一道頗具特色的中考應用題

韓永華

中考應用題是一道既讓人羨慕而又讓人敬畏的彩虹．因為它中考必考，所以廣大師生為之而付出了大量的心血；因為它難度較大，所以它是學生中考成績的一只重要砝碼；因為它倍受人們的關注，所以命題者堅持不懈地為之而盡善盡美．中考應用題的實用性、綜合性、思維性及難度值是衡量其質量的重要標準．下面我們來品嘗2008年宜昌市的中考應用題．

2008年宜昌市中考試卷共有25題，滿分為120分．應用題排在第24題，滿分為10分，從難度值來看屬于高檔題，從類型來看屬于方程與方程組的綜合應用題．此題是這樣的：

用煤燃燒發(fā)電時，所說的標準煤是指含熱量為7000大卡/千克的煤．生產實際中，一般根據(jù)含熱量相等，把所需標準煤的用煤量折合成含相同熱量的實際用煤量來計算（“大卡/千克”為一種熱值單位）．光明電廠生產中每發(fā)一度電需用標準煤0.36千克，現(xiàn)有煤矸石和大同煤兩種可選為生產實際用煤，這兩種煤的基本情況見下表：

煤的て分趾熱量ぃù罌/千克）只用本種煤っ糠⒁歡鵲紿さ撓妹毫開ぃㄇЭ/度）

平均每燃燒一噸煤發(fā)電的生產成本購煤費用ぃㄔ/噸）其它費用ぃㄔ/噸）

煤矸石10002.52150a（a>0）

大同煤6000m600a2

（1）求生產中只用大同煤每發(fā)1度電的用煤量（即表中m的值）；

（2）根據(jù)環(huán)保要求，光明電廠在大同煤中摻混煤矸石形成含熱量為5000大卡/千克的混合煤來燃燒發(fā)電，若使用這種混合煤比全部使用大同煤每發(fā)1000度電的生產成本增加了5.04元，求表中a的值（生產成本=購煤費用+其它費用）．

解 （1）因為光明電廠生產1度電所用的大同煤為m千克，而標準煤用量為0.36千克，所以根據(jù)題意可得：6000m=0.36×7000，解得m=0.42．

（2）設1噸（即1000千克）含熱量為5000大卡/千克的混合煤中含p噸大同煤和q噸煤矸石，則p+q=16000×1000p+1000×1000q=5000×1000，ゼ磒+q=16p+q=5，解得p=0.8q=0.2．

故購買1噸混合煤的費用為：0.8×600+0.2×150=510（元），其它費用為：（0.8a2+0.2a）元．

顯然，每燃燒1噸混合煤發(fā)電的生產成本為：（510+0.8a2+0.2a）元．

從表格中可以看出，每燃燒1噸大同煤發(fā)電的生產成本為：（a2+600）元．

設光明電廠生產1度電用的混合煤為h千克，則5000h=0.36×7000=（或0.36h=50007000），解得h=0.504（千克）．

生產1000度電用的大同煤為：1000×0.42=420（千克）=0.42（噸），生產1000度電用的混合煤為：1000×0.504=504（千克）=0.504（噸）．

由題意可知：每燃燒1噸混合煤發(fā)電的生產成本×生產1000度電所用的混合煤－每燃燒1噸大同煤發(fā)電的生產成本×生產1000度電所用的大同煤=5.04．于是可得如下方程：

(510+0.8a2+0.2a)×0.504-(600+a2)×0.42=5.04．

化簡并整理，得0.1008a-0.0168a2=0，解得a1=6，a2=0（不合題意，應舍去）．

所以表中a的值為6．

仔細品味這道中考題，可以看出它具有以下特色：

1 題目來源于生產實際，充分體現(xiàn)了《數(shù)學課程標準》的基本理念和其對學生書面考試的要求

《數(shù)學課程標準》在基本理念中指出“學生的數(shù)學學習內容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”， 在

教材編寫建議中指出“教材所選擇的素材應盡量來源于自然、社會與科學中的現(xiàn)象和問題，應當反映一定的數(shù)學價值”，在書面考試中強調“要設計結合現(xiàn)實情境的問題，以考查學生對數(shù)學知識的理解和運用所學知識解決問題的能力”．此題是根據(jù)現(xiàn)實生產中大量的數(shù)學信息編制而成的，并把折合方法“根據(jù)熱量相等”作為已知條件放在題目中，使物理學中的能量守恒定律在此得到了滲透，體現(xiàn)了數(shù)學在生產實踐中的廣泛應用，體現(xiàn)了考試內容與學習內容的一致性，體現(xiàn)了數(shù)學與自然科學的緊密聯(lián)系．

2 題目的呈現(xiàn)采用了不同的表達方式，為考生理解題意提供了幫助

此題采用文字與表格結合的呈現(xiàn)方式，并對“大卡/千克”、“生產成本”和“只用大同煤每發(fā)1度電的用煤量”分別進行了解釋．由于本題涉及到的量比較多，如果全采取文字表達的方式，題目就會顯得沉長而臃腫，考生不易理解題意，既影響了考生的心情，又沖淡了本題的考查重點．用表格代替一部分文字，能讓考生直觀、快速地獲取題目中的信息，增加了考生解題的信心．這些方式不僅對考生理解題意大有幫助，同時也體現(xiàn)了考試的人性化，符合新課標下的考試理念．

3 對初中方程的內容進行了全方位的考查

在解此題時，列出了兩個一元一次方程（其中有一個也可列為分式方程）、一個二元一次方程組和一個一元二次方程，對于布列各種方程與方程組解應用題在此得到了有機地結合．它結構嚴謹、寓知識于實際、寓問題于情境，而不是各種知識的簡單疊加，是考查學生綜合運用初中方程的知識分析問題和解決問題能力的一道難得的典型范例．

4 設計了多個相互聯(lián)系的思考點

此題雖然只有兩個小題，但有七個不可忽視的思考點，并且前面的結論是解答后面問題的基礎，好像有一根鏈條把各個問題串聯(lián)在一起．

思考點1 在第（1）小題中，根據(jù)“生產1度電所用的各種煤含的熱量相等”建立關于m的方程，從而求出m的值．前面的解法采用的等量關系是“生產1度電所用的大同煤含的熱量=生產1度電所用的標準煤含的熱量”，即“生產1度電所用的大同煤的數(shù)量×大同煤的熱值=生產1度電所用的標準煤的數(shù)量×標準煤的熱值”．

在第（2）小題中，有以下六個思考點：

思考點2 根據(jù)“1噸混合煤中含大同煤的數(shù)量+1噸混合煤中含煤矸石的數(shù)量=1”及“1噸混合煤中含大同煤的熱量+1噸混合煤中含煤矸石的熱量=5000×1000”建立方程組，從而求出1噸混合煤中所含大同煤與煤矸石的數(shù)量．

思考點3 根據(jù)“購買1噸混合煤的費用=1噸混合煤中含大同煤的數(shù)量×購買1噸大同煤的費用+1噸混合煤中含煤矸石的數(shù)量×購買1噸煤矸石的費用”算出購買1噸混合煤的費用，根據(jù)“燃燒1噸混合煤的其它費用=1噸混合煤中含大同煤的數(shù)量×燃燒1噸大同煤的其它費用+1噸混合煤中含煤矸石的數(shù)量×燃燒1噸煤矸石的其它費用”表示出燃燒1噸混合煤的其它費用．再根據(jù)“燃燒1噸混合煤的成本=購買1噸混合煤的費用+燃燒1噸混合煤的其它費用”及“燃燒1噸大同煤的成本=購買1噸大同煤的費用+燃燒1噸大同煤的其它費用”分別表示燃燒1噸混合煤的成本與燃燒1噸大同煤的成本．

思考點4 根據(jù)“生產1度電所用混合煤的數(shù)量×1噸混合煤的熱值=生產1度電所用的標準煤的數(shù)量×1噸標準煤的熱值”建立一元一次方程，從而解出生產1度電所用混合煤的數(shù)量，或者根據(jù)“每發(fā)一度電用的標準煤數(shù)量每發(fā)一度電用的混合煤數(shù)量=混合煤的熱值標準煤的熱值”建立分式方程予以解答．

思考點5 根據(jù)“生產1000度電所用的大同煤的數(shù)量=1000m”及“生產1000度電所用的混合煤的數(shù)量=1000×生產1度電所用混合煤的數(shù)量”分別算出生產1000度電所用的大同煤的數(shù)量及混合煤的數(shù)量．

思考點6 根據(jù)“燃燒1噸混合煤的成本×生產1000度電所用混合煤的數(shù)量-燃燒1噸大同煤的成本×生產1000度電全部使用大同煤的數(shù)量=5.04”建立關于a的一元二次方程，從而可求出a的值．

思考點7 根據(jù)“1噸=1000千克”進行“千克”與“噸”的互化，使計算或列方程時單位保持一致．

5 此題有多種解答方法

這道題的每個小題都有不同的解法，它不僅可以從局部思考，也可以從整體進行分析．《數(shù)學課程標準》要求學生體驗“解決問題策略的多樣性”在這道中考題中也得到了充分的體現(xiàn)．下面我們就來欣賞本題的另一種解答法：

解 （1）因為光明電廠生產1度電所用的大同煤為m千克，而煤矸石用量為2.52千克，所以根據(jù)題意可得：6000m=2.52×1000，解得m=0.42．

（2）設生產1000度電用的混合煤中含大同煤x噸，含煤矸石y噸，根據(jù)題意可得：6000×1000x+1000×1000y=5000×1000(x+y)6000×1000x+1000×1000y=(0.36×7000)×1000，ゼ6x+y=5(x+y)6x+y=0.36×7，解得x=0.4032y=0.1008．

所以，生產1000度電所用的混合煤的成本為： ［0.4032(a2+600)+0.1008(a+150)］元，生產1000度電全部用大同煤的成本為：0.42×10001000(a2+600)=0.42(a2+600)元．根據(jù)題意得：［0.4032(a2+600)+0.1008(a+150)］-0.42(a2+600)=5.04.

化簡并整理，得0.1008a-0.0168a2=0，解得a1=6，a2=0（不合題意，應舍去）．

所以表中a的值為6．

上面的解法用到了三個等量關系：①生產1000度電用的混合煤中大同煤含的熱量+生產1000度電用的混合煤中煤矸石含的熱量=生產1000度電用的混合煤的數(shù)量×混合煤的熱值；②生產1000度電用的混合煤中大同煤含的熱量+生產1000度電用的混合煤中煤矸石含的熱量=生產1000度電用的標準煤含的熱量；③生產1000度電所用的混合煤的成本-生產1000度電全部用大同煤的成本=5.04．

這道令人回味的中考應用題，緊扣課標、結構嚴謹、構思巧妙、不偏不怪．它以“考查學生把知識由點到線及由線到面的整合能力”為標高，顯示出了它作為高檔題應有的實力（這里所說的點是指題目中蘊含的每一個數(shù)學知識，線是指題目中所有知識點之間的聯(lián)系，面是指點和線構成的實際問題）；以“多種呈現(xiàn)題目的方式”為手段，顯示出了它的美麗；以“具有靈活多樣的解法”為選材標準，顯示出了它的魅力；以“考查對常用知識及常規(guī)常法的掌握”為準繩，顯示出了《數(shù)學課程標準》的法力．顯然，它不僅為以后的中考命題者奠定了良好的基礎，而且為今后應用題的教學指明了方向、提供了思路．プ髡嘸蚪椋漢永華，1962年12月生，中學高級教師，主要研究數(shù)學課堂教學策略. 發(fā)表文章10余篇.