２００８年山東省中考數(shù)學(xué)題第２０題拙見(jiàn)

滿(mǎn)常順

波利亞在《怎樣解題》中提示我們：在解題過(guò)程中，你是否利用了所有的數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？ト繽1，

2008年山東省中考剛剛結(jié)束，下面是數(shù)學(xué)卷第20題：(本題滿(mǎn)分10分)

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn)．

求證：CE⊥BE．

ね1圖2

下面是參考答案：

證明如圖2過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．

因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠A=90°，

所以∠D=∠A=∠CFA=90°．

所以四邊形AFCD是矩形．

AD=CF,BF=AB-AF=1．

在Rt△BCF中，

CF2=BC2-BF2=8，

所以CF=22，

所以AD=CF=22.

因?yàn)镋是AD中點(diǎn)，所以DE=AE=12AD=2．

在Rt△ABE和Rt△DEC中，EB2=AE2+AB2=6，EC2= DE2+CD2=3，EB2+ EC2=9=BC2．

所以∠CEB=90°．

所以EB⊥EC．

省中考題參考答案的證明過(guò)程無(wú)可挑剔. 但是下面的證明方法似乎更具一般性：

證明 如圖3，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.

因?yàn)锳B=2,DC=1,BC=3.

所以中位線(xiàn)EF=AB+DC2=2+12=1.5=BC2.

所以△BEC為直角三角形.

所以 EB⊥EC．

ブっ鞴程沒(méi)有用到∠A=90°（直角梯形）這一條件. 當(dāng)然，還有以下證法也沒(méi)有用到∠A=90°這一條件.

輔助線(xiàn)如圖4所示.

證明 延長(zhǎng)CE、BA交與F,

因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AB∥CD，所以∠DCE=∠AFE.

因?yàn)镋是AD中點(diǎn)，所以DE=AE.

在△DCE和△AFE中，∠DCE=∠AFE,DE=AE,∠DEC=∠AEF.

所以△DCE≌△AFE (ASA)，所以CE=FE,CD=FA.

因?yàn)锳B=2,DC=1,BC=3，所以FB=FA+AB=CD+AB=1+2=3=BC,所以△BFC是等腰三角形.因?yàn)镃E=FE，所以EB⊥EC．

由上可知，直角梯形在這道題中僅僅只是充分條件，而非必要條件. 由于證明的一般性，題目可概括為：

定理 如圖5，若梯形的上、下底之和等于一腰，則此腰的兩個(gè)端點(diǎn)與另一腰的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形. テ涫擔(dān)這道題是一道成題，筆者手頭的呂學(xué)禮主編的《名師導(dǎo)學(xué)》、宏宇主編的《初中數(shù)學(xué)發(fā)散思維輔導(dǎo)》對(duì)這一題均有涉及.

這道題來(lái)源于一個(gè)基本拼圖：如圖6，給定矩形，連結(jié)它的一條對(duì)角線(xiàn)，過(guò)另一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，把此矩形分成1、2、3三個(gè)部分. 按這三個(gè)部分把矩形剪開(kāi)拼成直角梯形.

這個(gè)直角梯形的一個(gè)最明顯特征是上、下兩底之和等于非直角腰. 據(jù)此，可以得到一連串的命題：

命題1 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則其直角腰的中點(diǎn)與非直角腰端點(diǎn)的連線(xiàn)分別為兩個(gè)非直角內(nèi)角的平分線(xiàn).

命題2 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則兩個(gè)非直角內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)在直角腰上，且平分直角腰.

命題3 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則其直角腰的中點(diǎn)與非直角腰的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

命題4 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則直角腰的中點(diǎn)到直角梯形其他三邊等命題5 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則過(guò)直角腰的中點(diǎn)引非直角腰的垂線(xiàn)，垂足分非直角腰為兩條與兩底分別相等的線(xiàn)段.

命題6 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則分非直角腰與上、下底分別相等的點(diǎn)，和直角腰的兩個(gè)端點(diǎn)，三點(diǎn)連成直角三角形.

命題7 若直角梯形的上、下底之和等于非直角腰，則以直角腰為直徑的圓與非直角腰相切.結(jié)合相似形和圓的知識(shí)，可得到這個(gè)拼圖更豐富的性質(zhì)，并且可推廣為數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.

在《名師導(dǎo)學(xué)》中，以上命題均被寫(xiě)成了定理.

實(shí)際上，以上命題中的直角這個(gè)條件有時(shí)是多余的，如命題二、命題三等.

羅增儒先生在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)習(xí)題的科學(xué)性時(shí)，指出：題目的條件與所在系統(tǒng)的公理組成的體系應(yīng)具有充分性——足以推導(dǎo)出題目的結(jié)論；獨(dú)立性——每一個(gè)條件都不是多余的；…….

獨(dú)立性的要求反映了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與簡(jiǎn)單美. 題目有過(guò)剩的條件，反映了命題時(shí)的思考不周；解法中有多余的思維回路，不僅造成題目臃腫，更會(huì)使解題者誤入歧途，他會(huì)因?yàn)闂l件沒(méi)有用上而感到迷茫.

げ慰嘉南

ぃ1］［美］波利亞. 怎樣解題［M］. 閻育蘇譯. 科學(xué)出版社，1982.1.

ぃ2］羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］. 陜西師范大學(xué)出版社，2001.7.

ぃ3］呂學(xué)禮. 名師導(dǎo)學(xué)［M］. 北方工業(yè)大學(xué)出版社，1994.11.

ぃ4］宏宇. 初中數(shù)學(xué)發(fā)散思維輔導(dǎo)［M］. 安徽教育出版社，1996.5.

プ髡嘸蚪椋郝常順，1966年11月生，數(shù)學(xué)教育碩士，中學(xué)高級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員，全國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師，輔導(dǎo)學(xué)生200余名獲數(shù)學(xué)競(jìng)賽全國(guó)獎(jiǎng)和省級(jí)獎(jiǎng). 山東省日照市教學(xué)能手，日照市數(shù)學(xué)學(xué)科骨干教師.