重視定理證明過(guò)程，培育數(shù)學(xué)推理思想

顧彩梅

【摘要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中.筆者圍繞判定定理“從哪里來(lái)”“是什么”“到哪里去”三方面內(nèi)容，簡(jiǎn)述在定理的證明過(guò)程中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理思想和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

【關(guān)鍵詞】推理;幾何直觀;疊合法;證明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)證明有著緊密的聯(lián)系，它與證明共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)中最重要的基礎(chǔ).義務(wù)教育階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，有著許多重要定理的介紹，教師可以以證明基本定理為抓手來(lái)逐步提升學(xué)生的推理能力.筆者以浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章第4節(jié)“兩個(gè)三角形相似的判定”（第1課時(shí)）為例，簡(jiǎn)述在定理的證明過(guò)程中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理思想.

1 課前思考

1.1 教學(xué)目標(biāo)確定

掌握三角形相似判定的預(yù)備定理、判定定理的內(nèi)容和證明方法.

借助幾何畫板構(gòu)造平行四邊形和全等三角形解決問(wèn)題，體會(huì)“疊合法”的重要作用.

體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的數(shù)學(xué)推理思想，加強(qiáng)幾何直觀和空間觀念意識(shí)，提高數(shù)學(xué)推理的能力.

在積累如何判定兩個(gè)三角形相似的經(jīng)驗(yàn)過(guò)程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和克服困難的勇氣.

1.2 教學(xué)重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：三角形相似的判定定理：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

難點(diǎn)：三角形相似判定的預(yù)備定理的證明.

“三角形相似的判定定理的證明”是一個(gè)比較嚴(yán)格的推證系統(tǒng).在這個(gè)推證系統(tǒng)中，預(yù)備定理的證明應(yīng)用了“平行截割定理”，過(guò)程比較復(fù)雜，因此將其確定為本節(jié)課的難點(diǎn).“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的判定定理作為本章判定兩個(gè)三角形相似的首個(gè)定理，創(chuàng)新度高，應(yīng)用性強(qiáng)，而且為下面其他判定方法的探索起到了示范性作用，因此是本節(jié)課的重點(diǎn).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 “從哪里來(lái)”——關(guān)注定理內(nèi)容的生成

2.1.1 從“全等三角形”中來(lái)

首先回顧判定兩個(gè)三角形全等的定理都有哪些.

想一想：“三角形全等”的條件中，對(duì)角和邊的要求分別是什么？相似三角形中又如何要求？相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，至少需要幾條邊？

說(shuō)一說(shuō)：模仿全等三角形“AAS，ASA，SAS，SSS，HL”判定定理，嘗試分別從邊、角結(jié)合的不同角度，說(shuō)一說(shuō)對(duì)三角形相似的判定方法的猜想.

設(shè)計(jì)意圖：“類比”是一種重要的數(shù)學(xué)推理思想，合理使用“類比”思想有助于我們構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)理解的整體性.全等是特殊的相似，因此筆者設(shè)計(jì)從構(gòu)成三角形的基本元素邊和角出發(fā)，讓學(xué)生類比“三角形全等”的研究方法，探索“三角形相似判定定理的證明”.

2.1.2 從“預(yù)備定理”中來(lái)

筆者引導(dǎo)學(xué)生從“有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”的猜想開(kāi)始展開(kāi)探索，從特殊情況著手：如圖1，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB和AC上的兩點(diǎn)，∠ADE=∠B，求證：△ADE∽△ABC.

追問(wèn)：直線DE與BC存在怎樣的特殊位置關(guān)系？（引出預(yù)備定理）

方案一：如圖10，從A處沿與AB垂直的方向走45 m到達(dá)E處，插一根標(biāo)桿，然后沿同方向繼續(xù)走15 m到達(dá)D處，再右轉(zhuǎn)90°走到C處，使B，E，C三點(diǎn)恰好在一條直線上.量得DC=20 m，這樣就可以求出河寬AB了.

教師首先嘗試讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)測(cè)量方案，如果學(xué)生有困難可以給出方案一.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，并且回到生活中去.學(xué)生之前已經(jīng)有了利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，因此可以借助類比思想，利用知識(shí)點(diǎn)之間的遷移，充分發(fā)揮個(gè)性，創(chuàng)新設(shè)計(jì)，解答問(wèn)題.

2.3.3 到數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去

課堂小結(jié)：本節(jié)課使學(xué)生學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形相似的方法：預(yù)備定理和判定定理;使學(xué)生體會(huì)了“疊合法”在證明過(guò)程中的巧妙使用，為其他判定方法的探索積累經(jīng)驗(yàn);使學(xué)生體會(huì)了類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般思想的重要作用.

設(shè)計(jì)意圖：教師分別從基本知識(shí)和基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想三個(gè)層面對(duì)本節(jié)課加以小結(jié)，目的是讓學(xué)生在收獲新知識(shí)的同時(shí)，重視積累本節(jié)課的基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以提升自身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

3 反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)特色解讀

（1）筆者從“處于特殊位置（圖1中的同位角和公共角）上的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否相似”這個(gè)問(wèn)題引入，巧妙地將對(duì)判定定理的研究首先落到對(duì)預(yù)備定理的探索上來(lái)，這比直接給出預(yù)備定理內(nèi)容的方式更加自然和易于接受，有利于學(xué)生理解和進(jìn)一步展開(kāi)探索.

（2）筆者考慮判定定理證明過(guò)程中的“疊合法”首次提出，輔助線不易添加，設(shè)計(jì)了先旋轉(zhuǎn)再平移的圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，借助幾何畫板先直觀感受，再展開(kāi)合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

3.2 幾何直觀和數(shù)學(xué)推理思想的滲透

課標(biāo)提出了十個(gè)核心概念，這些核心概念是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本節(jié)課著重提高學(xué)生的幾何直觀和推理能力方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以促進(jìn)其全面發(fā)展.

在證明判定定理的過(guò)程中，教師借助幾何畫板演示三角形旋轉(zhuǎn)、平移的圖形變換，幫助學(xué)生利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，以此培養(yǎng)其幾何直觀能力.在變換的過(guò)程中，圖形具有保角、保距的剛性特征，這些由圖形所給出的直觀感受為結(jié)論的猜想和證明起到了有力的推進(jìn)作用.因此，幾何直觀素養(yǎng)的滲透，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中起到了舉足輕重的作用.

本文所運(yùn)用的類比、轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般的思想都是由數(shù)學(xué)推理的思想派生出來(lái)的，這些思想的有效滲透將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.另外，本節(jié)課還合理地利用了合情推理和演繹推理，筆者深諳這兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系，把經(jīng)過(guò)合情推理產(chǎn)生的猜想作為教學(xué)的起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生反思、抽象、概括，從而進(jìn)一步演化為演繹推理，很好地完成了從合情推理到演繹推理的過(guò)渡.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.