在此題求解過程中是干擾邊”，連接BD，EG后，發(fā)現(xiàn)BC，CD，EF，GF四條線段可以刪去（如圖6）.學(xué)生每報(bào)出一條線段，教師就在幾何畫板軟件中刪去這條線段，最終只剩下等腰三角形ABD和等腰三角形AEG，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形的旋轉(zhuǎn)可以化歸為拉手三角形.教師和學(xué)生一起去除多余線段的過程，就是逐步洞悉問題本質(zhì)的過程，提升學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽離出基本圖形的能力.以上環(huán)節(jié)通過設(shè)計(jì)刪線去角的方式，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘問題本質(zhì).

借正方形旋轉(zhuǎn)這個話題，教師順勢把旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)移到正方形的對角線交點(diǎn)上，讓學(xué)生找出圖7中的全等三角形并選擇其中一組進(jìn)行證明.緊接著刪線去角得圖8和圖9，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題本質(zhì).在圖9的基礎(chǔ)上，還可以將等腰三角形變形為菱形（如圖10），探討運(yùn)動過程中的共性（如圖11）.由于設(shè)問開放，學(xué)生還可能提出面積、形狀、角度、線段長度關(guān)系等其他問題，并順勢開展深入合作探討.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

通過對同類問題的拓展加深，可以培養(yǎng)學(xué)生深入認(rèn)識問題的習(xí)慣，提升學(xué)生對基本圖形的辨識能力，增強(qiáng)探究意識與興趣.對于學(xué)有余力的學(xué)生，教師還可以進(jìn)一步拓展.例如，若圖9、圖10中的點(diǎn)P，Q分別在邊的延長線上時，還有類似結(jié)論成立嗎？從添線段構(gòu)造全等三角形到刪線段探索邊角特性，這一路走來，引入必要的，去除多余的，一系列過程旨在深化和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3.挖掘問題本質(zhì)，深化思想方法

多角度歸納，深刻把握問題本質(zhì)是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的重要方式.教師要對教材知識進(jìn)行深度加工，挖掘隱性知識和方法，并將之以通俗易懂的形式呈現(xiàn)給學(xué)生.深度學(xué)習(xí)指向?qū)栴}的高度理解，它不等同于問題難度.恰恰相反，當(dāng)教師把學(xué)生帶到一定思想高度后，原先看上去較為復(fù)雜的問題會變得很簡單，用深度理解化繁為簡才是深度學(xué)習(xí)的要義所在.對學(xué)生來說，深度學(xué)習(xí)能幫助他們抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)部規(guī)律，將所學(xué)知識融會貫通，是一種“接地氣”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念.

看似偶然的完美結(jié)論背后，往往隱藏著深刻的數(shù)學(xué)原理，是深度學(xué)習(xí)的良好切入口.通過添線造角，構(gòu)建基本圖形.如圖10，將含120°內(nèi)角的菱形，在120°內(nèi)角上放置一個60°角作旋轉(zhuǎn)，能產(chǎn)生兩組在60°角動態(tài)旋轉(zhuǎn)過程中始終保持全等的三角形.教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對問題本質(zhì)發(fā)起挑戰(zhàn)，通過引導(dǎo)學(xué)生探究特殊角度關(guān)系所帶來的特定位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步感知半角旋轉(zhuǎn)問題規(guī)律，體驗(yàn)深度思考.

教師在此處引導(dǎo)學(xué)生歸納概括出60°角繞120°角旋轉(zhuǎn)的基本圖形（如圖12）.結(jié)合上題，還可以得出一個90°角繞180°角旋轉(zhuǎn)的基本圖形（如圖13）.

圖12

圖13

問：這兩個基本圖形能否概括為同類圖形？

此時教師要給學(xué)生充分的思考空間和討論時間.

在這兩個基本圖形的基礎(chǔ)上將特殊角進(jìn)一步一般化，得半角旋轉(zhuǎn)圖形框架（如圖14），并重新連成更一般的四邊形讓學(xué)生歸納圖形特性（如圖15）.通過核心提煉讓學(xué)生觸及問題本質(zhì)，感受深度思維，實(shí)現(xiàn)多題歸一.深度學(xué)習(xí)的過程實(shí)施可以具體到探究活動中的每個環(huán)節(jié)，通過橫向拓展和縱向加深讓學(xué)生全面了解問題，并強(qiáng)化核心知識及方法技巧.

圖14

圖15

4.知識連線結(jié)網(wǎng)，優(yōu)化整體結(jié)構(gòu)

碎片化的知識點(diǎn)學(xué)習(xí)，缺乏全局展望和頂層設(shè)計(jì)，將難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的深度融通.數(shù)學(xué)專題課的設(shè)計(jì)需站到一定高度，在登高望遠(yuǎn)的同時“瞻前顧后”，認(rèn)清來路與歸途.在對整章或整本教材深入解讀的基礎(chǔ)上，有序整合知識是開展深度學(xué)習(xí)的前提和保障.這就要求教師具備整體眼光和全局觀念，對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行全面審視與深層思考.如果教師自身對問題的認(rèn)識沒有達(dá)到一定的高度與深度，那么學(xué)生的深度思考也就無從談起.對一個數(shù)學(xué)問題的系統(tǒng)研究過程就是深度學(xué)習(xí)理念的踐行過程，做實(shí)這個過程中的每一步，精心總結(jié)歸納知識網(wǎng)，可以進(jìn)一步提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

教學(xué)內(nèi)容的完結(jié)并不代表思考的終結(jié)，對知識的回味與總結(jié)，也是深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，各知識點(diǎn)之間并不是相互孤立的，而是廣泛聯(lián)系的.教師要回歸知識本源，抓取具有較高相關(guān)度的內(nèi)容，以最優(yōu)順序和方式呈現(xiàn)給學(xué)生，低起點(diǎn)、緩坡度搭建思維腳手架，方便學(xué)生拾級而上.在教學(xué)中，教師要始終著眼于學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，從橫向變式到縱向拓展，將零散的知識結(jié)成網(wǎng)狀，縱橫聯(lián)通.例如，本節(jié)課中通過角聯(lián)主線，整合優(yōu)化知識.教師和學(xué)生一起總結(jié)整理知識，并歸納成如圖16所示的知識框架圖，助力學(xué)生站上全章知識的角度綜合看問題，將核心知識與重要技能盡收于心，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的針對性和有效性.

圖16

三、結(jié)束語

在日常教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）過程教學(xué)，深度思考.教師要關(guān)注自己的教學(xué)過程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，寧愿多投入一些課堂時間，把一個問題講透，或引領(lǐng)學(xué)生對特定問題進(jìn)行深入拓展.（2）及時評價，有效反饋.對于學(xué)生的課堂表現(xiàn)或觀點(diǎn)，要第一時間給予肯定或鼓勵的評價.對于學(xué)生中普遍存在的問題，要展開針對性深度分析.教師對特定教學(xué)內(nèi)容的透徹思考與深刻理解將有效帶動學(xué)生的深度思考.（3）題組演繹，明晰主線.教師通過深入解讀教材，找尋相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用題組串聯(lián)設(shè)計(jì)，將這一系列知識連成一條主線，可以使學(xué)生認(rèn)識到自己對問題理解的片面性，產(chǎn)生深入思考并探索問題本質(zhì)的積極性.讓學(xué)生站在全局的高度觀察與思考問題的方方面面，對知識的深入理解有較大促進(jìn)作用.

本文所述只是筆者在幾何教學(xué)中開展深度學(xué)習(xí)的一些具體做法和實(shí)施策略，有一定的局限性，并不是每節(jié)課或者每個知識點(diǎn)都適合開展深度學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是一片有待深入開發(fā)的廣袤土地，諸如它的發(fā)生機(jī)理、學(xué)理、步驟規(guī)范，都有待專家、學(xué)者在后續(xù)的教學(xué)實(shí)踐與理論研究中一探究竟，怎樣根據(jù)不同內(nèi)容和課型設(shè)計(jì)合適的教學(xué)過程，預(yù)設(shè)深度學(xué)習(xí)契機(jī)，仍然是值得深思的問題.

可以肯定的是，深度學(xué)習(xí)活動的開展對于教學(xué)效益的提升具有正向促進(jìn)作用.思維深度的提升所能帶給學(xué)生的不僅是知識掌握度的提高，還有學(xué)習(xí)力的躍升.適當(dāng)?shù)亻_展深度學(xué)習(xí)可以促進(jìn)素養(yǎng)提升，讓教學(xué)過程更趨于有效，從而進(jìn)一步提升教育教學(xué)質(zhì)量.