小學(xué)數(shù)學(xué)教材習(xí)題的比較研究
——以人民教育出版社與北京師范大學(xué)出版社兩版多邊形的面積為例

王 若 男

(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

教材在我國小學(xué)生的教育中發(fā)揮著引領(lǐng)作用，習(xí)題是教材的重要組成部分，尤其是數(shù)學(xué)習(xí)題，占據(jù)了教材內(nèi)容近1/2．近幾年，數(shù)學(xué)習(xí)題在國際上被廣泛的關(guān)注，我國的學(xué)者也對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題有一定的研究．有的是針對(duì)中外教材習(xí)題的對(duì)比研究[1-7]，主要從習(xí)題的數(shù)量、類型、認(rèn)知水平、難易程度進(jìn)行比較研究；還有針對(duì)國內(nèi)教材的比較研究，以人民教育出版社與北京師范大學(xué)出版社出版的教材為例，其中，有從小學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)、內(nèi)容編排、呈現(xiàn)方式、問題情境、例題和概念等進(jìn)行了比較研究，有從小學(xué)數(shù)學(xué)教材習(xí)題的數(shù)量、類型、編排特點(diǎn)、難度因素進(jìn)行了比較研究；有從小學(xué)數(shù)學(xué)教材的難度進(jìn)行了比較研究．教育學(xué)者做的這些研究大多是針對(duì)教材內(nèi)容而言，而一些習(xí)題的比較研究更多的是存在于中外教材，很少涉及國內(nèi)教材習(xí)題的研究，尤其是人教版和北師大版習(xí)題的研究更是少之甚少．而本研究主要從人教版和北師大版中多邊形的面積這一內(nèi)容著手，對(duì)習(xí)題的數(shù)量、認(rèn)知水平和難易程度3個(gè)方面進(jìn)行研究，分別采用了相關(guān)的模型進(jìn)行對(duì)比分析．多邊形的面積的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)和幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形的體積打下基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，這一內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中占據(jù)了重要的作用．特別說明：研究中，“習(xí)題”和“練習(xí)題”“習(xí)題”“復(fù)習(xí)題”一起出現(xiàn)的時(shí)候，專指課后的習(xí)題；“習(xí)題”單獨(dú)出現(xiàn)的時(shí)候，指“練習(xí)題”“習(xí)題”“復(fù)習(xí)題”的總稱．

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 研究對(duì)象和方法

研究對(duì)象分別以中華人民共和國教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》為依據(jù)，人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)教材．其中，人民教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材(人教版)中把多邊形的面積置于第六單元來學(xué)習(xí)，且包含的內(nèi)容有：“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”以及“組合圖形的面積”；北京師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材(北師大版)中把多邊形的面積置于第四單元來學(xué)習(xí)，且包含的內(nèi)容有：“比較圖形的面積”“認(rèn)識(shí)底和高”“平行四邊形的面積”“三角形的面積”以及“梯形的面積”，“組合圖形的面積”置于第六單元學(xué)習(xí)．由于兩版教材關(guān)于多邊形的面積安排有區(qū)別，進(jìn)行整合后多邊形的面積分為“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”以及“組合圖形的面積”4個(gè)部分．

采用比較研究法，針對(duì)人教版與北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)，根據(jù)研究對(duì)象，對(duì)多邊形的面積習(xí)題的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比和分析，找出兩版教材習(xí)題的差異，并得出結(jié)論和啟示．

1.2 研究內(nèi)容

(1)習(xí)題數(shù)量.

多邊形面積這一部分內(nèi)容，習(xí)題大多是以解答題為主，包含少量的作圖題．其中有部分解答題中一個(gè)大題包含幾個(gè)小題，在計(jì)算習(xí)題數(shù)量的時(shí)候，把這個(gè)大題作為一題，在后面進(jìn)行認(rèn)知水平和難度分析的時(shí)候，以大題的綜合水平和難度來劃分．

(2)習(xí)題認(rèn)知水平.

我國教育家顧泠沅等先后2次(1990和2007年)進(jìn)行的大樣本測試，從大量外顯行為所表征的教學(xué)目標(biāo)中析取內(nèi)隱的主要因素，由此確定目標(biāo)框架的層次并研究分類的連續(xù)性[1]．經(jīng)過改造后，數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架分為4個(gè)水平層次架構(gòu)：

水平1：計(jì)算——操作性記憶水平．按照課本學(xué)習(xí)多邊形的面積中的公式，能夠進(jìn)行正確運(yùn)算．如：平行四邊形的底為4 cm，高為3 cm，求平行四邊形的面積；三角形的底為12 cm，高為6 cm，求三角形的面積；梯形的上底為4 cm，下底為3 cm，高為5 cm，求梯形的面積．

水平2：概念——概念性記憶水平．按照課本學(xué)習(xí)多邊形面積中的公式，給出面積，求另外一個(gè)條件，或者是具有實(shí)踐性的簡單題目．如：一個(gè)直角三角形的面積是90 cm2，一條直角邊長7.2 cm，另一條直角邊長是多少？再如：一塊玻璃的形狀是一個(gè)三角形，它的底是12.5 dm，高是7.8 dm．每平方米玻璃的價(jià)錢是68元，買這塊玻璃要用多少錢？

水平3：領(lǐng)會(huì)——說明性理解水平．根據(jù)課本學(xué)過的面積公式去計(jì)算較為復(fù)雜的題目，需要一定的時(shí)間思考，有些是具有實(shí)踐操作．如：在每個(gè)小方格的面積為1 cm2中估計(jì)池塘的面積；在周圍找一個(gè)梯形，量出它的底和高，算出它的面積．

水平4：分析——探究性理解水平．根據(jù)多邊形的面積公式創(chuàng)造性地計(jì)算復(fù)雜圖形的面積，需計(jì)算多次，且需要思考才能做出的題目，可是開放題，與例題的差距較大．如：在一個(gè)上底為2 cm，下底為3.5 cm，高為1.8 cm的梯形中，減去一個(gè)最大的平行四邊形，剩下的面積是多少？有幾種解法？

水平1和2屬于記憶水平，是較低層次的水平．水平3和4屬于理解水平，相對(duì)于水平1和2，是較高層次的水平，水平4稱為最高層次水平．

(3)習(xí)題難度.

習(xí)題難度比較采用的是我國鮑建生教授建立的綜合難度模型[2]，主要包括5個(gè)難度因素：探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量．將5個(gè)難度因素的各個(gè)水平進(jìn)行賦值，具體如表1所示.

表1 綜合難度因素賦值表

習(xí)題綜合難度(加權(quán)平均)計(jì)算公式：

其中，di中的i(i=1,2,3,4,5)依次表示“探究”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”5個(gè)難度因素；dij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重；nij則表示第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，其總和等于題目的總數(shù)(n)．

2 研究結(jié)果與分析

2.1 習(xí)題數(shù)量

根據(jù)人教版和北師大版兩版教材進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，多邊形面積習(xí)題總量的結(jié)果如表2.

從數(shù)量分析，人教版與北師大版的習(xí)題總量分別為66和56道，人教版的習(xí)題總量多于北師大版，其中兩個(gè)版本教材的練習(xí)題一樣多，都是4道練習(xí)題；主要在于習(xí)題和復(fù)習(xí)題的數(shù)量有差別，北師大版的習(xí)題和復(fù)習(xí)題都少于人教版．從占比上來看，復(fù)習(xí)題、練習(xí)題和習(xí)題的占比有細(xì)小的差別，且均不超過1%，總體來看，習(xí)題的占比相差不大．

表2 人教版與北師大版中多邊形面積的習(xí)題總量/道

注：人教版指人民教育出版社出版的小學(xué)教學(xué)教材；北師大版指北京師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)教學(xué)教材.

為了進(jìn)一步分析，將多邊形面積的4個(gè)模塊進(jìn)行了單獨(dú)的統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3.

在練習(xí)題中，整體的題量都很少，人教版比北師大版三角形的面積的練習(xí)題多，且在整個(gè)人教版的4大內(nèi)容中占有重要地位，在平行四邊形的面積和組合圖形的面積中沒有涉及；北師大版平行四邊形的面積和三角形的面積中練習(xí)題占據(jù)一定的數(shù)量，且都是2道，在梯形的面積和組合圖形的面積中沒有涉及，其中人教版和北師大版都沒有涉及組合圖形的面積的練習(xí)題．在習(xí)題中，人教版習(xí)題在4個(gè)內(nèi)容中的數(shù)量相差不大；北師大版習(xí)題在4個(gè)內(nèi)容中的數(shù)量相差較大，在統(tǒng)計(jì)的時(shí)候，由于把“比較圖形的面積”和“認(rèn)識(shí)底和高”的習(xí)題都?xì)w納到平行四邊形的面積中，這里不做過多比較.梯形的面積在4個(gè)內(nèi)容中的數(shù)量最少，只有5道題.兩版數(shù)量相差最大．在復(fù)習(xí)題中，人教版和北師大版均綜合運(yùn)用到了平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積等相關(guān)內(nèi)容，組合圖形又包含了平行四邊形、三角形和梯形，因此在統(tǒng)計(jì)時(shí)并沒有拆分，人教版和北師大版在4個(gè)內(nèi)容中復(fù)習(xí)題的總數(shù)量分別是19和16道，人教版復(fù)習(xí)題的數(shù)量多于北師大版．

表3 人教版與北師大版中多邊形面積的具體內(nèi)容的習(xí)題總量/道

2.2 習(xí)題認(rèn)知水平

根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架收集相關(guān)數(shù)據(jù)，主要從練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題來收集，同時(shí)分為平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積4個(gè)內(nèi)容，由于練習(xí)題的數(shù)量太少，不便于得出結(jié)論和分析，于是將練習(xí)題和習(xí)題合計(jì)在一起進(jìn)行研究分析，復(fù)習(xí)題作為單獨(dú)的1個(gè)模塊，最后匯總多邊形的面積的習(xí)題進(jìn)行分析，從整體上進(jìn)行比較．

人教版和北師大版練習(xí)題和習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4.

在水平1中，人教版與北師大版三角形的面積題目的數(shù)量差異最大，人教版的練習(xí)題和習(xí)題數(shù)量明顯高于北師大版；在水平2中，人教版與北師大版組合圖形的面積題目的數(shù)量差異最大，人教版的練習(xí)題和習(xí)題數(shù)量明顯高于北師大版；在水平3中，人教版與北師大版梯形的面積題目的數(shù)量差異最大，人教版的練習(xí)題和習(xí)題數(shù)量明顯高于北師大版；在水平4中，人教版與北師大版平行四邊形的面積題目的數(shù)量差異最大，北師大版的練習(xí)題和習(xí)題數(shù)量明顯高于人教版．

表4 人教版與北師大版4大板塊練習(xí)題和習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平習(xí)題數(shù)量/道

人教版和北師大版多邊形的面積復(fù)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表5.

從表5中可以得出人教版與北師大版復(fù)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平差異最大的是水平3，習(xí)題數(shù)量分別是5和1道，人教版復(fù)習(xí)題的數(shù)量明顯多于北師大版，可見人教版復(fù)習(xí)題的說明性理解水平高于北師大版，比北師大版更加注重知識(shí)的掌握和學(xué)生的思維；在水平1上，人教版與北師大版復(fù)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平差異不大，習(xí)題數(shù)量分別是4和5道．

表5 人教版與北師大版多邊形的面積復(fù)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平習(xí)題數(shù)量/道

根據(jù)上述人教版和北師大版多邊形的面積練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的統(tǒng)計(jì)，最后匯總?cè)私贪婧捅睅煷蟀娑噙呅蔚拿娣e習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表6.

表6 人教版與北師大版多邊形的面積習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平習(xí)題數(shù)量/道

表7 人教版與北師大版多邊形的面積習(xí)題難度的統(tǒng)計(jì)

在占比上，人教版和北師大版多邊形的面積習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平在水平4上差距最大，分別占比16.7%和23.2%，北師大版多邊形的面積習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平在水平4上的占比明顯高于人教版，其中差異較大的還有水平3，人教版和北師大版多邊形的面積習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平占比分別為22.7%和17.9%，人教版明顯高于北師大版．

2.3 習(xí)題難度

根據(jù)鮑建生教授的綜合難度模型對(duì)人教版和北師大版中多邊形的面積習(xí)題的難度做了相應(yīng)的數(shù)據(jù)收集和統(tǒng)計(jì)，分別從5個(gè)因素(探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量)及其相應(yīng)的水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表7.

(1)探究因素的水平比較.

在探究因素中的探究水平的占比差異最大，探究水平在人教版中占39.4%，在北師大版中占41.1%，北師大版比人教版高出了1.7%，體現(xiàn)了北師大版比人教版更加注重探究知識(shí)的學(xué)習(xí)；識(shí)記水平和理解水平兩版教材相差不大，但是兩者中，人教版的占比高出北師大版，人教版較為偏重知識(shí)的記憶和理解．從探究因素的權(quán)重來看，人教版和北師大版的權(quán)重分別是2.15和2.18，可見北師大版要高于人教版．

(2)背景因素的水平比較.

背景因素中無背景水平的占比差異最大，兩者相差11.8%，可見北師大版的教材很少涉及到背景的知識(shí)，更多的是沒有背景的學(xué)習(xí)和運(yùn)算，而人教版就更加注重知識(shí)與背景的結(jié)合；背景因素中的個(gè)人生活水平相差也很大，人教版比北師大版高出7%，可見人教版比北師大版更加注重從學(xué)生的個(gè)人生活中提取材料來進(jìn)行知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓知識(shí)的學(xué)習(xí)更加貼近生活，而生活中也處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的奧秘；公共常識(shí)水平和科學(xué)情境水平中，人教版都高于北師大版，人教版更加注重公共常識(shí)和科學(xué)情境知識(shí)的培養(yǎng)，且北師大版中并沒有科學(xué)情境的相關(guān)題目，這還有待提高．從權(quán)重上來看，人教版占1.59，北師大版占1.38，人教版高于北師大版，可見人教版比北師大版更加注重教材背景因素的編寫．

(3)運(yùn)算因素的水平比較.

在運(yùn)算因素中無運(yùn)算水平的差異非常明顯，北師大版無運(yùn)算主要體現(xiàn)在畫圖上面，還有圖形的組合，不需要運(yùn)算，而人教版沒有這個(gè)內(nèi)容，更加側(cè)重于學(xué)生的計(jì)算能力；其次就是簡單符號(hào)的運(yùn)算，兩者之間的差異也很大，兩者相差22.5%，人教版在簡單符號(hào)的運(yùn)算上遠(yuǎn)多于北師大版，更加注重簡單計(jì)算能力的培養(yǎng)；兩版教材在數(shù)值運(yùn)算水平上差距不大，在復(fù)雜運(yùn)算水平上有一些差距，且都是人教版高于北師大版．從權(quán)重上面來看，人教版占2.68，北師大版占2.13，人教版高于北師大版，由此可以得出，人教版更加重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，且運(yùn)算在整個(gè)人教版中占據(jù)了重要的地位．

(4)推理因素的水平比較.

推理因素中復(fù)雜推理水平的差異最大，兩者相差3%；無推理和簡單推理2個(gè)水平相差較小，尤其是無推理，兩版教材相差很小，但在整個(gè)教材中，無推理占據(jù)了至少1/2的內(nèi)容，而無推理在這里是指運(yùn)用學(xué)習(xí)過的公式可以直接進(jìn)行運(yùn)算的題目，記住公式便可做題，沒有推理和思考的成分．

(5)知識(shí)含量因素的水平比較.

在知識(shí)含量因素中，2個(gè)知識(shí)點(diǎn)和3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)占比有一定差異，2個(gè)知識(shí)點(diǎn)中兩者相差7.8%；3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)中兩者相差7.4%；由此可見，人教版比北師大版更加注重2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練，而北師大版比人教版更加注重3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練．而1個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，兩版教材的占比相差不大，但是比重均比其他的水平高，說明兩版教材都比較注重1個(gè)知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練．從權(quán)重上來看，人教版占1.79，北師大版占1.86，可見北師大版比人教版更加注重知識(shí)含量這個(gè)因素．

(6)多邊形的面積習(xí)題難度因素的比較.

在5個(gè)難度因素方面，差異最大的是運(yùn)算因素，人教版的權(quán)重是2.68，北師大版的權(quán)重是2.13，兩者相差0.55；在人教版中，運(yùn)算因素在5個(gè)因素中的權(quán)重最高，而在北師大版中，探究因素是最高的，其次就是運(yùn)算因素；由此可見，人教版比北師大版更加注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)，而北師大版比人教版更加注重探究因素的培養(yǎng)，但是這2個(gè)因素在兩版教材中的權(quán)重均超過了2.00，說明這2個(gè)因素在教材中的地位是非常重要的．

3 結(jié) 論

3.1 習(xí)題數(shù)量

北師大版的習(xí)題數(shù)量有56道，人教版的習(xí)題有66道，在孫學(xué)敏[3]對(duì)中國與新加坡教材習(xí)題的比較研究中表明中國的習(xí)題數(shù)量相對(duì)國外來說是較少的．兩版教材練習(xí)題的數(shù)量相同，但是練習(xí)題在習(xí)題總量上的占比卻有差異，北師大版的習(xí)題占比高于人教版．占比最接近的是復(fù)習(xí)題，兩版教材復(fù)習(xí)題占總習(xí)題數(shù)量幾乎一致．對(duì)于兩版教材的總習(xí)題來說，北師大版習(xí)題的數(shù)量少于人教版．

在多邊形的“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”“組合圖形的面積”中習(xí)題的數(shù)量差異較大，尤其是梯形的面積這個(gè)內(nèi)容．對(duì)于練習(xí)題而言，人教版和北師大版的練習(xí)題數(shù)量分配不均，人教版教材中沒有平行四邊形的面積練習(xí)題，北師大版卻有，北師大版沒有梯形的面積練習(xí)題，但是人教版有；三角形的面積練習(xí)題，兩版教材都有，說明三角形的面積這個(gè)內(nèi)容在多邊形的面積內(nèi)容占有重要的位置，兩版教材在組合圖形的面積中都沒有練習(xí)題，不代表不重視，因?yàn)榻M合圖形中包含了平行四邊形、三角形和梯形的面積，這里有復(fù)習(xí)的作用，但主要是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，可以讓學(xué)生更好掌握?qǐng)D形之間的組合變換．在習(xí)題方面，兩版教材相差最大是梯形的面積，人教版比北師大版更加注重梯形的面積學(xué)習(xí)，但是在人教版中，4個(gè)內(nèi)容的習(xí)題數(shù)量相差不大．總體上來說，人教版比北師大版的數(shù)量較少，但是人教版比北師大版更加注重學(xué)生習(xí)題的訓(xùn)練，通過習(xí)題來了解學(xué)生的掌握情況，從而調(diào)整自己的教學(xué)方式和計(jì)劃等．

3.2 習(xí)題認(rèn)知水平

人教版注重知識(shí)的掌握和運(yùn)用，但是北師大版更加注重知識(shí)的創(chuàng)新和思維的訓(xùn)練．其中，人教版與北師大版在多邊形的面積的4個(gè)內(nèi)容中練習(xí)題和習(xí)題的認(rèn)知水平有明顯的差異，在平行四邊形的面積中，北師大版的探究性理解水平遠(yuǎn)高于人教版；在三角形的面積中，人教版的操作性記憶水平遠(yuǎn)高于北師大版；在梯形的面積中，人教版的說明性理解水平遠(yuǎn)高于北師大版；在組合圖形的面積中，人教版的概念性記憶水平遠(yuǎn)高于北師大版．在人教版與北師大版的復(fù)習(xí)題中，人教版的說明性理解水平遠(yuǎn)高于北師大版．從整體上來說，人教版比北師大版更加注重操作性記憶水平和概念性記憶水平以及說明性理解水平的發(fā)展，注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)和訓(xùn)練，而北師大版則比人教版更加注重探究性理解水平的發(fā)展，注重學(xué)生開放題和探究性題目的訓(xùn)練，開拓學(xué)生的思想，不固化學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，主張?zhí)骄繉W(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)．

3.3 習(xí)題難度

人教版更加注重知識(shí)的運(yùn)算，而北師大版更加注重知識(shí)的探究．其中，在探究因素中，北師大版比人教版更加注重探究能力的培養(yǎng)；在背景因素中，北師大版的無背景要多于人教版，且兩者相差超過10.0%，人教版比北師大版更加注重學(xué)生習(xí)題的背景因素，尤其是個(gè)人生活、公共常識(shí)和科學(xué)情境的背景，尤其要提及的是北師大版沒有科學(xué)情境，而存在背景可以讓學(xué)生在無聊的學(xué)習(xí)中尋找數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；在運(yùn)算因素中，人教版沒有關(guān)于無運(yùn)算的習(xí)題，而北師大版在習(xí)題中涉及了較多的無運(yùn)算，包含一些圖形的作高等，作圖可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作技能，這也是人教版教材習(xí)題中所缺少的；在推理因素中，人教版中的復(fù)雜推理要高于北師大版，而復(fù)雜推理可以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和思維能力，五年級(jí)的學(xué)生正是思維發(fā)展迅速的時(shí)期，這個(gè)時(shí)期應(yīng)該多注重學(xué)生思維的訓(xùn)練，北師大版比人教版缺少對(duì)思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)；在知識(shí)點(diǎn)含量中，人教版比北師大版更加注重學(xué)生2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的培養(yǎng)，在3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)培養(yǎng)中少于北師大版．

4 啟 示

4.1 適當(dāng)增加習(xí)題的數(shù)量，嚴(yán)格要求習(xí)題的質(zhì)量

習(xí)題在數(shù)學(xué)教材中占據(jù)著重要的地位，有研究表明，我國數(shù)學(xué)教材的習(xí)題偏少[4]，范良火等[5]對(duì)中國和英國數(shù)學(xué)教育的差異進(jìn)行了透析，英國把中國上海學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)讀物《華東師大版一課一練：數(shù)學(xué)》引入學(xué)校，進(jìn)行改編使用，有的中小學(xué)甚至當(dāng)做教材來使用．由于教材的習(xí)題量偏少，中國使用教材之外的輔導(dǎo)資料，這是個(gè)值得我國教材編寫者思考的問題．中國教材的習(xí)題本身就偏少，北師大版的習(xí)題數(shù)量還少于人教版，學(xué)生的練習(xí)量不夠，是否能掌握課程的內(nèi)容還有待考究．而人教版和北師大版要增加習(xí)題的數(shù)量是不可否認(rèn)的事實(shí)，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》編寫的習(xí)題質(zhì)量本身就比課程輔導(dǎo)資料高一些，而且更加嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，這還需要教材編寫者的重視．

4.2 相互借鑒，注重探索和開放思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力

人教版比北師大版更缺乏探究、開放性的習(xí)題，北師大版更加注重學(xué)生的思維訓(xùn)練，很多題目都是開放性的，且具有創(chuàng)新性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；人教版教材的內(nèi)容相對(duì)來說更加保守，開放性的題目較少，更加注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容的運(yùn)算，注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)．

美國數(shù)學(xué)家波利亞[6]的《怎樣解題》一書中就特別強(qiáng)調(diào)使用“探索法”．弗萊登塔爾在20世紀(jì)提出了再創(chuàng)造理論，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程[7]．人教版教材應(yīng)該借鑒北師大版教材中相關(guān)的探索性習(xí)題，在運(yùn)算的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加人教版習(xí)題開放性的比例，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，鍛煉學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，能夠舉一反三．同時(shí)也需要增加一些關(guān)于知識(shí)點(diǎn)的題目，尤其是3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)含量的題目，不能只局限于1或2個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算，這也能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維能力．北師大版教材應(yīng)該適當(dāng)增加相關(guān)運(yùn)算的習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，在此基礎(chǔ)上，再增加一些復(fù)雜推理的題目和2個(gè)知識(shí)點(diǎn)含量的題目，在運(yùn)算中又培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力．

4.3 聯(lián)系生活實(shí)際，加強(qiáng)背景因素

北師大版教材中缺乏背景因素的學(xué)習(xí)，大量的習(xí)題均是無背景的，且在背景因素中還缺乏科學(xué)情境．荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾提出“數(shù)學(xué)化”的觀點(diǎn)，所謂的數(shù)學(xué)化就是人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造世界的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界是種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程[8]．北師大版的教材正是缺乏這種“數(shù)學(xué)化”的過程，應(yīng)該在無背景的習(xí)題上加以改良，加入與個(gè)人生活和公共常識(shí)相關(guān)的背景因素，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來分析和解決問題，在枯燥的習(xí)題中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的作用，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．另外，北師大版教材的習(xí)題沒有涉及相關(guān)的科學(xué)情境，人教版的教材有相關(guān)的涉及，但是習(xí)題較少，且不深入．我國當(dāng)代很關(guān)注科學(xué)家的培養(yǎng)，重視科技的發(fā)展，應(yīng)在數(shù)學(xué)教材的習(xí)題中涉及一些關(guān)于科技類情境的設(shè)計(jì)，提高學(xué)生的科學(xué)觀，從小樹立科學(xué)意識(shí)．

4.4 注重教材習(xí)題螺旋式編寫

人教版在學(xué)習(xí)平行四邊形之前并沒有相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而北師大版先從“比較圖形的面積”的學(xué)習(xí)，再引入“認(rèn)識(shí)底和高”的學(xué)習(xí)之后，才進(jìn)行學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”，采用了螺旋式的方法進(jìn)行編寫教材，“圖形的面積”在此之前就已經(jīng)學(xué)習(xí)過，在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”之前加入“比較圖形的面積”這一內(nèi)容，并設(shè)置了相關(guān)習(xí)題，有助于學(xué)生對(duì)先前所學(xué)知識(shí)的回憶，之后安排了“認(rèn)識(shí)底和高”這一內(nèi)容，并作為單獨(dú)的1個(gè)課時(shí)，其中也含有部分習(xí)題，這有助于學(xué)生清晰地學(xué)會(huì)作多邊形的底和高，這一螺旋式的編排，為后面多邊形的面積學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而想要求多邊形的面積，最基礎(chǔ)的一部分內(nèi)容便是找出“底”和會(huì)作“高”，對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來說，根據(jù)公式計(jì)算并不會(huì)有很大的難度，所以北師大版這一內(nèi)容的編寫相對(duì)合理，且有借鑒之處．人教版教材的編寫應(yīng)注意新舊知識(shí)之間的相互銜接，并設(shè)計(jì)相關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)生有一個(gè)過渡的過程．

總之，比較人教版與北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中多邊形的面積習(xí)題，可以得到兩版教材習(xí)題數(shù)量、認(rèn)知水平和難度因素的差異，以及教材中各個(gè)內(nèi)容習(xí)題的差異，這個(gè)比較不是評(píng)論誰優(yōu)誰劣，而是呈現(xiàn)出兩版教材的差異．教材編寫者可以相互借鑒、取長補(bǔ)短，完善教材中的一些問題．教師可以更快速地了解不同版本教材，在教材和學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析的基礎(chǔ)上，對(duì)教學(xué)進(jìn)行總體規(guī)劃[9]，從而更好地呈現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)和塑造學(xué)生各方面的能力．