小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓思維過(guò)程顯性化

【摘要】本文論述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思維顯性化的策略，提出通過(guò)圖形、聲音和量表等，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題生動(dòng)呈現(xiàn)等教學(xué)建議，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的顯性化，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】顯性化思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 可視化教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）41-0147-02

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一項(xiàng)內(nèi)隱性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)概念，學(xué)生的思維過(guò)程猶如黑匣子，是看不見(jiàn)的，這就給學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的障礙。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將學(xué)生的思維過(guò)程當(dāng)成可以觀察、把握和觸摸的對(duì)象，并致力于將這一過(guò)程顯性化，通過(guò)有效的引導(dǎo)和設(shè)計(jì)，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變成可以言說(shuō)的思想方法以及可以看得見(jiàn)的數(shù)學(xué)圖表等，通過(guò)直觀的呈現(xiàn)和引領(lǐng)，讓學(xué)生能夠清晰地呈現(xiàn)自己的思維過(guò)程，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。筆者認(rèn)為，教師可以從四方面開(kāi)展教學(xué)。

一、借助圖形表征，讓抽象問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)

圖形是數(shù)學(xué)思維的腳手架。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，形象性思維是其主要的思維方式，而數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性恰恰在于缺乏直觀形象性，純粹的抽象文字讓學(xué)生理解起來(lái)存在一定的困難。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形表征，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用畫(huà)圖的方法直觀呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)圖形表征揭示文字背后的數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想，這樣才能夠幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，同時(shí)也讓學(xué)生的思維軌跡變得清晰可見(jiàn)。

如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘法”時(shí)，有這樣一道練習(xí)題：一桶油連桶共重30千克，倒出一半的油后，連桶稱(chēng)共有16千克。求這桶油的油和桶分別是多少千克？

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生大多憑感覺(jué)來(lái)解答，主要原因是大部分學(xué)生找不到問(wèn)題的關(guān)鍵所在，不知道如何尋找數(shù)量關(guān)系。其實(shí)，找出題中的數(shù)量關(guān)系才是解決這個(gè)問(wèn)題的核心。因此，教師要向?qū)W生滲透解決問(wèn)題的思想方法，即解決問(wèn)題先要從梳理數(shù)量關(guān)系入手。為此，筆者從畫(huà)圖入手，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意進(jìn)行思考并畫(huà)出示意圖：“想一想，這桶油在倒出一半油之前重量是多少？這桶油倒出了一半油之后重量是多少？請(qǐng)將倒油前后的數(shù)量進(jìn)行對(duì)比，你從中發(fā)現(xiàn)了什么？用圖示表示出來(lái)?！碑?dāng)學(xué)生畫(huà)出圖示之后，筆者要求學(xué)生根據(jù)圖形說(shuō)出自己的理由（如圖1）。由此，學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出圖示，然后再結(jié)合圖形進(jìn)行思考，最終直觀地感受到從原來(lái)的油和現(xiàn)在倒出一半油之后的變化入手，找到其中的數(shù)量關(guān)系，從而求出油的重量。

在以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師一步步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形構(gòu)建，從了解題意畫(huà)圖到根據(jù)圖形思考分析，由淺入深分層次將抽象的代數(shù)問(wèn)題幾何化，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，運(yùn)用圖形的導(dǎo)向作用，帶領(lǐng)學(xué)生解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將內(nèi)隱的思維過(guò)程顯性化，由此培養(yǎng)學(xué)生良好的圖感，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

二、創(chuàng)設(shè)溝通情境，讓數(shù)學(xué)思維表達(dá)出來(lái)

語(yǔ)言是思維的外化。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，借助語(yǔ)言表達(dá)，能夠?qū)W(xué)生內(nèi)隱的思維直觀展現(xiàn)出來(lái)。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)交流溝通的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，通過(guò)質(zhì)疑激發(fā)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)動(dòng)力，一方面能夠讓學(xué)生及時(shí)展開(kāi)有效的溝通，從思維上得到碰撞;另一方面教師也能夠借此了解學(xué)生的思維動(dòng)向，為下一步提升學(xué)生的思維水平打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如，在教學(xué)人教版六年級(jí)上冊(cè)《圓的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，學(xué)生對(duì)圓已經(jīng)有基本的認(rèn)識(shí)，但這些認(rèn)識(shí)沒(méi)有建立在抽象的概念之上，而是基于現(xiàn)實(shí)生活形成的。為此，筆者從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，設(shè)計(jì)了自主探究、小組討論等教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)圓心的概念展開(kāi)自主探索，通過(guò)自主體驗(yàn)深入理解圓心的特點(diǎn)。筆者特意設(shè)計(jì)了“找圓心”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：想一想，怎么樣才能找到一個(gè)圓的圓心呢？請(qǐng)根據(jù)你的操作經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)出自己的方法。有學(xué)生提出：“可以用對(duì)折的方法，通過(guò)對(duì)折得出兩條折痕，這兩條折痕就是直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心?！贬槍?duì)學(xué)生提出的這個(gè)方法，筆者沒(méi)有進(jìn)行評(píng)價(jià)，而是引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)這個(gè)方法展開(kāi)討論：“你覺(jué)得他這個(gè)方法對(duì)嗎？如果不對(duì)，你有什么建議？”問(wèn)題一出，學(xué)生立刻活躍起來(lái)，當(dāng)即有學(xué)生提出了質(zhì)疑：“我認(rèn)為這個(gè)方法不對(duì)。比如黑板上有一個(gè)圓，要找出黑板上這個(gè)圓的圓心，這個(gè)圓就不能對(duì)折，所以這個(gè)方法是不合理的。”筆者借此引導(dǎo)學(xué)生討論：“這個(gè)同學(xué)的反對(duì)意見(jiàn)聽(tīng)起來(lái)很有道理。你認(rèn)同他的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)你想一想有沒(méi)有更好的方法找到圓心呢？”學(xué)生的興趣大增，并根據(jù)這個(gè)反對(duì)意見(jiàn)展開(kāi)了交流與討論，提出可以用以下方法和步驟來(lái)找圓心：①可以在圓上任意畫(huà)出一條直線和圓相交于A、B兩點(diǎn)，作AB的中垂線。②然后再畫(huà)一條和AB不平行的線，和圓交于C、D兩點(diǎn)，作CD的中垂線。③兩條中垂線相交于一點(diǎn)O，O就是圓心。也有學(xué)生提出這樣的測(cè)量方法找圓心：“用兩個(gè)三角板的直角邊，分別在兩邊緊貼著這個(gè)圓，然后下面再緊貼一把直尺，中間最長(zhǎng)的線段就是直徑，然后找出這條直徑的中點(diǎn)，該中點(diǎn)就是圓心。”在交流分享的過(guò)程中，學(xué)生一步步地探索圓心這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)，筆者能夠清晰地發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略，觸摸到學(xué)生思維跳動(dòng)的脈搏。由此，筆者要求學(xué)生針對(duì)提出的這些方法繼續(xù)質(zhì)疑，并探究這種找圓心的方法的理論依據(jù)，由此讓課堂探究繼續(xù)深入下去，從而讓學(xué)生對(duì)圓的直徑、圓心有更深入的理解。

以上環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)溝通的課堂情境，給學(xué)生構(gòu)筑了一個(gè)相互傾聽(tīng)、相互應(yīng)答的空間，讓學(xué)生通過(guò)自主應(yīng)答，將自己的思維清晰地表達(dá)出來(lái)。與此同時(shí)，在顯性化的情境中交流，教師也能夠由此理性跟進(jìn)，捕捉學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展。

三、加強(qiáng)動(dòng)態(tài)操作，讓數(shù)學(xué)研究展示出來(lái)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題大多是抽象的、靜態(tài)的，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難。這就需要教師將這些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)成直觀的動(dòng)態(tài)形式。筆者認(rèn)為，教師可以通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等這種具體的動(dòng)態(tài)操作，讓抽象的數(shù)學(xué)課堂變?yōu)閯?dòng)態(tài)化的課堂，通過(guò)在動(dòng)態(tài)活動(dòng)中做數(shù)學(xué)的方式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的研究路徑顯性化，“做”和“想”融為一體，相互促進(jìn)。這樣，學(xué)生的思維不但得到清晰地展示，而且也能夠有所提升和發(fā)展，從而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加深刻。

如，在教學(xué)三年級(jí)內(nèi)容《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》時(shí)，學(xué)生針對(duì)其中的拼圖求周長(zhǎng)這類(lèi)問(wèn)題產(chǎn)生了認(rèn)知誤區(qū)，在計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)他們認(rèn)為就是兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相加，而不知道圖形在拼接的過(guò)程中會(huì)少幾條邊，更不知道這些少了的邊怎么計(jì)算，也不清楚為什么會(huì)少掉這些邊。為了糾正學(xué)生的這個(gè)認(rèn)知錯(cuò)誤，筆者特意設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)操作活動(dòng)，給學(xué)生準(zhǔn)備了剪刀以及長(zhǎng)方形和正方形的紙片，讓學(xué)生分小組操作，分別將長(zhǎng)方形和正方形剪下來(lái)，5人一組根據(jù)自己的想法進(jìn)行拼接。有的小組將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊拼在一起，也有的小組將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形的寬邊拼在一起。拼接之后，筆者再讓學(xué)生用筆將這些拼接的邊描畫(huà)出來(lái)。學(xué)生在描畫(huà)的過(guò)程中深刻地體會(huì)到，拼接后的圖形長(zhǎng)邊少了兩條（或?qū)掃呉采倭藘蓷l）。最后，筆者再讓學(xué)生根據(jù)操作的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)體驗(yàn)操作，學(xué)生最終形成了一致的算法：拼接圖形的周長(zhǎng)并不是兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相加，而是兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相加之后要減去拼掉的長(zhǎng)或?qū)挕?/p>

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，教師給學(xué)生提供了一個(gè)動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在操作中感受、發(fā)現(xiàn)和思考問(wèn)題。通過(guò)拼一拼、描一描、算一算的動(dòng)態(tài)化操作，學(xué)生的思維路徑和思考方向都能夠直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，教師也能夠可視化觀察并予以指導(dǎo)，最終讓學(xué)生的研究路徑一步步呈現(xiàn)出來(lái)。通過(guò)直觀的操作，學(xué)生的思維也逐漸形成，同時(shí)思維又反哺直觀的操作。這種動(dòng)態(tài)操作的顯性化課堂教學(xué)，讓學(xué)生的動(dòng)作和思維相輔相成，互相促進(jìn)，從而形成了“做思共生”的課堂學(xué)習(xí)狀態(tài)，極大地提升了學(xué)生的思維能力和操作能力。

四、建構(gòu)量化模型，讓數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)起來(lái)

認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，大腦對(duì)具有直觀性、嚴(yán)密性和結(jié)構(gòu)性的量表極其敏感，這些量表能夠有效地將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念歸納概括為直觀的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，使其更容易被理解和被遷移，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要在學(xué)完新知之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉、總結(jié)和反思，建構(gòu)量化模型，使其形成量表化的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，由此培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

如，在教學(xué)《因數(shù)和倍數(shù)》之后，筆者結(jié)合這一單元的知識(shí)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生梳理本單元抽象的數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，讓數(shù)學(xué)概念串聯(lián)成串、結(jié)構(gòu)成網(wǎng)、集約成體。比如“互質(zhì)”這個(gè)概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，只能獲得單一的認(rèn)知，經(jīng)過(guò)引導(dǎo)之后，頭腦中建立了一個(gè)概括性的認(rèn)知，針對(duì)不同的情況有不同的界定，對(duì)“互質(zhì)”建立了三種表達(dá)模型，即兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1，最大公因數(shù)是1和沒(méi)有公有的質(zhì)因數(shù)。為了讓學(xué)生對(duì)互質(zhì)數(shù)有一個(gè)精準(zhǔn)的概念化界定，筆者讓學(xué)生使用量表，將互質(zhì)數(shù)的情況分別舉例。學(xué)生指出，這其中有5種情況：①1和任何自然數(shù)互質(zhì);②兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)互質(zhì);③2的n次方和任何一個(gè)基數(shù)互質(zhì);④兩個(gè)不相同的素?cái)?shù)互質(zhì);⑤兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)互質(zhì)。掌握了這些可量化的數(shù)學(xué)模型之后，學(xué)生就能夠在運(yùn)用短除法求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)游刃有余、得心應(yīng)手，并能夠熟練地應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中。

以上環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)化的概念內(nèi)涵界定以及精細(xì)化的概念外延分類(lèi)，對(duì)所學(xué)的概念知識(shí)建構(gòu)了一個(gè)可量化的數(shù)學(xué)模型，對(duì)互質(zhì)數(shù)的概念有了深刻的理解，學(xué)生逐步從點(diǎn)狀概念向線性、網(wǎng)狀、系統(tǒng)狀的思維量表發(fā)展，從而培養(yǎng)和提升學(xué)生的推理能力、分析能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要立足于學(xué)生的思維發(fā)展，充分發(fā)揮圖形表征的作用，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生操作活動(dòng)的引導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)溝通的課堂情境，讓學(xué)生將思維過(guò)程動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)和表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而更好地理解、記憶和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣的顯性化教學(xué)不僅僅是一種教學(xué)策略，更是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的思想和理念所在。

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作者簡(jiǎn)介：黃聲理（1978— ），女，廣西興業(yè)人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

（責(zé)編 黃健清）