領(lǐng)悟設(shè)計(jì)意圖 提高解題能力

摘 要：文中從文字表述、圖形設(shè)置、概念界定等三個(gè)方面分析了滬科版初中數(shù)學(xué)課本上一道習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖，展示了基于該設(shè)計(jì)意圖的解法思路，最后介紹了應(yīng)用拓展.

關(guān)鍵詞：設(shè)計(jì)意圖 一題多解 解題能力

1 試題呈現(xiàn)

如圖1是正四邊形、正五邊形、正六邊形，試分別計(jì)算其相鄰兩條對(duì)角線的夾角α4，α5，α6，并探究正n邊形相鄰兩條對(duì)角線的夾角存在什么規(guī)律.圖1

這是義務(wù)教育滬科版九年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)》第24章圓復(fù)習(xí)題A組中的最后一道試題.該題以正多邊形為素材，編者把它設(shè)計(jì)成一道探究規(guī)律型試題，其考查了九年級(jí)學(xué)生應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)探究圖形類問題的能力，從難度上說應(yīng)該屬于中檔題.

2 設(shè)計(jì)意圖

下面從三個(gè)角度分析教材編寫者的設(shè)計(jì)意圖.

2.1 從原題中“正四邊形”文字表述的角度

題目中第一個(gè)圖是九年級(jí)學(xué)生們非常熟悉的正方形，然而題目中把這個(gè)圖形表述為“正四邊形”.為什么此處表述為“正四邊形”呢？由于正方形概念在學(xué)生腦海中已經(jīng)根深蒂固了，第一眼遇到“正四邊形”，和我們初學(xué)英語時(shí)習(xí)慣把英語翻譯成漢語后再去理解一樣，學(xué)生也要經(jīng)歷“正四邊形”到“正方形”的思維過程，這不是繞了個(gè)彎了嗎？盡管正方形就是正四邊形，只是文字表述不一樣，二者有著一樣的內(nèi)涵.在初中數(shù)學(xué)中，我們很少見到“正四邊形”這一說法.在遇到這樣的四邊形，一般都說成正方形，這是習(xí)慣問題.其實(shí)編者考慮到后兩個(gè)圖形分別是“正五邊形”“正六邊形”，后續(xù)還有正七邊形、正八邊形、……、正n邊形，所以把第一個(gè)圖形說成是“正四邊形”，能夠體現(xiàn)幾個(gè)圖形名稱之間的一脈相承性，讓學(xué)生在解決問題時(shí)讀起題來更加順暢，審起題來更加連貫.

2.2 從第二個(gè)圖形中添加“外接輔助圓”的角度

試題中文字部分很干凈利索，與文字相對(duì)應(yīng)的第二個(gè)圖形本來是沒有外接圓的，為什么在配套的三個(gè)圖形中僅僅第二個(gè)圖添加了外接圓呢？我們知道，正方形、正六邊形都是非常特殊的正多邊形，學(xué)生們?cè)谛W(xué)階段就接觸過了.涉及此類圖形的有關(guān)問題，也已經(jīng)變得很熟悉了.而對(duì)于正五邊形的研究就比較靠后，見到涉及正五邊形類的問題也比較少，對(duì)于此類問題大多數(shù)學(xué)生都比較生疏，在求α5時(shí)有一定的難度.加上一個(gè)外接圓，暗示了我們可以借助正五邊形的外接圓來求α5的大小，啟發(fā)了我們可以借助外接圓來研究邊數(shù)更多的正七邊形、正八邊形、……、正n邊形等相鄰對(duì)角線的夾角.

2.3 從“相鄰對(duì)角線夾角”概念界定的角度

問題中把α4，α5，α6稱為是正多邊形中相鄰對(duì)角線的夾角，目的在于強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)角是由如圖所示正多邊形中的對(duì)角線（把這些對(duì)角線叫做相鄰對(duì)角線）所形成的夾角.我們仔細(xì)想一想，題目的表述中是不是還有另外一層涵義呢？其隱含著在正多邊形中還有其它一些非相鄰對(duì)角線之間的夾角問題，對(duì)于這樣的問題我們又能否通過同樣的策略來加以解決呢？對(duì)于正方形，它只存在兩條對(duì)角線，這兩條對(duì)角線是相鄰的，我們無可厚非.然而，正五邊形、正六邊形、正七邊形等，他們的對(duì)角線遠(yuǎn)不止兩條，按照編者的意圖，學(xué)生們?cè)谧x題時(shí)需要關(guān)注形成α5，α6等角的對(duì)角線，更方便于我們找到α5，α6等角所在的三角形，讓我們能夠清晰地看到內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，也能夠更清晰地看出圓周角與圓心角之間的關(guān)系.

3 解法思路

3.1 利用正多邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及數(shù)據(jù)的變化規(guī)律

針對(duì)初中數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題，在講授習(xí)題解法的同時(shí)，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)編者的內(nèi)心深處，從多個(gè)角度如文字表述、配套圖形、編排位置等去加以揣摩，領(lǐng)悟習(xí)題的編寫意圖，感受教材編寫者的數(shù)學(xué)智慧，選擇合適的解題路徑，引領(lǐng)學(xué)生從習(xí)題中汲取更多的養(yǎng)分，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)

[1]陳華安.一道習(xí)題一題多解的教學(xué)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（11）

[2]方金寶.一道課本習(xí)題的教學(xué)實(shí)錄及思考[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（06）

[3]蔣滿林.由一道課本習(xí)題引發(fā)的探究教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011（03）

作者簡(jiǎn)介 趙立春（1973—），男，安徽肥西人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，主要進(jìn)行初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)策略研究，曾獲安徽省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果一等獎(jiǎng)，榮獲合肥市政府津貼，合肥市中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，在省級(jí)以上期刊發(fā)表論文30多篇.

本文系安徽省教育信息技術(shù)課題“基于云平臺(tái)資源進(jìn)行初中數(shù)學(xué)圖形教學(xué)的策略研究”的階段性研究成果（課題批準(zhǔn)號(hào)：AH2019099，主持人：趙立春，劉鈺）.