基于數(shù)學核心素養(yǎng)的公式教學

魯依玲

【摘要】在新一輪的高中數(shù)學課程標準修訂的過程中，數(shù)學核心素養(yǎng)被明確寫入標準，它包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.那么，在高中課堂教學中，如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)呢？史寧中教授曾基于這些素養(yǎng)向大家描述了一個理想的教學過程：把握數(shù)學知識的本質、把握學生認知的過程;創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題;啟發(fā)學生思考、鼓勵學生與他人交流;讓學生在掌握知識技能的同時，理解數(shù)學知識的本質;感悟數(shù)學的思想、形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).筆者將基于以上理想教學過程中的五個環(huán)節(jié)，努力踐行培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學追求，以“二倍角的正弦、余弦、正切公式”新授課為例談一些粗淺的想法.

【關鍵詞】數(shù)學核心素養(yǎng);二倍角公式;一般到特殊;整體代換

一、教材分析

本節(jié)課是人教版普通高中數(shù)學教材必修4第3章“3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式”的內容，它是在研究了三角函數(shù)的兩角和與差公式的基礎上，進一步研究具有“二倍角”這種特殊關系的正弦、余弦、正切公式，它的學習不僅可以深化學生對兩角和與差公式的理解，同時也為研究三角恒等式及三角函數(shù)等問題提供了非常有用的理論工具.它的學習體現(xiàn)了類比推理、從一般到特殊的化歸思想、換元等重要數(shù)學思想方法.因此，我們必須深刻理解這一公式.

二、學情分析

其一：知識與經(jīng)驗：學生經(jīng)過了一般三角函數(shù)的兩角和與差公式的學習，體驗了類比推理、轉化與化歸等數(shù)學思想方法，但由于其對于知識的掌握程度還停留在表層，把知識只作為一個個獨立的模塊來認識，沒有把知識與知識互相聯(lián)系起來，所以不一定高效.其二：思維與習慣：學生思維逐漸由形象向抽象過渡，主要處于經(jīng)驗偏理性思維，交流、提問、分享、筆記、反思等好習慣比較缺失.其三：情感與態(tài)度：學生雖然對一般三角函數(shù)的兩角和與差公式的理解與應用不夠自信，但對接下來的學習有一定的好奇心，愿學但受挫力和意志力不夠高.

三、教學目標

首先，理解二倍角公式推導，掌握二倍角公式及其變形公式;能綜合運用二倍角公式進行化簡、計算、證明.其次，可以通過經(jīng)歷二倍角公式的類比與分析、推理與證明、歸納與反思、交流與分享等過程，進一步體會化歸這一基本數(shù)學思想在求值、化簡、恒等證明中所起的作用， 進一步掌握聯(lián)系變化的觀點，提高分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).最后，認識與體驗二倍角的正弦、余弦、正切公式的實用與審美價值，感受類比推理、從一般到特殊、轉化與化歸、換元等重要數(shù)學思想方法，進一步增強學習數(shù)學的信心與興趣.

四、教學過程

（一）溫習舊知

【片段實錄】師：在上兩節(jié)課呢，我們已經(jīng)學習過了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，也已經(jīng)感受過了它們給解決問題帶來的方便，那大家還記得多少呢？下面請一個學生來黑板上默寫這六個公式，其他學生在下面默寫.

生：（70%的學生都能正確默寫這六個公式）sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β，cos（αβ）=cos αcos β±sin αsin β，tan（α±β）=tan α±tan β1tan αtan β .

【片段設計意圖】復習回顧上節(jié)課所學的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，從而達到在幫助學生鞏固已學知識的同時，更好地聯(lián)系本節(jié)課將學的倍角公式的目的.由于倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式中一種特殊的形式，因此，還可以借此將學生學習的積極性調動起來.

（二）提出問題

【片段實錄】師：復習完這六個公式，我們一起來看一個問題，看大家能否用已學的知識來解決它.

在△ABC中，AB=AC=2BC，求∠A的正弦值、余弦值、正切值？

學生思考.

師：一般我們求三角形中某個角的三角函數(shù)值時，是不是首先要考慮它是否在直角三角形中??？∠A在直角三角形中嗎？

生：沒有.（大家異口同聲）

師：那我們要怎么辦？

生：（思考）構造直角三角形，過點A作BC的垂線，交BC于點D.

師：又因為等腰三角形“三線合一”的特性，所以求∠A的三角函數(shù)值也就相當于求2∠BAD的三角函數(shù)值，為了敘述簡便，我們令∠BAD=∠α，這題即求sin 2α，cos 2α，tan 2α，那如何求呢？

【片段設計意圖】創(chuàng)設合適的問題情境，既可以最大限度地抓住學生的好奇心，使學生在興趣和求知欲的驅動下積極、主動地去學習和探索豐富多彩的數(shù)學知識，又能引出本節(jié)課的核心知識.

（三）課堂探究

1.探索規(guī)律

【片段實錄】師：大家想一想，我們是如何由兩角差的余弦公式推導得出兩角和的余弦公式的？生：（思考）令cos（α-β） 中的β為-β.

【片段設計意圖】幫助學生回憶兩角和的余弦公式的推導，引導學生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，為接下來的自主探究做好知識和方法上的鋪墊.

2.類比探索

【片段實錄】師：那大家能類比上述公式推導過程，利用已學的公式推導出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式嗎？ 生：令兩角和的三角函數(shù)公式中的β=α即可得到

sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

師：真不錯！但大家也要注意其中正切函數(shù)的定義域是有限制的，大家思考一下，對于二倍角的余弦公式，能否有其他表示形式？生：利用cos2α+sin2α=1，得到cos 2α=1-2sin2α或cos 2α=2cos2α-1.

師：大家觀察之前這兩組公式（兩角和的三角函數(shù)公式和剛剛推導出來的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式），它們之間存在著什么聯(lián)系嗎？生：剛剛推導出來的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式是之前所學公式的一種特殊形式.

師：是的！這里是不是體現(xiàn)了從一般到特殊的思想啊，我們將這種特殊的三角函數(shù)公式叫作二倍角的正弦、余弦、正切公式.

【片段設計意圖】引導學生在和角公式的基礎上令其中的β=α，讓學生領會到從一般到特殊的數(shù)學思想，使學生的思維品質和整體素質得到升華.

3.深化概念

【片段實錄】師：大家是如何理解“倍”的概念的. 生：2α是α的兩倍.

師：僅僅限于2α與α嗎？α與α2不行嗎？生：不是.

師：大家一定要用整體代換——換元的思想去看待“倍”，它描述的是兩個數(shù)量之間的關系，是一個相對數(shù)量關系，如α是α2的二倍、2α是α的二倍等，大家試著做下這個題目：

已知sin 2α=35，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.

一半以上的學生都能做對.

教師再次強調“倍”的概念.

【片段設計意圖】先了解學生對“倍”的理解，最好能暴露學生的錯漏點，在此基礎上對學生的看法發(fā)表意見，不僅能加強學生對“倍”的理解，還能增強學生對學習的主動性;之后再次通過一道題加深學生對它的理解，強調“倍”是描述兩個數(shù)量之間的相對關系，引導學生對“倍”的正確認識.

4.鞏固探究

【片段實錄】師：（用多媒體展示題目）大家試著做一下下面這道題.

化簡 1-cos 2θ+ 1+cos 2θ 0<θ<π2.

極大部分學生不能正確選擇合適的二倍角的余弦公式.

師：要想化簡，是不是就要去掉根號??？那我們是不是要想辦法將里面的式子變成平方的形式??？

學生表示贊同.

師：所以1-cos 2θ中的cos 2θ應該選擇哪個公式??？

生：選擇cos 2θ=1-2sin2θ.

師：為什么？

生：既能消掉1，又能升高次數(shù).

師：那1+cos 2θ中的cos 2θ應該選擇哪個公式?。?/p>

生：選擇cos 2θ=2cos2θ-1.

師：所以得到1-cos 2θ=2sin2θ，1+cos 2θ=2cos2θ.這也是非常重要的降角升冪公式.

【片段設計意圖】通過練習引出降角升冪公式，既能讓學生明白該公式的重要性，也進一步加深了學生對該公式的理解與應用.

（四）學以致用

師：（依次展示以下練習題）

類型一：逆用公式：求以下各式的值

（1）2sin 15°cos 15°.

（2）2cos2π8-1.

（3）2tan 22.5°1-tan222.5°.

類型二：正用公式與變形公式相結合

證明1+sin 2θ-cos 2θ1+sin 2θ+cos 2θ=tan θ.

類型三：綜合運用公式

在△ABC中，cos A=45，tan B=2，求tan（2A+2B）的值.

【片段設計意圖】設計以上練習題，既能加強學生對二倍角公式的記憶和理解，又能訓練學生的逆向思維及靈活思維，培養(yǎng)學生思維的廣闊性與靈活性.

（五）小結反思

【片段實錄】師：本節(jié)課你有什么收獲和困惑（從知識上、思想方法上、需注意的地方這三個方面讓學生討論再分享）.生：知識上知道了倍角公式和降角升冪公式，思想方法上體悟了從一般到特殊的思想和整體代換思想，在正切公式中需注意定義域的限制，做題時注意三角函數(shù)的正負問題，對倍的概念的理解.

【片段設計意圖】強調學以致用、小結反思、學法指導，授人以魚的同時授人以漁.

五、教學反思

基于學生現(xiàn)有認知水平，筆者按數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求設計本節(jié)課，有收獲也有遺憾.

（一）突出重點，突破難點.教學過程緊緊圍繞二倍角的正弦、余弦、正切公式這一重難點展開，筆者通過類比推理、從一般到特殊、整體代換的思想來加深學生對該公式的理解與應用，達成了教學目標，體現(xiàn)了培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學追求.

（二）突出學生的主體地位.在課堂的開端，筆者通過設置合適的問題情境，引導學生從數(shù)學內部發(fā)展的需求或生產(chǎn)、生活的需求出發(fā)，使學生感受到每個公式都不是憑空出現(xiàn)的，并用數(shù)學的眼光去看待生活世界與數(shù)學世界.在整個探究過程中，筆者通過引導，一步一步讓學生參與其中，啟發(fā)學生思考，引導學生學會學習，增強學生學習的主動性.

（三）思維基本連貫.本節(jié)課的設計著力于二倍角的正弦、余弦、正切公式的形成與應用，筆者通過設置教學環(huán)節(jié)，在潛移默化中實現(xiàn)學生核心素養(yǎng)的提升，最終使學生達到用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界的崇高境界：追溯從何——復習回顧已學知識、把握學生心向，把握是何——創(chuàng)設問題情境、引入新知，連接與何——探索新知與舊知的聯(lián)系，操作如何——類比探索、揭示新知本質，效果如何——設置習題、檢測學習效果，挖掘有何——引導學生對本節(jié)課進行總結、體悟公式本質及蘊含的思想與方法.

（四）對學生的認知不足.在某些習題的講解過程中，筆者忽略了目前這一階段學生的認知水平和認知過程，講得過快，導致學生只會了講評的習題，卻不能靈活運用在相同類型或變式題中.

【參考文獻】

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