初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算中的致錯(cuò)因素分析

文強(qiáng)

【摘要】本文通過對(duì)初中階段學(xué)生存在的數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)誤類型進(jìn)行歸類和歸因分析，試圖找到學(xué)生運(yùn)算犯錯(cuò)的思維圖示及路徑，從而探討更有效的教學(xué)策略和方法，以更好地解決學(xué)生的運(yùn)算過關(guān)問題.我們通過本文的分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程及結(jié)果是一種數(shù)學(xué)思維及能力的綜合體現(xiàn).教學(xué)中，教師應(yīng)把握住運(yùn)算類型及其本質(zhì)，并與學(xué)生當(dāng)前的思維發(fā)展層次有效結(jié)合.提升運(yùn)算能力的有效方法是通過實(shí)踐和反思的路徑，在糾錯(cuò)的過程中逐步形成良好的運(yùn)算習(xí)慣.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)運(yùn)算;致錯(cuò)原因;教學(xué)策略

一、小學(xué)和初中階段教材關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)安排

小學(xué)階段，學(xué)習(xí)了加、減、乘、除四則運(yùn)算及其法則，涉及對(duì)自然數(shù)的簡單分類：奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)、平方數(shù).初中階段，首先引入了負(fù)數(shù)，完成了有理數(shù)的分類，然后又通過平方根引入了無理數(shù)，將數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，引入了平面直角坐標(biāo)系，完成了數(shù)形結(jié)合的工具性鋪墊.初中階段，在“數(shù)的運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展“式的運(yùn)算”，首先是學(xué)會(huì)用字母表示數(shù)，然后學(xué)習(xí)了整式及其運(yùn)算，再以“等式的性質(zhì)”引入方程，“不等式的性質(zhì)”引入不等式，“分式的性質(zhì)”引入分式的運(yùn)算及分式方程.

二、初中數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維層次

初中階段的數(shù)與式的運(yùn)算是建立在“數(shù)感”的基礎(chǔ)之上的抽象化、概念化、模式化的一種數(shù)學(xué)形式.所以，小學(xué)階段關(guān)于數(shù)與運(yùn)算的核心目標(biāo)應(yīng)是發(fā)展“數(shù)感”，即能夠理解正有理數(shù)、0的意義以及它們之間的聯(lián)系和大小關(guān)系.多種直觀方式的呈現(xiàn)，可以啟迪學(xué)生思考，以便其形成良好的“數(shù)學(xué)直覺”（Howden）.良好的數(shù)感，能幫助學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)的分解，并進(jìn)行良好的數(shù)的運(yùn)算，能估計(jì)運(yùn)算結(jié)果并對(duì)結(jié)果的合理性做出理性判斷，形成良好的數(shù)、問題及結(jié)果的“直覺的素質(zhì)”（Sowder）.

初中階段首先擴(kuò)充了負(fù)有理數(shù)，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算是以有理數(shù)為重點(diǎn)，繼續(xù)鞏固和發(fā)展“數(shù)感”和“運(yùn)算直覺”.這一核心目標(biāo)必須貫穿于整個(gè)數(shù)系的擴(kuò)充過程，不然，代數(shù)系統(tǒng)的抽象性將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙.由于代數(shù)運(yùn)算還具有系統(tǒng)性，所以，前面的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)勢(shì)必會(huì)影響到后續(xù)的學(xué)習(xí)效果.所以必須每一處的運(yùn)算都嚴(yán)格過關(guān)，從而達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)，使得下一階段的學(xué)習(xí)順理成章.

運(yùn)算作為一種重要的數(shù)學(xué)能力，應(yīng)當(dāng)?shù)玫匠浞值闹匾?即使在人工智能時(shí)代的今天，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)算能力也不應(yīng)淡化.這里談的數(shù)學(xué)運(yùn)算，主要涉及算理和算法的選擇和優(yōu)化.它不單單是計(jì)算，更是一種逐步升級(jí)的思維形式，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.運(yùn)算能力的缺失，將造成數(shù)學(xué)核心能力和素養(yǎng)的缺失，而缺乏熟練的運(yùn)算能力會(huì)影響問題解決的結(jié)果.

三、對(duì)初中學(xué)生的常見運(yùn)算錯(cuò)誤的分析

作為一線初中教師，教學(xué)過程中對(duì)初中學(xué)生的常見運(yùn)算錯(cuò)誤都深有體會(huì).學(xué)生的運(yùn)算不過關(guān)是比較痛苦的，常常會(huì)發(fā)生一些意想不到的錯(cuò)誤，使人哭笑不得.筆者每當(dāng)看到學(xué)生的這些錯(cuò)誤時(shí)，就開始思考，究竟是什么原因?qū)е铝诉@些錯(cuò)誤？能不能找到合適的路徑避免這些錯(cuò)誤的發(fā)生？學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤能不能通過有效的思維層次的圖示顯性化地展示出來？

（一）初中階段學(xué)生常犯的幾種運(yùn)算的錯(cuò)誤類型及思維過程分析

類型一 運(yùn)算法則的“負(fù)遷移”

錯(cuò)誤：12+13=25;正解：12+13=36+26=3+26=56.這是小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)相加問題，是學(xué)生運(yùn)算能力形成過程中的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn).該題涉及一個(gè)通分的中間運(yùn)算，也就是有兩個(gè)運(yùn)算層次.解答此題時(shí)，學(xué)生需要將運(yùn)算的形式和內(nèi)容進(jìn)行分離，從法則上理解分?jǐn)?shù)的加法的運(yùn)算實(shí)質(zhì).學(xué)生正是因?yàn)闆]有正確理解分?jǐn)?shù)的加法的運(yùn)算實(shí)質(zhì)，錯(cuò)誤地將分子、分母簡單相加造成了此處錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤類型我們稱為“負(fù)遷移”，即一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到了干擾和阻礙的作用.學(xué)生進(jìn)入初中之后，這一類錯(cuò)誤會(huì)更加頻繁地發(fā)生，如錯(cuò)誤：a3·a2=a3×2=a6;正解：a3·a2=a3+2=a5.這個(gè)錯(cuò)誤是由于學(xué)生對(duì)乘法的“負(fù)遷移”造成的.加強(qiáng)對(duì)比認(rèn)知和舉反例是有效避免此類錯(cuò)誤的方法.

類型二 運(yùn)算律的問題

錯(cuò)誤：3÷12×2=3÷1=3;正解：3÷12×2=3×2×2=12.這是小學(xué)階段四則運(yùn)算中運(yùn)算順序問題，對(duì)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著重要的影響作用.這里學(xué)生的錯(cuò)誤來自心理的惰性選擇，認(rèn)為先計(jì)算12×2會(huì)使得計(jì)算簡便，錯(cuò)誤地認(rèn)為這是在做簡便運(yùn)算，其實(shí)這是對(duì)“簡便運(yùn)算”的實(shí)質(zhì)沒有吃透.簡便運(yùn)算必須遵循“運(yùn)算律”.這類錯(cuò)誤的發(fā)生不僅是對(duì)運(yùn)算律的忽視，更是對(duì)運(yùn)算的底層邏輯的忽視，是比較嚴(yán)重的運(yùn)算問題.如錯(cuò)誤：-3-2=-（3-2）=-1;正解：-3-2=-3+（-2）=-（3+2）=-5.明確運(yùn)算類型，規(guī)范化使用運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律是解決此類問題的方法.

類型三 運(yùn)算的形式及概念的問題

錯(cuò)誤：4=±2;正解：4=2.這里是由于學(xué)生不能正確理解 的含義而致錯(cuò)，主要原因是學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根及平方根的概念及其符號(hào)的表示產(chǎn)生混淆.算術(shù)平方根的運(yùn)算符號(hào)是 ，平方根的運(yùn)算符號(hào)是± .加強(qiáng)符號(hào)語言與文字語言之間的表達(dá)轉(zhuǎn)換訓(xùn)練是解決此類問題的方法之一.

類型四 被逼無奈的“法則創(chuàng)造”

錯(cuò)誤：由（x+1）2=4，得x2+12=4，得x2=3，得x=±3;正解：由（x+1）2=4，得x+1=±2，得x=-3或1.“（x+1）2=x2+12”這個(gè)錯(cuò)誤，形式上看來是對(duì)積的乘方“（ab）n=an·bn”的“負(fù)遷移”，但從教材的編排順序可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生形成此類錯(cuò)誤時(shí)，并未學(xué)習(xí)積的乘方的法則，所以不可能是對(duì)積的乘方的“負(fù)遷移”，其實(shí)是學(xué)生缺乏“整體”的觀念，在被逼無奈的情況下，“創(chuàng)造法則”所致.所以，教學(xué)中適時(shí)滲透“整體”等基本數(shù)學(xué)思想是很必要的.

類型五 數(shù)到式的過渡出現(xiàn)問題

剛學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)，很多學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為-a一定表示負(fù)數(shù)，把正數(shù)和負(fù)數(shù)的表達(dá)固化為“+”和“-”的形式.這是由于數(shù)到式的過渡出現(xiàn)了問題.在后續(xù)學(xué)習(xí)中，有的學(xué)生出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：已知a<0，解ax>-1，得x<1a.學(xué)生給出的解釋是“因?yàn)閍是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以相除應(yīng)該是一個(gè)正數(shù)”，這點(diǎn)本來沒有問題，但是他認(rèn)為表示正數(shù)的式子就不應(yīng)該帶負(fù)號(hào)，這是一個(gè)很大的問題.在學(xué)習(xí)每一種新的運(yùn)算時(shí)，教師要加強(qiáng)舉例說明，并多以具體的例子加強(qiáng)對(duì)比，使得學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行有效的“同化或順應(yīng)”（Piaget）.

類型六 運(yùn)算過程中的表達(dá)不規(guī)范、不完整的問題

錯(cuò)誤：3-2-3=3-2-3=1-3;正解：3-2-3=3-2-3=1+3.該題的錯(cuò)誤是由于學(xué)生去掉絕對(duì)值符號(hào)后，沒有添加括號(hào)，操作不規(guī)范、不完整而導(dǎo)致的.出現(xiàn)這類錯(cuò)誤可能是學(xué)生缺乏“算式及整體”的概念所致，所以，在數(shù)到式的過渡中，加強(qiáng)“整體觀念”的形成是很重要的.

類型七 混淆式子類型、法則

學(xué)生不能區(qū)分算式和等式，將等式性質(zhì)誤用到算式變形中.比如：將a3+b2+c變形成2a+3b+6c，這里，學(xué)生通分后，將分母“吃掉”了，這是因?yàn)榻夥匠讨小叭シ帜浮钡膶W(xué)習(xí)過程對(duì)算式的運(yùn)算造成了干擾.類似的錯(cuò)誤還常出現(xiàn)在因式分解部分.如因式分解a26+2ab3+2b23.錯(cuò)解：a26+2ab3+2b23=a2+4ab+4b2=（a+2b）2;正解：a26+2ab3+2b23=16（a2+4ab+4b2）=16（a+2b）2.明確運(yùn)算的對(duì)象和類型，加強(qiáng)概念教學(xué)可以有效避免此類錯(cuò)誤的發(fā)生.

類型八 “逆運(yùn)算”等運(yùn)算形式的轉(zhuǎn)化障礙

錯(cuò)誤：由3x=2，得x=32;正解：由3x=2，得x=23.這是初中解方程中化系數(shù)為1時(shí)，學(xué)生常常發(fā)生的“倒除”現(xiàn)象.出現(xiàn)這類“倒除”現(xiàn)象可能是學(xué)生對(duì)乘法“逆運(yùn)算”的理解不到位，也可能是除法與分?jǐn)?shù)形式互相轉(zhuǎn)化的過程中，分子、分母位置對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤所致.類似的錯(cuò)誤：由12x=2，得x=1;正解：由12x=2，得x=4.進(jìn)行有效的錯(cuò)誤歸因和分析，尋找致錯(cuò)因素的本質(zhì)，可以提升正確使用運(yùn)算性質(zhì)的能力.

（二）運(yùn)算習(xí)慣對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響

良好的運(yùn)算習(xí)慣包括：規(guī)范使用草稿紙、遇到運(yùn)算障礙時(shí)良好處理、對(duì)運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行歸因、良好的運(yùn)算心理素質(zhì).下面我們將通過一些實(shí)例和數(shù)據(jù)，談?wù)勥@些習(xí)慣對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響.

筆者對(duì)其校多個(gè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的調(diào)查，結(jié)果顯示如下：

1.規(guī)范使用草稿紙的學(xué)生運(yùn)算成績整體優(yōu)于草稿紙使用不規(guī)范的學(xué)生.沒有專用草稿紙（占比約30%）和常常不使用草稿紙（占比約10%）的學(xué)生犯低級(jí)運(yùn)算錯(cuò)誤的可能性更大.

2.遇到運(yùn)算障礙時(shí)，運(yùn)算成績優(yōu)秀的學(xué)生約有70%會(huì)及時(shí)調(diào)整思考方法，放棄比例約有15%，而運(yùn)算成績較差的學(xué)生僅有37%會(huì)及時(shí)調(diào)整思考方法，放棄比例約有42%，剩下的部分學(xué)生則選擇堅(jiān)持一種方法持續(xù)嘗試.

3.運(yùn)算致錯(cuò)歸因方面，知識(shí)性致錯(cuò)占比約26%，過失性和能力性（包含運(yùn)算法則混淆使用的情況）致錯(cuò)占比約74%，同一題目中，單一因素致錯(cuò)的比例在65%左右.其中，運(yùn)算成績優(yōu)秀的學(xué)生知識(shí)性致錯(cuò)占比較低，約5%，運(yùn)算成績較差的學(xué)生知識(shí)性致錯(cuò)占比較高，約38%.能夠規(guī)范使用運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算的學(xué)生，成績明顯優(yōu)于使用運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律意識(shí)較差的學(xué)生，且過失性致錯(cuò)更少，擁有更強(qiáng)的運(yùn)算能力.

4.心理的惰性因素也被認(rèn)為是運(yùn)算致錯(cuò)的主要因素之一.學(xué)生由于心理的惰性，總想跳過必要的步驟或規(guī)則，以求得更快的速度，這個(gè)過程中，就會(huì)導(dǎo)致其思維的盲區(qū)，混淆法則、誤用法則、“創(chuàng)造”錯(cuò)誤法則等現(xiàn)象頻頻發(fā)生.調(diào)查結(jié)果顯示，運(yùn)算成績優(yōu)秀的學(xué)生，擁有更好的心理素質(zhì)，大多數(shù)能夠靜下心來按步驟規(guī)范操作，對(duì)于錯(cuò)誤也能更好地進(jìn)行歸因和分析.

四、初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)策略與選擇

數(shù)學(xué)概念的掌握對(duì)運(yùn)算能力的形成有著重要的作用，沒有概念作為基礎(chǔ)的運(yùn)算策略，常被遺忘或混淆（Kamii ）.所以，教師應(yīng)適當(dāng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，使學(xué)生通過概念對(duì)運(yùn)算的對(duì)象和法則進(jìn)行界定，從而使學(xué)生有效避免運(yùn)算法則的混淆.

初中階段（12～15歲），學(xué)生開始進(jìn)入形式運(yùn)算階段（Piaget）.其實(shí)，具體運(yùn)算到形式運(yùn)算之間存在著一個(gè)質(zhì)變.在具體運(yùn)算思維階段，學(xué)生習(xí)慣于解釋具體的客觀事物和事件的改變，而在形式運(yùn)算思維階段，主要是能夠區(qū)分現(xiàn)實(shí)性與可能性，即能夠?qū)?nèi)容和形式進(jìn)行分離，可以離開具體事物，根據(jù)假設(shè)來進(jìn)行邏輯推理和演繹.比如：在一個(gè)多變量影響的問題中，初中學(xué)生能夠成功分離出幾個(gè)變量，來研究單一變量對(duì)問題的影響，而具體運(yùn)算階段的學(xué)生不能完成這個(gè)任務(wù).教師可以要求學(xué)生對(duì)運(yùn)算錯(cuò)誤進(jìn)行歸因和整理，引導(dǎo)學(xué)生逐一分離影響整個(gè)運(yùn)算致錯(cuò)的因素，使學(xué)生學(xué)會(huì)評(píng)估這個(gè)致錯(cuò)因素在整個(gè)運(yùn)算中起到的負(fù)面作用，并學(xué)會(huì)形成解決方案來避免類似錯(cuò)誤的發(fā)生.

數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程及結(jié)果是一種數(shù)學(xué)思維及能力的綜合體現(xiàn).教學(xué)中，教師應(yīng)把握住運(yùn)算類型及其本質(zhì)，并與學(xué)生當(dāng)前的思維發(fā)展層次有效結(jié)合.

綜上，教師可以對(duì)學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤適當(dāng)加強(qiáng)變式訓(xùn)練;可以通過引導(dǎo)學(xué)生的糾錯(cuò)行為，使其形成良好的運(yùn)算的書面表達(dá)習(xí)慣;可以規(guī)范學(xué)生使用運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律，并建立起良好的運(yùn)算思維習(xí)慣;同時(shí)，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)在錯(cuò)誤中歸因和反思，在問題解決策略的形成過程中提升運(yùn)算能力.

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