不等式（組）的考點(diǎn)掃描

郝　惠　荀杰麗

不等式（組）的內(nèi)容在各地的中考題中都有所涉及，下面結(jié)合實(shí)例（均為2008年各地的中考數(shù)學(xué)試題）說明有關(guān)不等式（組）的考點(diǎn)：

1 已知不等式的解集，確定某個(gè)字母的值

不等式的解是一個(gè)集合，為了清楚地表示出不等式的解集，我們常借助于數(shù)軸的形象性，把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來. 在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，“實(shí)虛點(diǎn)”是同學(xué)們學(xué)習(xí)中常出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，所以各地的中考題命題者也把這一點(diǎn)作為考查的一個(gè)重點(diǎn).

例1 （煙臺(tái)市）關(guān)于x的不等式-2x+a≥2的解集如圖所示，a的值是（ ）

分析 根據(jù)解不等式的方法，直接求出已知不等式的解集. 而根據(jù)數(shù)軸又可以直接得出不等式的解集，通過比較得到關(guān)于a的方程，再解這個(gè)方程即可得到a的值.

解 解不等式-2x+a≥2，得到其解集為x≤a-22.

根據(jù)數(shù)軸可知，不等式的解集為x≤-1.

所以a-22=-1，故a=0.

2 考查不等式（組）的解法

不等式（組）的解法是重要的內(nèi)容，各地的中考題中常有考查解不等式（組）的題目，考查的題型也比較靈活，有填空題、選擇題和解答題三種形式.

例2 （山西省）不等式組3-x≥04x+1

分析 根據(jù)解不等式組的方法，直接求解.

解 由3-x≥0，得x≤3，由4x+1

答案：x<2.

例3 （陜西省）把不等式組x-3<-15-x<6的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（ ）.

分析 直接解不等式組，然后在數(shù)軸上表示出來.

解 解不等式組x-3<-15-x<6，得-1

答案：選C.

例4 （北京市）解不等式5x-12≤2（4x-3），并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

分析 根據(jù)解不等式的方法直接求解. 在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意實(shí)心圓與空心圓的區(qū)別.

解 去括號(hào)，得5x-12≤8x-6.

移項(xiàng)，得5x-8x≤-6+12.

合并，得-3x≤6.

化系數(shù)為1，得x≥-2.

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

3 列不等式（組）解應(yīng)用題

利用不等式（組）解決實(shí)際問題屬于應(yīng)用性的問題.

例5 （濰坊市）為了美化校園環(huán)境，建設(shè)綠色校園，某學(xué)校準(zhǔn)備對(duì)校園中30畝空地進(jìn)行綠化. 綠化采用種植草皮與種植樹木兩種方式，要求種植草皮與種植樹木的面積都不少于10畝，并且種植草皮面積不少于種植樹木面積的32. 已知種植草皮與種植樹木每畝的費(fèi)用分別為8000元與12000元.

（1）種植草皮的最小面積是多少？

（2） 種植草皮的面積為多少時(shí)綠化總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少？

分析 正確理解題意，明確不少于即大于或等于，可利用不等式組解決問題.

解 （1）設(shè)種植草皮的面積為x畝，則種植樹木面積為（30-x）畝，則：x≥1030-x≥10x≥32(30-x). 解得18≤x≤20.

答：種植草皮的最小面積是18畝.

（2）由題意得：y=8000x+12000（30-x）=360000-4000x，

當(dāng)x=20時(shí)，y有最小值280000元.

利用不等式（組）的知識(shí)解決方案的確定問題也是各地中考題中常有的題目.

例6 （青島市）2008年8月，北京奧運(yùn)會(huì)帆船比賽將在青島國際帆船中心舉行. 觀看帆船比賽的船票分為兩種：A種船票600元/張，B種船票120元/張. 某旅行社要為一個(gè)旅行團(tuán)代購部分船票，在購票費(fèi)不超過5000元的情況下，購買A，B兩種船票共15張，要求A種船票的數(shù)量不少于B種船票數(shù)量的一半. 若設(shè)購買A種船票x張，請(qǐng)你解答下列問題：

（1）共有幾種符合題意的購票方案？寫出解答過程；

（2）根據(jù)計(jì)算判斷：哪種購票方案更省錢？

分析 （1）分析題意，得到不等式組，通過解不等式組確定出購票方案. （2）分別計(jì)算出各種方案所需的費(fèi)用，通過比較進(jìn)行判斷.

解 （1）設(shè)A種票x張，則B種票（15-x）張，根據(jù)題意得：x≥15-x2600x+120(15-x)≤5000.

ソ獾茫5≤x≤203.

所以滿足條件的x為5或6.

所以共有兩種購買方案：

方案1:A種票5張，B種票10張；

方案2:A種票6張，B種票9張.

（2）方案1購票費(fèi)用：600×5＋120×10=4200（元），

方案2購票費(fèi)用：600×6＋120×9=4680（元），

因?yàn)?200<4680，所以方案1更省錢.

4 與方程、函數(shù)等知識(shí)綜合在一起解答實(shí)際問題

例7 （河南?。┠承０四昙?jí)舉行英語演講比賽，派了兩位老師去學(xué)校附近的超市購買筆記本作為獎(jiǎng)品. 經(jīng)過了解得知，該超市的A、B兩種筆記本的價(jià)格分別是12元和8元，他們準(zhǔn)備購買兩種筆記本共30本.

（1）如果他們計(jì)劃用300元購買獎(jiǎng)品，那么能買這兩種筆記本各多少本?

（2）兩位老師根據(jù)演講比賽的設(shè)獎(jiǎng)情況，決定所購買的A種筆記本的數(shù)量要少于B種筆記本數(shù)量的23，但又不少于B種筆記本數(shù)量的13，如果設(shè)他們買A種筆記本n本，買這兩種筆記本共花費(fèi)w元.

①請(qǐng)寫出w（元）關(guān)于n（本）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量n的取值范圍；

②請(qǐng)你幫助他們計(jì)算，購買這兩種筆記本各多少時(shí)，花費(fèi)最少，此時(shí)的花費(fèi)是多少元？

分析 本題的第一問考查學(xué)生用方程的知識(shí)解決實(shí)際問題. 第二問考查不等式、函數(shù)等知識(shí). 對(duì)于第二問可根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)要求確定出自變量的取值范圍.

解 （1）省略.

（2）①根據(jù)題意，得w=12n+8（30-n）=4n+240. 對(duì)于n應(yīng)同時(shí)滿足：n<23(30-n)n≥13(30-n).

ソ獾152≤n＜12.

所以w（元）關(guān)于n（本）的函數(shù)關(guān)系式為：w=4n+240,自變量n的取值范圍是152≤n＜12.

②對(duì)于一次函數(shù)w=4n+240，因?yàn)閣隨n的增大而增大，且152≤n＜12，n為整數(shù),故當(dāng)n=8時(shí)，w的值最小. ゴ聳保30-n=22，w=4×8+240=272（元）.

因此，當(dāng)買A種筆記本8本，B種筆記本22本時(shí)，所花費(fèi)用最少，為272元.