圓錐曲線兩垂直切線的交點(diǎn)軌跡探究

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 谷留明

筆者在研究圓錐曲線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向該圓錐曲線引兩條切線的過程中,得到結(jié)論:該點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線垂直切點(diǎn)弦于相應(yīng)焦點(diǎn).與此同時(shí)注意到,對于拋物線,這兩條切線恒垂直;而對于其他圓錐曲線,這兩條切線不一定垂直.本文探討對于圓錐曲線,能向該圓錐曲線引兩條相互垂直的切線的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題.

定理1 若過一動(dòng)點(diǎn)能向某拋物線引兩條相互垂直的切線,則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為該拋物線的準(zhǔn)線.

證明:不妨設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0),如圖1.

圖1

那么,若過一動(dòng)點(diǎn)能向其他圓錐曲線引兩條相互垂直的切線,則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢?

對于圓,易得以下結(jié)論.

圖2

該結(jié)論證明較簡單,略.

對于橢圓呢？可以遵循從特殊到一般,先猜想后證明的思路.

經(jīng)網(wǎng)絡(luò)畫板(數(shù)學(xué)作圖軟件)模擬,結(jié)果正確.

用證明定理1的方法,類似地也可以證明.為簡化計(jì)算,這里采用參數(shù)坐標(biāo)來證明.如圖3.

圖3

(1)純粹性.設(shè)

用類似的思路探究雙曲線,又得到以下結(jié)論.

圖4

證明方法類似定理3,略.

以上后三個(gè)定理還可以統(tǒng)一為以下形式.