從錯例出發(fā)，淺談長方體切割問題

勞錫萍

摘 要：緊密聯(lián)系生活實際，讓學(xué)生通過觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，幫助學(xué)生積累空間經(jīng)驗，感悟“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：長方體；正方體；數(shù)形結(jié)合；錯例

一、呈現(xiàn)錯例，確定問題

在人教版五年級下冊數(shù)學(xué)教材“正方體與長方體”單元的習(xí)題中，一道填空題錯誤率極高。統(tǒng)計的班級錯誤率達(dá)到41%。題目如下：“一個長6分米，寬4分米，高5分米的長方體紙盒，最多能放（）個棱長為2分米的正方體木塊?！?9%的學(xué)生填了15個，而正確答案是12個。這是“一個長方體最多能切割成多少個小正方體”的問題。學(xué)生對此類問題解答存在偏差，需要進(jìn)行分析歸因，從而改進(jìn)教師的教學(xué)實踐。

二、分立角度，剖析錯因

（一）學(xué)生的角度

本題有兩種方法解決：方法一，大體積÷小體積；方法二，用長、寬、高分別除以棱長，再把得數(shù)相乘。但只要有一個量不是棱長的整數(shù)倍，只能使用方法二，同時用到去尾法。本題中，“高5dm”不是“棱長2dm”的整數(shù)倍，所以只能用方法二來解答。但本次作業(yè)中有大部分學(xué)生給出如下答案：（6×4×5）÷（2×2×2）=15（個），而正確的應(yīng)該是6÷2=3（個），4÷2=2（個），5÷2≈2（個），3×2×2=12（個）。

此類錯誤的產(chǎn)生，在于學(xué)生做題時，忽略了小正方體放入長方體中時，是否完整地放入。因此，不僅需要計算，更要畫圖觀察，幫助思考。例如本題，用長方體的長、寬、高分別去除以正方體棱長。就會發(fā)現(xiàn)高除以棱長等于2.5，只能完整地放入兩個高度的正方體。所以正確答案應(yīng)該是3×2×2=12（個）。此類題型在本單元中并不是第一次出現(xiàn)，但兩種方法對于學(xué)生來說，更易接受的是大體積÷小體積。而對于方法二較為抽象，不易理解。

（二）教師的角度

不管是三年級出現(xiàn)的“長方形里可以擺幾個小正方形”，還是五年級的“一個大長方體中可以放幾個小正方體”。習(xí)題基本都給學(xué)生湊好了數(shù)據(jù)，即倍數(shù)關(guān)系。所以教師更多強(qiáng)調(diào)的是方法一（大體積/大面積÷小體積/小面積），學(xué)生最常見的也是方法一。從而造成了學(xué)生思維定勢影響下去做題，導(dǎo)致錯誤。

（三）教材的角度

在三年級《長方形和正方形面積》這一塊內(nèi)容中，教材這樣呈現(xiàn)：地磚的邊長3dm，客廳長6m，寬3m，一共要用多少地磚？鋪地磚的情景最終轉(zhuǎn)化為“一個長方形內(nèi)可以放幾個正方形”此類題目。也需要用到這兩種方法，并且要結(jié)合實際，合理選擇方法才能解決問題。像課本這一題可以“先算出客廳地面的面積，再除以每塊地磚的面積”，也可以“先分別算出客廳的長和寬可以鋪多少地磚，然后用乘法計算出相應(yīng)塊數(shù)”。這一題數(shù)據(jù)剛剛湊好，即倍數(shù)關(guān)系，所以兩種方法均可。

此外，五年級下冊學(xué)完《長方體和正方體的體積》后，出現(xiàn)了這樣一道練習(xí)：一個長方體包裝盒，從里面量長28cm、寬20cm，體積為11.76dm3。爸爸想用它包裝長25cm、寬16cm、高18cm的玻璃器皿，是否可以裝得下？

就方法一而言：25×16×18=7200cm3=7.2dm3<11.76dm3，可以裝下玻璃器皿。但采用方法一去解決這道題目，非常容易出錯。極有可能玻璃器皿的體積是小于長方體包裝盒的，但玻璃器皿的長寬高其中一項大于長方體包裝盒的對應(yīng)數(shù)據(jù)，那么就放不下了。所以，方法二更具有普遍性和實用性。

教材本單元中另一題：茶廠工人要將長、寬各為20cm、高為10cm的長方體茶盒放入棱長為30cm的正方體紙盒，最多能裝幾盒？這一題不僅需要用方法計算，更要結(jié)合實際畫圖觀察，幫助思考。在放完3個以后，在寬和長上還剩下10cm的空間，在高上還剩下30cm的空間。正好可以插空再放兩個茶盒進(jìn)去，所以3+2=5（個）。提醒我們在做此類題時，要結(jié)合實際情況來看看能不能繼續(xù)放，從而解決問題。

統(tǒng)觀一至五年級的數(shù)學(xué)教材，整個環(huán)節(jié)跳躍性過大。三年級對于除法意義的安排都相當(dāng)細(xì)致，去尾法也有一定的篇幅，有利于學(xué)生夯實基礎(chǔ)。而疑惑的是三年級長方形和正方形的面積章節(jié)中，更多地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方法一（大面積除以小面積）進(jìn)行解決問題。然后直接進(jìn)入五年級“正方體和長方體”中三維的情況。

三、策略實踐，促進(jìn)教學(xué)

“一個長方體最多能切割成多少個小正方體”問題不僅需要計算，更要數(shù)形結(jié)合思考，并選擇合理的方法。在教學(xué)中，我們可以做以下改進(jìn)：

（一）強(qiáng)化體積推導(dǎo)

在教學(xué)長方體體積時，有些學(xué)生只記憶了體積公式，卻不了解公式的推導(dǎo)過程，這也成為了本文錯例產(chǎn)生的原因之一。所以，讓學(xué)生理解長方體體積公式的推導(dǎo)過程尤為重要。教師可以在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)體積單位的擺放，感知長方體中沿著長、寬、高只擺一行小正方體。這樣一來，學(xué)生更深一層地理解了為什么要用方法二來解決此類問題更妥當(dāng)。

（二）增加練習(xí)機(jī)會

學(xué)生能靈活解決以下兩類：

1.一個長方體空盒，長8cm，寬6cm，高12 cm，最多可以放（）個棱長4 cm的小正方體。

2.用兩種方法解決：一塊橡皮長4cm，寬3cm，厚1cm，現(xiàn)有一個盒子，從里面量長16cm，寬9cm，高5cm。這個盒子最多能放多少塊橡皮？

整個過程把大長方體分割成小正方體的問題由三維倒推至二維、一維，逐個擊破，打好基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)的教學(xué)練習(xí)，螺旋上升。教師搜集整理此類題，給學(xué)生進(jìn)行集中專項訓(xùn)練，從而鞏固相應(yīng)的解法。

（三）展示PPT、實物

空間能力的培養(yǎng)、幾何直觀的感悟是滲透在每一道題中的。教師可以借助自制教具、實物、多媒體課件的形式，給學(xué)生展示這一類的問題。讓學(xué)生在直觀的幾何圖形展示中，抽象出自己做題需要的圖形和量。從而合理地選擇方法，結(jié)合實際加以解答。形象直觀地觀察把大長方體分割成小正方體的問題由三維倒推至二維、一維的過程，做到真正地理解。