教學(xué)參考反例有誤與答案重建

郭紹兵　曹斌昌

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書華東版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第29章82頁(yè)習(xí)題29.2第5題：

ァ耙蛔槎員呦嗟齲一組對(duì)角相等的四邊形是否一定是平行四邊形？如果是，請(qǐng)給出證明、如果不一定是，請(qǐng)舉出反例.”

ビ脛配套的《教師用書》數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第96頁(yè)給出的第5題參考答案是：

ァ安灰歡. 作△ABD，使△ABD的三邊各不相等，不妨設(shè)BD最長(zhǎng)，以BD為對(duì)稱軸作△ABD的對(duì)稱△CBD，則在四邊形ABCD中，AB=CB，∠A=∠C，但四邊形ABCD不是平行四邊形.”

ノ頤潛縛巫樵在每周二，第三、四節(jié)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)例會(huì)上，對(duì)此作一專題進(jìn)行過(guò)研討，大家一致認(rèn)為，參考答案中“不一定”正確，但所舉“反例”有誤，并進(jìn)行了答案重建.

1 按參考答案作圖分析

ネ1由對(duì)稱性可知：如圖1，AB=CB，∠A=∠C.

ザ鳤B=CB是“一組鄰邊”，這與習(xí)題中的題設(shè)“一組對(duì)邊相等”不吻合，理所當(dāng)然就不能說(shuō)明習(xí)題中的結(jié)論了.

2 習(xí)題答案重新建構(gòu)

シ擲嗵致郟

問(wèn)題情景1 在四邊形ABCD中，已知AB=CD，∠B=∠D. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明 如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC交于點(diǎn)E，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AD交于點(diǎn)F，并且連結(jié)AC.

ヒ蛭狝B=CD，∠B=∠D（已知），而∠AEB=∠CFD=Rt∠（已作）.

ニ以△ABE≌△CDF（AAS），所以BE=DF，AE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

ビ諥C為公共邊，所以由勾股定理可得EC2=AC2-AE2，AF2=AC2-CF2，所以EC=AF，所以BE+EC=DF+AF，即BC=AD.

ビ忠蛭狝B=CD（已知），所以四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

問(wèn)題情景2 反例. 如圖3，△ABC是等腰三角形，E為底邊BC上一點(diǎn)，EB》EC，當(dāng)∠EAC=∠AED，DE=AC時(shí)，△AED≌△EAC（SAS），所以∠D=∠C.

ゼ礎(chǔ)螪=∠B，ED=AB（符合題設(shè)），但顯然四邊形ABCD不是平行四邊形.

プ凵纖述：答案是不一定，反例為問(wèn)題情景2.

テ涫擔(dān)如果我們利用圓的知識(shí)加以刻畫本題，將更加深入.

問(wèn)題情景3 反例. 如圖4，在鰽BCE中，作△ACE的外接圓O，再以C為圓心，CE為半徑畫弧與⊙O交于點(diǎn)D,則∠B=∠E=∠D，AB=CE=CD，但是四邊形ABCD并不是平行四邊形.

ビ汕榫2和情景3可以看出，情景1證明中的問(wèn)題的癥結(jié)了，即過(guò)C點(diǎn)作AD邊的垂線CF，垂足F不一定在線段AD上. 但對(duì)情景1的特殊四邊形結(jié)論是成立的.