直觀想象素養(yǎng)下一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的解法探析*

福建省南平市高級中學(xué) (353000) 江智如

1.試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓Ω與拋物線Γ：y2=4x恰有一個公共點(diǎn)，且圓Ω與x軸相切于Γ的焦點(diǎn)F，求圓Ω的半徑．(2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(A卷)一試第10題)

2.試題分析

本試題依托拋物線與圓的位置關(guān)系，考查拋物線與圓的相關(guān)知識，考生可以從幾何與代數(shù)兩個角度思考求解，求解的關(guān)鍵在于通過數(shù)學(xué)閱讀，解讀試題的圖形信息，理解與掌握拋物線與圓的圖形相關(guān)知識結(jié)論，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建問題的直觀模型，探索解決問題的方法與思路[1]．考查考生數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力．本文在直觀想象素養(yǎng)下，對本試題的解開展探析．

3.試題解析

3.1 幾何法

思路分析:借助拋物線與圓的圖象，利用拋物線與圓的幾何性質(zhì)求解．

圖1

評析:解法1把圓Ω與拋物線Γ的公切線作為光線的反射面，構(gòu)造平行于對稱軸的入射光線TP，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，其反射光線必過焦點(diǎn)，即TF，且TΩ為法線，從而得到TΩ平分∠PTF，再根據(jù)圓的性質(zhì)求解，最終得到結(jié)果．由于利用拋物線的幾何性質(zhì)，所以求解過程中減少計算量，減輕考生的計算負(fù)擔(dān)，考查考生數(shù)形結(jié)合思想與直觀想象能力．解法1要求考生具有扎實的幾何功底，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力與潛能．同時能夠引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)閱讀的習(xí)慣，擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識面，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，提升直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

3.2 導(dǎo)數(shù)法

思路分析:本題涉及曲線相切及唯一解問題，考慮利用導(dǎo)數(shù)法求解．

圖2

評析:解法2依托含參函數(shù)問題的思想方法，根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系聯(lián)立方程，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，分離參數(shù)[2]，通過討論函數(shù)圖象與參數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的方法求解，得到圓Ω的半徑r．考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的相關(guān)知識與方法，符合考生的解題思維與習(xí)慣，考生容易思考求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力，突出邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的功能．

3.3 AM-GM不等式法

思路分析:把曲線相切問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，考慮利用AM-GM不等式求解．

評析:分式型函數(shù)的最值問題?？紤]利用AM-GM不等式求解，根據(jù)“一正二定三相等”[3]步驟，可求得函數(shù)的最值．解題關(guān)鍵在于構(gòu)造AM-GM不等式的“形”，要求考生理解掌握AM-GM不等式的方法技巧．解法3與解法2雖然都是從函數(shù)的最值角度入手，但解法3技巧性高，可以減輕考生的計算負(fù)擔(dān)，提高求解的時效性與準(zhǔn)確性，有利于體現(xiàn)考生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力和水平，同時考查考生邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力，促進(jìn)考生邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升．

4.解法啟示

數(shù)學(xué)閱讀是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，科學(xué)有效的數(shù)學(xué)閱讀，能夠讓高中學(xué)生理解試題信息，尋找解題思路，確立正確的解題策略，最終解決問題．本試題語言精煉，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，通過直觀思維引導(dǎo)考生從拋物線與圓的幾何特征出發(fā)，依托幾何圖形，建立形與數(shù)的聯(lián)系，運(yùn)用幾何與代數(shù)相關(guān)知識求解．在日常的教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練，設(shè)置有效的“精致練習(xí)”[4]，培養(yǎng)高中學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)．