遞推式xn+1=xn(xn-1)的性質(zhì)探究

浙江省平陽中學(xué) (325400) 何龍泉

遞推式xn+1=xn(xn-1)由迭代xn+1=f(xn)和函數(shù)f(x)=x(x-1)構(gòu)成.由f(x)=x得x*=0，x**=2，又f′(x)=2x-1，于是|f′(0)|=1，

|f′(2)|=3>1，故由不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性判定定理[1]：x0是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)|f′(x0)|<1時(shí)，通過迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的數(shù)列{an}極限存在，并以x0為極限.此時(shí)，稱x0為穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)；而當(dāng)|f′(x)|>1時(shí)，數(shù)列{an}發(fā)散，稱x0為不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn).由此知：x**=2為不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性與首項(xiàng)x1有關(guān)，本文將對(duì)數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一步的探討.

一、數(shù)列{xn}的性質(zhì)

具體地說，對(duì)于不同的x1，由遞推式xn+1=xn(xn-1)得到的數(shù)列{xn}有以下性質(zhì)：

(3)當(dāng)x1<-1或x1>2時(shí)，{xn}是遞增數(shù)列且發(fā)散.

(5)當(dāng)x1∈(0，1)時(shí)，x2

二、性質(zhì)的證明

在證明上述結(jié)論之前，我們先來證明兩個(gè)易證結(jié)論.

圖1

下面我們來證明上面數(shù)列{xn}的性質(zhì).

性質(zhì)(1)和(2)顯然成立的，證明略.

三、性質(zhì)的應(yīng)用

(1)求首項(xiàng)a1的取值范圍；

(2)證明：對(duì)任意n∈N*，都有an+1>an.

解：(1)由已知a1>0，(ⅰ)若a1∈(0，1]，則a2≤0，不合題意；

(2)由(1)知an+1-an=an(an-2)>0，所以對(duì)任意n∈N*，都有an+1>an.

對(duì)于遞推式xn+1=xn(xn-1)性質(zhì)的探索只是對(duì)該類遞推式探究的一個(gè)方面，這樣的研究對(duì)于教學(xué)、命題都大有裨益.