關于CopositivePlus張量及其互補問題的研究

劉 康

(天津大學數學學院，天津 300350)

0 引 言

隨著現代科學技術的發(fā)展，張量(超矩陣)作為矩陣的高階推廣，在化學、醫(yī)學與神經科學、社會網絡分析、高光譜圖像以及人臉識別等方面都有著廣泛應用．張量互補問題(TCP)作為互補問題的一個特定子類，也引起了廣泛關注和研究．

有許多文獻對TCP解集的理論性質展開研究，包括解的存在性[1-6]、解的全局唯一性[3,7]、解集的有界性[8]和稀疏解的存在性[2]等．Huang和Qi在文獻[9]中給出了張量互補問題的一個重要應用，為TCP的進一步研究提供了動力．

在TCP的研究中，結構張量扮演了重要的角色．很多結構張量已經被引入和研究，其中，具有廣泛應用的Copositive張量得到了很多研究[10-14]，文獻[14]中給出了Copositive張量在物理和超圖領域的應用．特別地，在文獻[15]中，作者對Copositive張量的理論、方法及其應用進行了綜述．

在以往關于結構張量的研究中，大多數都是將結構矩陣的概念、相關的理論與方法延伸到張量情況．由于張量遠比矩陣復雜，有很多矩陣相關的理論不能延伸到張量情況．在本文中，CopositivePlus矩陣的概念被延伸到高階張量，即引入了CopositivePlus張量的概念，然后討論了CopositivePlus張量的性質，以及對應張量互補問題解集的性質．

1 預備知識

一個m階n維張量A=(ai1…im)可以看作是元素ai1…im的多重線性排列，其中ij∈{1,2,…,n}，j∈{1,2,…,m}．如果張量的元素都為實數，則稱該張量為實張量；所有m階n維實張量的集合記作R[m,n]．如果任意置換元素ai1…im的下標i1,…,im，其值保持不變，則張量A=(ai1…im)稱為對稱張量；如果任意置換元素ai1…im的下標i2,…,im，其值保持不變，則張量A=(ai1…im)稱為偏對稱張量．

Qi在文獻[16]中提出了對稱張量特征值的概念，并討論了相關的性質．從此，掀起了張量譜理論的研究熱潮．之后，結構張量、張量互補問題相繼引起人們的關注和研究．

對于任意的張量A∈R[m,n]和任意的x∈Rn，Axm-1∈Rn被定義如下：

?i∈{1,2,…,n}．

對于給定的映射F:Rn→Rn，且q∈Rn，經典互補問題是找到一個x∈Rn使得

x≥0,F(x)+q≥0,xT(F(x)+q)=0.

(1)

本文主要考慮問題(1)在F(x)=Axm-1,A∈R[m,n]的情形．此時問題(1)具體化為

x≥0,Axm-1+q≥0,xT(Axm-1+q)=0，

這被稱為張量互補問題，簡寫為TCP(A,q)，記TCP(A,q)的解集為SOL(A,q)．

定義1.1[1]稱張量A∈R[m,n]是Q張量，當且僅當對于所有q∈Rn，張量互補問題TCP(A,q)有解．

在上式中，如果取t=0，稱張量A是R0張量．

2 主要結論

2.1 CopositivePlus張量的性質

定義2.1.1[17]矩陣M稱為CopositivePlus的，如果下列條件成立：

(1)x≥0,有xTMx≥0；

(2)x≥0，xTMx=0，有(M+MT)x=0．

引理2.1.1[17]如果一個對稱Q矩陣是CopositivePlus的，那么它一定是嚴格Copositive矩陣．

引理2.1.2[17]如果一個矩陣M是CopositivePlus的，那么下列命題等價：

(A)M∈Q;(B)M∈R;(C)M∈R0．

由定義2.1.1引入CopositivePlus張量的概念．

定義2.1.2假設A∈R[m,n]是一個偏對稱張量，則A是CopositivePlus張量當且僅當下列條件成立：

由定義2.1.2、引理2.1.1和引理2.1.2有如下定理：

定理2.1.1假設A∈R[m,n]是一個Q張量，如果A是CopositivePlus的，并且TCP(A,0)有非零解，則A不是嚴格Copositive張量．

定理2.1.2假設A∈R[m,n]是一個Q張量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R張量．

證明：設張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個3階2維張量，其元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．

Ax3=(x1+x2) (x1-x2)2．

由定義2.1.2，知A是CopositivePlus的．首先證明A是Q張量．

假設a,b為任意非負實數，就以下幾種情形展開證明．

(1)令q=(a2,b2)T，取x=(0,0)T，顯然為TCP(A,q)的解．

(2)令q=(a2,-b2)T，取x=(0,b)T，滿足

(3)令q=(-a2,b2)T，取x=(a,0)T，滿足

綜上，A是Q張量，且A是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性，取q=(0,0)T，容易驗證x*=(1,1)T為解之一，于是有(Ax2)i=0,xi≥0,i=1,2，即x=(1,1)T，t=0為方程組

的解．由定義1.4，可知A不是R張量．

定理2.1.3假設A∈R[m,n]是一個Q張量，且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么A不一定是R0張量．

證明：同定理2.1.2，取A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1的三階張量．由定理2.1.2，知A是Q張量且是CopositivePlus的．

由q的任意性，取q=(0,0)T，容易驗證x*=(2，2)T也為解之一，可知x=(2,2)T為方程組

的一個解．根據定義1.4，可知A不是R0張量．

2.2 CopositivePlus張量互補問題

基于CopositivePlus矩陣的線性互補問題，Danao[18]證明了其解集的非空有界性，而對于CopositivePlus張量，其相應的張量互補問題未必有界．

首先，本研究將Danao[18]的結論列舉如下．

引理2.2.1[18]如果一個Q矩陣是CopositivePlus的，那么它對應的互補問題的解集一定非空有界．

由引理2.2.1，關于張量互補問題，有如下定理：

定理2.2.1假設A∈R[m,n]是一個Q張量，并且是CopositivePlus的，如果m≥3，那么其解集SOL(A,q)不一定有界．

證明：舉一個解集無界的例子進行反證．

設張量A=(ai1i2i3)∈R2×2×2為一個3階2維張量，其元素為a111=a211=a122=a222=1，a121=a112=a221=a212=-1．故有

由定理2.1.2的證明，知A是Q張量且是CopositivePlus的．

另一方面，由q的任意性可知，取q=(0,0)T，此時，對任意滿足(t,t)T，t≥0的向量均為張量互補問題的解，故SOL(A,q)無界，結論得證．

根據定理2.2.1，如果A是Q張量且是CopositivePlus的，那么在什么條件下，一定能保證SOL(A,q)非空有界呢？

不妨假設A的每一個元素都為嚴格正，下面證明此時SOL(A,q)非空有界．

定理2.2.2假設A∈R[m,n]是Q張量，并且是CopositivePlus的，如果其元素嚴格正，則其解集SOL(A,q)有界．

證明：利用反證法證明該結論的正確性．

首先假設SOL(A,q)無界． 即存在一個非負向量列{xi},i=1,2,…，xi≠0，‖xi‖→∞使得

3 總 結

本文給出了CopositivePlus張量的定義，并對這類新定義的結構張量的性質進行了研究．對于張量互補問題解集的研究方面，本文也證明了CopositivePlus張量在為Q張量且每一個元素都為嚴格正時，它對應的張量互補問題的解集是有界的．當然，CopositivePlus張量作為CopositivePlus矩陣在高階張量的自然推廣，作為Copositive張量的一個子類，具有很好的理論性質，理論上還有很多相應的結論值得延伸和探索．