一道２００８全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的背景分析、推廣與拓展

2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽有這樣一題：

已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-x2-2008)(y-y2-2008)=2008，則3x2-2y2+3x-3y-2007的值為（ ） A.-2008 B.2008 C.-1 D.1

1 背景分析

此題是第31屆西班牙數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣，原題是：

若(x2+1+x)(y2+1+y)=1,則x+y=0.

推廣上式可以得到：

結(jié)論1 若(x2+k2+x)(y2+k2+y)=k2，則x+y=0.

結(jié)論2 若(x-x2-k2)(y-y2-k2)=k2，則x=y.

2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題是結(jié)論2的特例. 在［1］文中筆者證明了:

結(jié)論3 若(x2+1+y)(y2+1+x)=1,則x+y=0.

結(jié)論3是對(duì)西班牙競(jìng)賽題的推廣，下面我們繼續(xù)給出結(jié)論3的推廣.

推論1 設(shè)x,y∈R,m,n為非零常數(shù)且mn>0,若

(x2+m2+mny)(y2+n2+nmx)=mn,則|n|x+|m|y=0.

證明 因?yàn)閙≠0,n≠0,mn>0,所以mn=|m|?|n|,nm=nm=|n||m|,mn=mn=|m||n|.

所以命題2的條件變?yōu)閤|m|2+1+y|n|

y|n|2+1+x|m|=1,由命題1知，x|m|+y|n|=0. 即|n|x+|m|y=0.

推論2 若(x-y2-k2)(y-x2-k2)=k2，則x=y.

證明 令y2-k2=m,x2-k2=n,則y2-k2=m2,x2-k2=n2，x=n所給式子等價(jià)于(n2+k2-m)(m2+k2-n)=k2,

由命題1知-m+(-n)=0,即m+n=0. 所以y2-k2+x2-k2=0,y2-k2=x2-k所以x2=y2. 于是推論2等價(jià)于若(x-x2-k2)(y-y2-k2)=k2，則x=y. 此故推論2成立.

3 拓展

把結(jié)論3中的等式拓展為不等式得到：

命題2 已知(x+y2+1)(y+x2+1)≥1,則有x+y≥0.

ザ最后一式為《數(shù)學(xué)通報(bào)》問題1673^[2]，故所證成立.

完全類似的可以得到：

命題3 已知(x2+1+y)(y2+1+x)≤1,則x+y≤0.

為了推廣命題2和命題3，先證明下面的引理.

引理 若(x2+k2+x)(y2+k2+y)≥k2,則x+y≥0.

證明 由已知有x2+k2+x≥y2+k2-y，y2+k2+y≥x2+k2-x，

上述兩式相加得到x+y≥0.

命題4 若(x2+k2+y)(y2+k2+x)≥k2,則x+y≥0.

證明 令s1=x2+k2+x，s2=y2+k2+y,則

ビ梢理知x+y≥0. 故命題4成立.

推論3 若(x2+k2+y)(y2+k2-x)≥k2，則y≥x.

證明 在命題3中作變換x→-x則推論3顯然成立.

推論4 若(x2+k2-y)(y2+k2+x)≥k2，則y≤x.

推論5 繼續(xù)研究可以得到：

命題5 設(shè)x,y∈R,m,n為非零常數(shù)且mn>0,若

(x2+m2+mny)(y2+n2+nmx)≥mn,則|n|x+|m|y≥0.

證明 因?yàn)閙≠0,n≠0,mn>0,所以mn=|m|?|n|,nm=nm=|n||m|,mn=mn=|m||n|,

所以命題5的條件變?yōu)閤|m|2+1+y|n|

由命題2知,x|m|+y|n|≥0，即|n|x+|m|y≥0.

完全類似的，有

命題7 設(shè)x,y∈R,m,n為非零常數(shù)且mn>0,若

仿推論3，4可以得到類似的一些推論，此略，留給讀者自己去思考.

げ慰嘉南

ぃ1］ 鄒守文. 數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題（15）［J］.中等數(shù)學(xué)，2008,（1）.

ぃ2］ 齊行超. 數(shù)學(xué)問題1673［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007，(5).

ぃ3］ 符立平. 一道賽題變式的簡(jiǎn)解［J］.數(shù)學(xué)通訊，2008,（10）.

ぃ4］ 張必平. 一道西班牙競(jìng)賽題的奇異變式［J］.數(shù)學(xué)通訊，2007,（20）.

ぃ5］ 王善鑫. 一道西班牙賽題變式問題的另解與探究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2008,（9）.

作者簡(jiǎn)介：鄒守文，男，中教一級(jí). 主要從事不等式的研究，發(fā)表關(guān)于不等式研究以及競(jìng)賽不等式研究方面的論文40多篇. 同時(shí)，還進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧的研究，參編《中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧》一書，平時(shí)進(jìn)行競(jìng)賽數(shù)學(xué)和中考的研究，參編《2009陜西中考復(fù)習(xí)全程攻略》一書. 發(fā)表論文100多篇.