運用化歸與轉化學習策略培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)

【摘 要】數(shù)學知識之間具有內在的、緊密的聯(lián)系，數(shù)學知識發(fā)展的過程就是一個類比、推廣、特殊化等化歸與轉化的過程。數(shù)學問題解決的過程，本質上也是不斷地化歸與轉化的過程。因此，化歸與轉化是數(shù)學學科特有的一種學習策略，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。研究者以人教版教科書正弦定理和余弦定理證明過程為例，說明如何運用化歸與轉化學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】化歸與轉化;數(shù)學思維;學習策略;核心素養(yǎng)

【作者簡介】師軼，正高級教師，廣西數(shù)學特級教師。

【基金項目】廣西教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學學習策略研究”（2017A004）

數(shù)學學習的本質是對數(shù)學思維方式的學習。學而不思則罔，學生只有通過自己的獨立思考，并掌握科學的思維方法才能真正學好數(shù)學。數(shù)學學習必須從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的思維過程、數(shù)學性質的合理猜想與論證的思維過程出發(fā)，讓學生學會用抽象、概括、分析、綜合、化歸、轉化等數(shù)學思維方法去思考問題、解決問題。只有運用數(shù)學的思維方法進行數(shù)學學習，才能有效鍛煉數(shù)學思維能力，才能學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界?？梢?，數(shù)學學習主要是通過數(shù)學思維活動來實現(xiàn)的，數(shù)學學習的過程就是以數(shù)學知識為載體對學生進行系統(tǒng)的數(shù)學思維訓練的過程。學會運用數(shù)學思維方式進行數(shù)學學習是高中數(shù)學學習策略的核心。因此，筆者認為，高中數(shù)學學習策略，就是在數(shù)學思想的指導下，運用數(shù)學思維方式進行高中數(shù)學學習（考察數(shù)學對象、認識數(shù)學本質、把握數(shù)學規(guī)律）的策略。

一、化歸與轉化學習策略的內涵

化歸與轉化思想是高中數(shù)學基本思想之一。數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想、一般與特殊的思想等都是化歸與轉化思想的具體體現(xiàn)，各種變換的方法、分析法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、換元法、反證法、解析法、向量法等都是轉化的手段。數(shù)學問題解決的過程，就是不斷地化歸與轉化的過程，幾乎所有數(shù)學問題的解決都離不開化歸與轉化。因此，數(shù)學活動的實質就是數(shù)學思維的轉化過程。

胡炯濤提出了十個基本數(shù)學思想，他認為化歸法是一種哲學方法，是一種更為一般的數(shù)學思想[1]。任子朝將數(shù)學思想方法劃分為三個層次：一是數(shù)學思想，如數(shù)形結合的思想、分類討論的思想、函數(shù)與方程的思想等;二是數(shù)學中的邏輯方法，如分析法、綜合法、歸納法等;三是具體的數(shù)學方法，如配方法、換元法、參數(shù)法等。[2]

可見，化歸與轉化不僅具有哲學層面的數(shù)學思想的特點，也具有邏輯學層面的思維方法的特點，還具有操作層面的具體數(shù)學方法的特點?；瘹w與轉化是數(shù)學學科特有的一種學習策略。

化歸，就是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。轉化，就是將數(shù)學問題（命題）由一種形式向另一種形式變換的過程。

化歸與轉化的學習策略，是指運用化歸與轉化的思維方式學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的一種策略。

二、運用化歸與轉化學習策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

運用化歸與轉化學習策略，可以發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，建立知識結構，完善數(shù)學知識體系，也可以通過細致觀察、合理聯(lián)想、知識提取、信息加工、思路選擇、縝密推理等思維過程，解決數(shù)學問題。因此，運用化歸與轉化的學習策略，能夠較好地落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。下面以人教版教科書正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程的學習為例，說明如何運用化歸與轉化學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（一）在定理發(fā)現(xiàn)與證明的過程中，運用化歸與轉化策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

1.提出一般性問題，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

人教社A版高中數(shù)學教科書必修5第一章的“正弦定理”首先提出一般性的抽象問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系。我們是否能得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？

教材不是提出特殊的具體問題，而是提出一般性的抽象問題，有利于啟發(fā)學生從宏觀的、整體的角度去思考問題，探究一般性的聯(lián)系、結論和規(guī)律，引導學生學會如何思考抽象問題，以及從哪些方面入手，逐步把抽象問題轉化為具體問題，運用化歸與轉化的學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

2.問題數(shù)學化，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

教材通過符號化，把上面一般性的問題數(shù)學化，用符號重新表征，將問題轉化為一個數(shù)學問題：在△ABC中，如果已知∠A所對的邊BC長為a，∠B所對的邊AC長為b，∠C所對的邊AB長為c，我們研究∠A，∠B，∠C，a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關系。

文字語言比較形象，而符號語言比較抽象。將文字語言轉化為符號語言，將一般性問題通過數(shù)學化轉化為數(shù)學問題，這是運用化歸與轉化學習策略解決數(shù)學問題的基本思路。把一般性的問題數(shù)學化有利于聯(lián)系有關數(shù)學知識，有利于探究具有具體意義的符號之間的關系，讓思維有了抓手，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

3.分類轉化，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

教材對該數(shù)學問題進行分類轉化：一般三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。由于我們不容易直接得到一般三角形中邊和角的數(shù)量關系，因此，我們可以嘗試分類探究，優(yōu)先考慮直角三角形，尋求突破。

在此，教材運用分類轉化的策略將一般三角形的問題分解為幾類特殊三角形的問題，先從最簡單的情形入手得到結論，再將其他情形轉化為最簡單的情形，逐個突破得到一般性結論，有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。

4.數(shù)形轉化，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

教材畫出了一個Rt△ABC的圖形（如圖1），其中∠C=90°。要考慮邊長之間的數(shù)量關系，聯(lián)想到銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，有ac=sinA，bc=sinB。

圖1

圖2

當△ABC是銳角三角形時，如圖2，教材通過作AB邊上的高，將銳角三角形化歸為直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，得出結論;當△ABC是鈍角三角形時，通過作高轉化，同理可以證明結論成立。

如圖4，將△ABC的內心O與各頂點連接，將原三角形分割成三個小三角形：△OAB，△OBC，△OCA，則

S=S△OAB+S△OBC+S△OCA

圖4

=12rc+12ra+12rb

=12r（a+b+c），

∴r=2Sa+b+c。

該題通過三角形的外接圓與內切圓等輔助圖形的轉化，不僅把正弦定理進行了推廣，還得到了三角形的邊、角與其他元素之間的一些基本關系式，使得對正弦定理的研究更加系統(tǒng)、更加完整?？梢姡ㄟ^圖形變換實施化歸與轉化的策略，有利于培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

4.聯(lián)想變換，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)

余弦定理主要用于求解三角形的有關問題。由于它是一個二次三項式的結構，與代數(shù)中的重要模型“a2+b2±ab”的結構非常相似，這樣就可以通過配方法將二次三項式模型轉化為完全平方模型來實現(xiàn)模型轉化，或者通過構造法將二次三項式模型轉化為余弦定理模型來實現(xiàn)模型轉化。

例3 設a>b>0，c>b>0，求證：a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。

分析：a2-ab+b2，b2-bc+c2，a2+ac+c2與余弦定理的形式相似，

∵a2-ab+b2=a2-2abcos60°+b2，b2-bc+c2=b2-2bccos60°+c2，a2+ac+c2=a2-2accos120°+c2，

于是可構造出以a、b為兩邊，夾角為60°的△ABD;以b、c為兩邊，夾角為60°的△DAC;以a、c為兩邊，夾角為120°的△ABC。由此，問題將轉化為三角形三邊之間的關系問題。

解：構造如圖5所示的平面圖形。

圖5

則BD=a2+b2-2abcos60°=a2-ab+b2，

DC=b2+c2-2bccos60°=b2-bc+c2，

BC=a2+c2-2ac·cos120°=a2+ac+c2。

在△BDC中，因為BD+DC>BC，

所以，a2-ab+b2+b2-bc+c2>a2+ac+c2。

若D在BC上，則BD+DC=BC，即a2-ab+b2+b2-bc+c2=a2+ac+c2。

綜上可知，a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。

對定理的模型（結構）越熟悉、認識得越深刻，就越容易產(chǎn)生聯(lián)想，越容易實現(xiàn)化歸與轉化。對同一個數(shù)學模型（結構）從不同的角度進行分析，對不同的數(shù)學模型（結構）不斷地進行比較、提煉，形成新的、更廣的模型（結構），有利于深化對這些數(shù)學模型（結構）的認識，有利于實現(xiàn)模型（結構）之間的化歸與轉化，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

5.元素變換，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

正弦定理的結構是一個連比型的比例式結構，即每個分式的分子都是邊長，分母是該邊所對角的正弦;余弦定理是二次型的結構，即三項都是二次的，兩項是平方和，一項是乘積的兩倍。從正弦定理和余弦定理中的某一個式子出發(fā)，對其元素按照a→b→c→a及A→B→C→A的順序同時進行輪換，就可以得到其他的公式。這體現(xiàn)了正弦定理和余弦定理具有數(shù)學的對稱美和輪換對稱美。

利用三角形的外接圓可以發(fā)現(xiàn)，正弦定理中比例的值恰恰是三角形外接圓直徑的長度;勾股定理是余弦定理的特殊形式，余弦定理是勾股定理的推廣。這些都體現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一美。

通過外接圓的直徑2R，正弦定理可以實現(xiàn)邊與角的轉化;利用余弦定理及其推論也可以實現(xiàn)邊與角的轉化。這就為我們解三角形問題提供了三種化歸與轉化的思路：邊化角，角化邊，或邊角同時互化，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美。

對數(shù)學結構從不同的側面、不同的角度進行解讀、欣賞，會感受到數(shù)學美的不同表現(xiàn)形式，這就需要發(fā)揮觀察、分析、想象、聯(lián)想、類比、化歸、推理、重構等數(shù)學思維的作用，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

（三）在提煉數(shù)學方法的過程中，運用化歸與轉化的學習策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

教材在證明余弦定理時，將三角形的邊轉化為向量，通過向量的數(shù)量積以及向量模的概念，把幾何證明問題化歸為向量的運算問題。由此可以抽象概括出一種重要的數(shù)學方法——向量法。

向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁，也是化歸與轉化數(shù)學問題、解決數(shù)學問題的重要工具。

利用向量法進行化歸與轉化，其實質是通過向量運算進行邏輯推理。推理的思路相對單一，就是把問題向量化;推理的步驟相對固定，就是實施向量運算;推理的結論可靠，就在于運算步驟的準確性。運用向量法進行化歸與轉化，包括將問題向量化、實施向量運算、抽象概括結論三個步驟。

1.將問題向量化，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)

對問題進行向量化的過程，就是構建向量模型的過程。例如，向量加法與向量減法的幾何模型、數(shù)乘向量的幾何意義模型、向量模的公式模型、向量的模與向量運算的公式模型、向量數(shù)量積的模型。在這個向量化的過程中，需要根據(jù)問題中數(shù)學對象的結構特點，聯(lián)想向量的有關知識，將數(shù)學對象抽象為向量的某個模型，再運用這個模型進行計算。因此，將問題向量化的過程，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

2.實施向量運算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)

實施向量運算，就是根據(jù)向量的運算法則，對構建出來的向量模型中的有關向量實施運算，這是一個利用運算進行推理的過程。要注意運算的條件、運算的方向、運算的方法、運算的準確性，這也是一個培養(yǎng)數(shù)學運算的合理性、精細性、準確性素養(yǎng)的過程。

3.抽象概括結論，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

抽象概括結論的過程，就是對實施向量運算得到的結果做出符合題意或者實際的解釋，添加限制條件（如漏解）或者刪除多余結論（如增解），從而歸結出原問題的結論。這樣的化歸與轉化的過程，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

向量法在數(shù)學中的運用非常廣泛。運用向量法可以證明立體幾何中的平行、垂直問題，求空間角、空間距離，證明正弦定理、余弦定理、射影定理、三垂線定理、線面平行或垂直的判定定理等。

三、結語

運用化歸與轉化學習策略進行數(shù)學學習，有助于提高學生對數(shù)學的整體認識，通過對新知識的特殊化發(fā)現(xiàn)與已有知識的聯(lián)系，對新知識的推廣探求新的事實和論證猜想，以及對新知識的類比提出新的探究問題，使不同模塊的數(shù)學知識相互溝通。在學習中，學生體會數(shù)學探索活動的基本規(guī)律，逐步學會借助數(shù)學符號和邏輯關系進行抽象思維、數(shù)學推理和探究，養(yǎng)成邏輯思維的習慣，能夠有條理地、符合邏輯地進行思考、推理、表達和交流，從而發(fā)展學生處理相應的數(shù)學關系的悟性和潛能，把培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)落實在化歸與轉化的過程中。

參考文獻：

[1]胡炯濤.數(shù)學教學論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]任子朝.改進高考命題 推進素質教育：數(shù)學高考命題回顧與展望[J].中學數(shù)學月刊，1997（9）：1-3.

（責任編輯：陸順演）