高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

趙向杰

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程的重要章節(jié)，本章學(xué)知識(shí)表現(xiàn)形式靈活，且難度較高，學(xué)生在這個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)中普遍得分率不高.數(shù)列種類多樣，在出題的過程中可以用多種題型對(duì)學(xué)生進(jìn)行考察，因此在試卷的分值占比較較多.所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)而增加解題技巧和方法，能夠有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī).本文通過對(duì)數(shù)列教學(xué)中的實(shí)踐進(jìn)行匯總，根據(jù)數(shù)列的解題技巧和方法進(jìn)行淺析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)列試題;解題方法與技巧

學(xué)生對(duì)數(shù)列的解題技巧和解題方法如果能夠扎實(shí)掌握、靈活運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生以后大學(xué)學(xué)習(xí)有著莫大的幫助和重要的意義.近年來的高考試題以靈活運(yùn)用為導(dǎo)向，針對(duì)數(shù)列知識(shí)的題型靈活多變，非常適合出題人應(yīng)用，因此一些高考數(shù)學(xué)大題中數(shù)列知識(shí)成為了解題的關(guān)鍵與核心，學(xué)生們對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)技巧顯得尤為重要.

教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)高考試題變化策略，針對(duì)數(shù)列的解題方法和技巧進(jìn)行總結(jié)，從基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)入手，引導(dǎo)學(xué)生找到各類數(shù)列知識(shí)題型的解題規(guī)律，從而使學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，為數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1 高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)的重要性

高中數(shù)學(xué)這個(gè)科目，不論對(duì)于選擇文科還是理科的學(xué)生而言都是非常重要的，高中數(shù)學(xué)是三大主科之一，不僅分值占比高，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)劣更是關(guān)系到物理與化學(xué)的成績(jī)，因?yàn)檫@兩門學(xué)科中的計(jì)算都是數(shù)學(xué)科目中的必備內(nèi)容.高中數(shù)學(xué)不但負(fù)責(zé)著學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練，更是與多門學(xué)科有著密切的聯(lián)系.高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題怎樣學(xué)，主要看學(xué)生對(duì)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)理解程度.學(xué)生要具備自己的思維方式，不能僅僅聽教師課上所講的知識(shí)內(nèi)容，在課下更應(yīng)當(dāng)及時(shí)溫習(xí)、刷題，加深知識(shí)印象和靈活運(yùn)用的能力.

依據(jù)數(shù)列的概念：按照一定順序排列的一列數(shù)稱之為數(shù)列.學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下可以構(gòu)建自己的知識(shí)架構(gòu)，首先把握數(shù)列知識(shí)版塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，然后從考試題型上掌握數(shù)列解題的基本技巧與方法.

2 高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題方法與技巧

2.1 利用基本概念解題

各省高考試題中均有關(guān)于數(shù)列基本概念的題型，這些題型對(duì)數(shù)列知識(shí)的考察大都僅僅涉及到基本概念和原理.對(duì)于號(hào)稱“多考一分干掉千人”的殘酷高考來說，教師必須要教導(dǎo)學(xué)生熟練掌握數(shù)列基本概念和基礎(chǔ)性知識(shí).對(duì)于這些利用基本概念解題的題型保證讓學(xué)生一分不落地拿到手.

在高中數(shù)列教學(xué)過程中，一些數(shù)列題目的特點(diǎn)就是模式化，學(xué)生僅僅需要依靠公式套入數(shù)字即可得到正確答案.在遇到這樣的題型時(shí)，學(xué)生一定要細(xì)心謹(jǐn)慎保證百分百正確率.不能因?yàn)榭吹胶?jiǎn)單的數(shù)列問題就輕敵，漏掉重要條件最后導(dǎo)致功虧一簣，痛失分?jǐn)?shù)追悔莫及.

以數(shù)列基本概念題型為例：在所有項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)b₁=5，b₁+b₂+b₃=18，那么b₃+b₄+b₅等于多少？首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行讀題，把握題目中的關(guān)鍵因素，教師可以從以下三個(gè)主要方面引領(lǐng)學(xué)生分析試題：第一，這道題考察的主要內(nèi)容是什么？出題人的目的何在？經(jīng)過學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)，本題主要考察等比數(shù)列通項(xiàng)公式的知識(shí)內(nèi)容;第二，這道題目要求學(xué)生利用題中已知條件，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算從而求得答案;第三，本道題目的重點(diǎn)環(huán)節(jié)在于要求出公比q的數(shù)值，也就是從題中已知條件b₁+b₂+b₃=18進(jìn)行解析，列出2（1-q²）/（1-q）=18，學(xué)生通過計(jì)算得出q的答案.

經(jīng)過教師這樣分步驟的系統(tǒng)講解，學(xué)生在做類似題目的時(shí)候條理和思路分外明晰，經(jīng)過多道類似習(xí)題的演練學(xué)生能夠熟練利用數(shù)列基本概念進(jìn)行解題.類似這樣的數(shù)列習(xí)題，就沒有什么特別的技巧與辦法，只要學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式熟練掌握即可，然后直接進(jìn)行運(yùn)算得出答案.

2.2 利用數(shù)列性質(zhì)解題

近年來高考試卷出題，著重考察學(xué)生的邏輯思維能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式解題的能力.在高考數(shù)學(xué)試題中以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，注重對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力考察，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的覆蓋更加廣泛全面，增強(qiáng)了試題的綜合性與實(shí)用性.在試題中以貼近實(shí)際生活的數(shù)學(xué)情境為引，落實(shí)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考察.許多高中數(shù)列的題型雖然類別豐富、令人眼花繚亂，但是出題者的大體思路是一致的.因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生仔細(xì)分辨這類看似新鮮實(shí)則是“舊瓶裝新酒”的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生盡快找到正確的解題思路和解題方法.

例如 在利用數(shù)列性質(zhì)解題的題型中有：已知等差數(shù)列{y_n}中包含y₁+y₇=12，求解y₂+y₃+y₅+y₆之和為多少？這類數(shù)列題型針對(duì)等差數(shù)列中的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，那就是m+n=p+q.在做練習(xí)題的過程中學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的印象是否深刻，或者是學(xué)生是否真正掌握了等差數(shù)列的所有相關(guān)知識(shí)，就顯得尤為重要.在教師的引導(dǎo)與回憶過程中，學(xué)生通過思考、查閱課本、翻找筆記等多種方式，對(duì)本題涉及的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行二次回顧，應(yīng)用這個(gè)數(shù)列的重要性質(zhì)進(jìn)行解題.y₁+y₇=y₂+y₆=y₃+y₅=12，經(jīng)過推導(dǎo)該題的最終結(jié)果是y₂+y₃+y₅+y₆=（y₂+y₆）+（y₃+y₅）=12+12=24.

從以上題型中教師和學(xué)生可以輕松找出此類題型所要考察的知識(shí)內(nèi)容，就是利用數(shù)列性質(zhì)解題，看起來復(fù)雜多變、數(shù)字繁雜的題目，只要仔細(xì)讀題并分析，抓住題中的關(guān)鍵信息，就能進(jìn)行解答.因此在數(shù)列問題的講解過程中，教師應(yīng)當(dāng)抓住數(shù)列的特性，為學(xué)生指明解題應(yīng)當(dāng)把握的正確方向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一長串?dāng)?shù)字和字母背后隱藏的數(shù)列問題的關(guān)鍵著手點(diǎn)，并正確運(yùn)用這個(gè)點(diǎn)進(jìn)行著力，以此為突破口解決數(shù)列問題.

2.3 利用通項(xiàng)公式解題

在數(shù)列的各種類型試題當(dāng)中，通項(xiàng)公式占有著極大的篇幅，一些習(xí)題甚至?xí)髮W(xué)生直接進(jìn)行通項(xiàng)公式的求取，而部分習(xí)題則會(huì)通過隱藏相關(guān)條件要求進(jìn)行誤導(dǎo)學(xué)生，從而增加難度，然后再要求學(xué)生利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.所以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重通項(xiàng)公式的講解，為學(xué)生整理通項(xiàng)公式的各類求解方法，在掌握這些方法以后學(xué)生才能從容面對(duì)不同類型的高難度多類型的數(shù)列題型，增加學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，提高做題的效率與質(zhì)量，增加做題的正確率.

本文作者整理的通項(xiàng)公式求取方法主要有以下幾種供大家參考：第一，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行求取;第二，從題中多種關(guān)系條件中進(jìn)行梳理分析，利用相關(guān)條件進(jìn)行通項(xiàng)公式的求值;第三，運(yùn)用疊乘或疊加的方法進(jìn)行通項(xiàng)公式的求取.

下面進(jìn)行通項(xiàng)公式普通求解方式的分析：

首先，根據(jù)已知條件進(jìn)行等比數(shù)列的構(gòu)造，所有出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)與前項(xiàng)的依次遞進(jìn)推式均可以構(gòu)造出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列進(jìn)行通項(xiàng)公式的求取;

其次，根據(jù)已知條件進(jìn)行等比數(shù)列的構(gòu)造;

再次，按照題中后項(xiàng)與前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，向前一項(xiàng)進(jìn)行推寫對(duì)應(yīng)式子.

如果題中已知遞推公式時(shí)，求通項(xiàng)公式的一般方法：第一，如果題中給出a₁=a.a_n+1=qa_n+b，求a_n，可以利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于確定待定系數(shù)λ，使得a_n+1+λ=q（a_n+λ），從而得出λ的解.最后已知a₁=a，a_n=a_n-1+f（n）（n≥2）時(shí)，求a_n的值.這道數(shù)列習(xí)題當(dāng)中我們可以利用累加法進(jìn)行求解，根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)與通項(xiàng)公式可知：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+...+（a_n-a_n-1）的解題思路.

以上是作者在日常教學(xué)中整理匯總出來的數(shù)列利用通項(xiàng)公式解題的幾個(gè)思路，在實(shí)際應(yīng)用中非常實(shí)用且便捷.

2.4 利用方程思想解題

數(shù)列在數(shù)學(xué)概念的解釋上簡(jiǎn)述為離散數(shù)集（正整數(shù)集或者其有限子集）上的函數(shù)，數(shù)列的幾種表示方法與函數(shù)的表示方法有對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)也有很多相近與相似的地方.因此在高中數(shù)學(xué)數(shù)列的問題解析中往往可以利用方程的思想來開辟數(shù)列相關(guān)的新的解題思路.

數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想都是非常重要的數(shù)學(xué)思維方法，其中的構(gòu)造函數(shù)法更是具有非常重要的代表性，當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行一些數(shù)列問題的解析時(shí)，可以借助研究相對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程的有關(guān)性質(zhì)來進(jìn)行相關(guān)推導(dǎo).

高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列是數(shù)學(xué)科目的重要內(nèi)容和難點(diǎn)，又是將來在大學(xué)中學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的敲門磚，在數(shù)學(xué)科目中數(shù)列經(jīng)常會(huì)與函數(shù)、不等式、方程等其他數(shù)學(xué)版塊的知識(shí)發(fā)生交匯貫通的關(guān)系，故而學(xué)生在學(xué)習(xí)和做數(shù)列練習(xí)題的時(shí)候，不但要注意觀察數(shù)列的特殊性，還應(yīng)當(dāng)利用方程的思想、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的方法來開拓新的解題思路，進(jìn)行新方向的探究，透過數(shù)列練習(xí)題的表象找到對(duì)數(shù)列本質(zhì)意義的理解，從而達(dá)到靈活準(zhǔn)確應(yīng)用的高標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列教學(xué)目標(biāo).

利用方程思想解題的題型有：

題目中已知有兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}，{b_n}，這兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和分別是S_n與T_n，并且n對(duì)于一切自然數(shù)都有等式SnTn=5n+32n+7，則求解a₉b₉的值為多少？

解析 因?yàn)閧a_n}，{b_n}都是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，可以知道S_n=an²+bn的結(jié)構(gòu)形式，然后根據(jù)題中設(shè)定條件，將S_n=（5n+3）kn，T_n=（2n+7）kn，由以上分析可以較容易的得出a₉b₉=8841.

重點(diǎn)關(guān)注 如果{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，那么這道題的通項(xiàng)公式將是一個(gè)關(guān)于n的一次函數(shù)，整個(gè)式子的前n項(xiàng)和公式就是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，由此就可以利用待定函數(shù)法進(jìn)行本題的解答.

3 總結(jié)

通過以上多種類型數(shù)學(xué)數(shù)列習(xí)題的分析講解以及類型匯總中，數(shù)列習(xí)題的類型并未全部總結(jié)到位，因?yàn)閿?shù)學(xué)的特點(diǎn)就是靈活多變，存在無數(shù)待定的特性.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列的練習(xí)題中，還有一類題型，它們就是在試題給出的條件數(shù)列中沒有可以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，不符合等差數(shù)列也不符合等比數(shù)列的規(guī)律.

學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)列性質(zhì)對(duì)沒有辦法與之對(duì)應(yīng)，只能通過數(shù)列分解得出相應(yīng)的等差、等比數(shù)列.這類習(xí)題有著很大的迷惑性.所以在日常學(xué)習(xí)和教學(xué)工作中，學(xué)生與教師還應(yīng)當(dāng)勤加練習(xí)，才能更多地掌握習(xí)題技巧，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)成績(jī).

4 結(jié)語

從本文以上內(nèi)容可知，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的必考知識(shí)，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中占據(jù)了重要的地位，在數(shù)學(xué)高考中占據(jù)了相當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)值.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識(shí)到數(shù)列知識(shí)對(duì)學(xué)生的重要性 ，并且在實(shí)際解題過程中盡可能多地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的匯總與各類相似題型的歸納，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索確定解題思路和使用相關(guān)解題方法.

雖然數(shù)列在解題中具有一系列解題技巧和方法，但是其基礎(chǔ)仍然是對(duì)課本基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握和靈活運(yùn)用，數(shù)學(xué)各類練習(xí)題的模式總是萬變不離其宗，需要學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累、掌握和拓展來進(jìn)行解答.教師應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生勤學(xué)苦練，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，從而從根本上提高學(xué)生做題的效率.

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